《自动控制原理》课程教学资源：第五章 控制系统动态性能分析

自动控制原理电子教案 4.计算举例 例5.1如图5.8所示典型二阶系统,求1,p,l 解:On=5(rad/s) C(s) 2 s(s+6) on=ny1-2=5V-062=4(mds) 图5.8典型二阶系统 ln=x=°=n-cos06z-53.13×z 丌-0.93 =0.55(s) 0.78(s) 3 .%=e 100%=948% 例5.2要求图59所示系统具有动态性能指标:σp%=20%,p=。试 确定系统参数K和A,并计算tr,t 解:系统的闭环传递函数为 C(s) 图59反馈控制系统 C(s) s(s+1) R(s) 1+As)s-+(1+KA)s+ s(s+ 可见,系统为典型二阶系统:o2=K,2cn=1+KA,由 100%=20% 得 浙江工业大学自动化研究所 167

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 4．计算举例 例 5．1 如图 5.8 所示典型二阶系统，求tr ，t p ，ts ，σ p % 。 解： ω n = 5 （rad/s） ， ω n ς 2 6 = 1 5 1 0.6 4 2 2 ω d =ω n −ς = − = （rad/s） 0.55 ( ) 4 0.93 4 180 53.13 4 cos 0.6 1 t s d r = − = − × = − = − = − π π π π ω π ϕ 图5.8 典型二阶系统 ( 6) 25 s s + R(s) C(s) 0.78 ( ) 4 t s d p = = = π ω π 1( ), 3 t s n s = = ςω ∆ = 5 1.33( .) 4 t s n s = = ςω ∆ = 2 % 100% 9.48% 2 1 = ⋅ = − − ς ςπ σ e p 例 5．2 要求图 5.9 所示系统具有动态性能指标：σ p % = 20% ，t s p = 1 。试 确定系统参数 K 和 A，并计算tr ，ts 。 解：系统的闭环传递函数为 图5.9 反馈控制系统 As s(s +1) R(s) K C(s) s KA s K K As s s K s s K R s C s + + + = + + + + = (1 ) (1 ) ( 1) 1 ( 1) ( ) ( ) 2 可见，系统为典型二阶系统：ω n 2 = K ， 2ςω n = 1+ KA ，由 % 100% 20% 2 1 = = − − ς ςπ σ e p 得 1.61 0.2 1 ln 1 2 = = −ς ςπ ς = 0.456 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 167

由 1(s) 得 则 12.46 0.178 K 4s-cos-1sx-10973=065() 3 186(s) A=5 523高阶系统动态性能近似分析 1.高阶系统的单位阶跃响应及主导极点的概念 高阶系统的闭环传递函数一般表示为 2 (5.36) 其中,M(s)和D(s)分别为分子和分母多项式 高阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换式为 (S--;) C(s=d(s) (5.37) -) 设系统闭环极点均为单极点(实际系统大都如此),则部分分式为 M(0)1 (538) 高阶系统的单位阶跃响应为 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 由 1 1 2 = − = ω ς π n p t （s） 得 3.53 1 2 = − = ς π ω n （rad/s） 则 12.46 2 K = ω n = 0.178 2 1 = − = K A n ςω 0.65 ( ) 3.142 1.0973 1 cos 2 1 t s n r = − = − − = − π ω ς π ς 2.5 ( ) 1.61 4 4 t s n s = = = ςω ∆ = 2 1.86 ( ) 1.61 3 3 t s n s = = = ςω ∆ = 5 5.2.3 高阶系统动态性能近似分析 1． 高阶系统的单位阶跃响应及主导极点的概念 高阶系统的闭环传递函数一般表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ∏ ∏ = = − − − − − − = + + + + + + + + Φ = = n i i m i i n n n n m m m m s p k s z a s a s a s a b s b s b s b D s M s s L L （5.36） 其中， M (s)和 D(s) 分别为分子和分母多项式。 高阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换式为 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ∏ ∏ = = − − = Φ ⋅ = n i i m i i s s p k s z s C s s （5.37） 设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），则部分分式为 i s p n i sD s s p M s D s M C s i − = ⋅ + ⋅ = = ∑ 1 ( ) 1 ( ) (0) (0) ( ) 1 & （5.38） 高阶系统的单位阶跃响应为 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 168

自动控制原理电子教案 c() M(0 D sD(s)ls=p (5.39) e+∑ Ae o/ cos(oa+q) D(O) P= SD(S) G± 从上式可以看出,不可能用处理二阶系统的方法得到高阶系统性能指标的精确解 析表达式。即使用数值计算方法,也会遇到求解复杂超越方程的困难。 为了得到高阶系统性能指标的近似表达式,一般采用近似方法。本节介绍主 导极点法 下面首先分析高阶系统阶跃响应表达式 对于实际的高阶系统,其闭环极点P与零点z在S平面上的分布,具有多种 形式,对于闭环稳定的控制系统来说,其闭环极点均位于S平面的左半部,但从 各极点与虚轴的距离来说,却有远近之分。闭环极点离虚轴越远,λ与σ越大 c()表达式中的暂态分量衰减越快,在c()达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕 因此对上升时间t超调量σn影响不大;反之,那些离虚轴近的极点,λ与σ小, 这些分量衰减缓慢,t、σ主要取决于这些极点所对应的分量。因此,一般可将 相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略不计,而保留那些离虚轴较近的极点所引 起的分量 从c()的表达式还可以看出,各暂态分量的具体值还取决于其模A的大小, 有些分量虽然衰减慢,但模值小,所以对超调量等影响较小,而有些分量衰减得 稍快一些,但模值大,对超调量等影响仍然很大,所以应忽略前者,而保留后者。 下面考察各个分量的模值与哪些因素有关。 根据部分分式理论,各部分分式的系数与零、极点的分布有下列关系 1)若某极点远离虚轴与其它零、极点,则该极点对应的部分分式系数就小, 即相应的暂态分量的模值就小。因此,无论是从衰减速度,还是从其模值,都可 以忽略远离虚轴的极点所对应的分量。 2)若某极点邻近有一个零点,则该极点对应的部分分式系数就小。因此 若某极点邻近有一个零点,则可忽略该极点引起的暂态分量。 忽略上述两类极点所引起的暂态分量后,一般剩下为数不多的几个极点所对 应的暂态分量。这些分量对系统的动态特性将起主导作用,因此,这些极点通常 称为主导极点。图5.10是几个示例,其中,虚框中的极点可以作为主导极点 S S 图10主导极点 闭环主导极点可以取一对,也可以取三个,不是一定的。其实,选取闭环主 导极点的个数,与系统闭环零、极点分布情况有关,也与简化的目的有关。在有 些情况下,很难选出较少个数的主导极点。 如果简化的目的是推导暂态性能指标解析表达式,宜保留一个或二个极点作 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 = + ∑ ⋅ + ∑ + = + ∑ ⋅ =− ± − − = = = = i i di i i i i i i i p j di i t i t s p p t s p n i e A e t sD s M s D M e sD s M s D M c t σ ω λ σ λ λ cos(ω ϕ ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) ( ) 1 & & （5.39） 从上式可以看出，不可能用处理二阶系统的方法得到高阶系统性能指标的精确解 析表达式。即使用数值计算方法，也会遇到求解复杂超越方程的困难。 为了得到高阶系统性能指标的近似表达式，一般采用近似方法。本节介绍主 导极点法。 下面首先分析高阶系统阶跃响应表达式 对于实际的高阶系统，其闭环极点 与零点 在 S 平面上的分布，具有多种 形式，对于闭环稳定的控制系统来说，其闭环极点均位于 S 平面的左半部，但从 各极点与虚轴的距离来说，却有远近之分。闭环极点离虚轴越远， pi i z λi 与σ i 越大， 表达式中的暂态分量衰减越快，在 达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕， 因此对上升时间 、超调量 影响不大；反之，那些离虚轴近的极点， c(t) c(t) rt σ p λi 与σ i 小， 这些分量衰减缓慢， 、 主要取决于这些极点所对应的分量。因此，一般可将 相对远离虚轴的极点所引起的分量忽略不计，而保留那些离虚轴较近的极点所引 起的分量。 rt σ p 从 的表达式还可以看出，各暂态分量的具体值还取决于其模 的大小， 有些分量虽然衰减慢，但模值小，所以对超调量等影响较小，而有些分量衰减得 稍快一些，但模值大，对超调量等影响仍然很大，所以应忽略前者，而保留后者。 下面考察各个分量的模值与哪些因素有关。 c(t) Ai 根据部分分式理论，各部分分式的系数与零、极点的分布有下列关系： 1）若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的部分分式系数就小， 即相应的暂态分量的模值就小。因此，无论是从衰减速度，还是从其模值，都可 以忽略远离虚轴的极点所对应的分量。 2）若某极点邻近有一个零点，则该极点对应的部分分式系数就小。因此， 若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。 忽略上述两类极点所引起的暂态分量后，一般剩下为数不多的几个极点所对 应的暂态分量。这些分量对系统的动态特性将起主导作用，因此，这些极点通常 称为主导极点。图 5.10 是几个示例，其中，虚框中的极点可以作为主导极点。 图5.10 主导极点 0 (a) (b) [S] 0 [S] 0 [S] （c) 闭环主导极点可以取一对，也可以取三个，不是一定的。其实，选取闭环主 导极点的个数，与系统闭环零、极点分布情况有关，也与简化的目的有关。在有 些情况下，很难选出较少个数的主导极点。 如果简化的目的是推导暂态性能指标解析表达式，宜保留一个或二个极点作 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 169

自动控制原理电子教 为主导极点。如果系统是单调过程,则可保留一个或二个实数极点作为主导极点 设s=-1为主导极点,其输出近似表达式为 c()≈(Q M(-A1) (0)-A1D(-A1) 设s=-41,s=-2为主导极点,则输出近似表达式为 c()≈M(0 M(-4)-4M(-2) D(0)-A1D(-1) A2D(-2) 若系统是衰减的振荡过程,可选择一对共轭复数极点作为主导极点,其输出近似 表达为 c(1)≈ +Aie-ol cos(oat+u) 在控制过程中,通常要求控制系统既具有较高的反应速度,又不要使超调太 大,往往将系统设计成具有适当超调的衰减振荡。因此,很多系统常常取一对共 轭复数闭环极点作为主导极点。下面针对这种情况导出高阶系统性能指标的计算 公式。 2.高阶系统性能指标公式 由(539)式,高阶系统的单位阶跃响应为 M(0)、M(s) 0(0) sD(S)s=pe 设高阶系统主导极点为:s2=-a±jo4,则单位阶跃响应可以近似为 c() D(0) M(s2-e-a A4O+M)-++,D(s2) D(0)S1D(s1) M(s2) M(0) Du=e/+M()1∠2Ds5cc 2D(s2) M(s2)与M(s)共轭,即 因为两个主导极点s与s2共轭,所以,52D(52)sD(5) D(s)52D(52 M(S2) 因此有 c()=MOM(s)2-小e fat+∠M() s1D(51)+e D(O)S,D(1) DO) D(s1/cos(a+∠4(s) (t≥0) 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 为主导极点。如果系统是单调过程，则可保留一个或二个实数极点作为主导极点。 设 = −λ1 s 为主导极点，其输出近似表达式为 t e D M D M c t 1 ( ) ( ) (0) (0) ( ) 1 1 1 λ λ λ λ − ⋅ − − − ≈ + & 设 = −λ1 s ， = −λ 2 s 为主导极点，则输出近似表达式为 t t e D M e D M D M c t 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) 2 2 2 1 1 1 λ λ λ λ λ λ λ λ − − ⋅ − − − ⋅ + − − − ≈ + & & 若系统是衰减的振荡过程，可选择一对共轭复数极点作为主导极点，其输出近似 表达为 cos( ) (0) (0) ( ) 1 1 1 1 ω ϕ σ ≈ + + − A e t D M c t d t 在控制过程中，通常要求控制系统既具有较高的反应速度，又不要使超调太 大，往往将系统设计成具有适当超调的衰减振荡。因此，很多系统常常取一对共 轭复数闭环极点作为主导极点。下面针对这种情况导出高阶系统性能指标的计算 公式。 2． 高阶系统性能指标公式 由（5.39）式，高阶系统的单位阶跃响应为 p t s p n i i i e sD s M s D M c t = = = +∑ 1 ( ) ( ) (0) (0) ( ) & （5.40） 设高阶系统主导极点为： d s1,2 = −σ ± jω ，则单位阶跃响应可以近似为 s D s t j t M s j s D s t j t M s j j t j t s t s s s t s s d d d d e e e s D s M s e e e s D s M s D M e s D s M s e s D s M s D M e sD s M s e sD s M s D M c t σ ω σ ω σ ω σ ω − − ∠ − ∠ − + − − = = = + + = + + = + + ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 2 ( ) 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) & & & & & & & & 因为两个主导极点 s1与 s2 共轭，所以， ( ) ( ) 2 2 2 s D s M s & 与 ( ) ( ) 1 1 1 s D s M s & 共轭，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 s D s M s s D s M s & & = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 s D s M s s D s M s & & ∠ = −∠ 因此有 ) ( 0) ( ) ( ) cos( ( ) ( ) 2 (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) ( ) 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + ∠ ≥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + + − +∠ − +∠ − t s D s M s e t s D s M s D M e e e s D s M s D M c t d t s D s M s j t s D s M s j t t d d & & & & & ω σ ω ω σ （5.41） 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 170

自动控制原理电子教 下面推导高阶系统暂态性能指标近似表达式。为了方便说明,绘制一个高阶 系统零极点示意图,如图5.11所示 x 图5.11高阶系统零极点图 (1)超调时间 由超调量和超调时间的定义,得 dp2=24M5)-m08+2∠M)-e-甲osm+∠M(s S, D(S,) S,D(S,) M(51) ocos(@dt+ M(s1)+odin(od+ D(S1) S, D(S,) 则 0cb<M(s)+"m(o4+24)=0 M(S1) S,D(S tg(@dtp+ f(1) M(S1) =tg"( D(s1) M(S,) (543) D(S1) 其中, M(S1) K∏(S1-=) ∑∠(S1-1)-∠S1-∠(S1-S2)-∑∠(S1-s;) s1∏(S1-S;) 从图5.11看出:∠51=x-9,∠(5-52)=,t(-0)=-(2-g),所以 M(S1) S, D(1) 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 下面推导高阶系统暂态性能指标近似表达式。为了方便说明，绘制一个高阶 系统零极点示意图，如图 5.11 所示。 图 5 .1 1 高 阶 系统零 极点图 0 [ S ] θ s 4 θ s 5 θ s 3 θ z 1 1 s 2 s 4 s 5 s 3 s 1 z ϕ （1）超调时间 pt 由超调量和超调时间的定义，得 0 dt dc(t) = = p t t ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + ∠ + + ∠ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + ∠ − + ∠ − − − ) ( ) ( ) ) sin( ( ) ( ) cos( ( ) ( ) 2 ) ( ) ( ) ) sin( ( ) ( ) cos( ( ) ( ) 2 dt dc(t) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s D s M s t s D s M s e t s D s M s s D s M s e t s D s M s e t s D s M s d d d t d d t d t & & & & & & σ ω ω ω σ ω ω ω σ σ σ （5.42） 则 ) 0 ( ) ( ) ) sin( ( ) ( ) cos( 1 1 1 1 1 1 + ∠ + + ∠ = s D s M s t s D s M s t d p d d p & & σ ω ω ω d d p s D s M s t ω σ ω + ∠ ) = − ( ) ( ) tg( 1 1 1 & tg (- ) ( ) ( ) -1 1 1 1 d d p s D s M s t ω σ ω + ∠ = & ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − ∠ ( ) ( ) tg (- ) 1 1 1 -1 1 s D s M s t d d p ω & σ ω (5.43) 其中， = ∑∠ − − ∠ − ∠ − − ∑∠ − ∏ − ∏ − ∠ = ∠ = = = = n i i m i n i i i m i i s z s s s s s s s s K s z s D s M s 3 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) & 从图 5.11 看出： ∠s1 = π −ϕ ， 2 ( ) 1 2 π ∠ s − s = ， ) 2 tg ( ) ( -1 ϕ π ω σ− = − − d ，所以 ∑ ∑ = = ∠ = ∠ − − − − − ∠ − n i i m i i s z s s s D s M s 3 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) π π ϕ & 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 171