则 q-∠(s1--1) ∠(s1-=1)+∑∠(S1-s1) (544) 实际上,从零极点图上可以直接量取o4,O:,0,等,然后由式(544)计 算超调时间tp 分析式(544)可以得到下列几点结论 1)增加零点使t减小,提高了系统的反应速度,增加的零点越靠近虚轴其作 用越显著,而增加极点则相反。 2)若零极点相距很近,则θ.=θ、,则对tn的作用几乎抵消 3)若除闭环极点外,没有其它零极点,其结果为典型二阶系统的准确计算公 式2=x:若只有一个零点,则结果精确为:t2=(x-0n) (2)超调量n% 由式(541)得 e"cos(a+∠M(s) D(0)s1D(s1) S, D(S1) 于是 c(∞) cos(ot+,M(s1) (545) M(O)S,D(S1) S,D(Sp) 由前面推导的结果 21=tg(0) S, D(S,) 于是 oS(tg(--)) D(S COS(-)=sin 将上式代入式(545)得 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 则 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∠ − + ∠ − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + − ∠ − + − + + ∠ − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = n i s m i z d n i i m i i d n i i m i i d p i i s z s s t s z s s 1 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 1 π θ θ ω π ω π ϕ π ϕ π ω & （5.44） 实际上，从零极点图上可以直接量取ω d ， ， 等，然后由式（5.44）计 算超调时间 。 i θ z i θ s pt 分析式（5.44）可以得到下列几点结论： 1）增加零点使 减小，提高了系统的反应速度，增加的零点越靠近虚轴其作 用越显著，而增加极点则相反。 pt 2）若零极点相距很近，则θ zi = θ si ，则对t p 的作用几乎抵消。 3）若除闭环极点外，没有其它零极点，其结果为典型二阶系统的准确计算公 式 d pt ω π = ；若只有一个零点 z1，则结果精确为： ( ) 1 1z d pt π θ ω = − 。 （2）超调量σ p % 由式（5.41）得 (0) (0) ( ) D M c ∞ = ) ( ) ( ) cos( ( ) ( ) 2 (0) (0) ( ) 1 1 1 1 1 1 max s D s M s e t s D s M s D M c c t d p t p p & & = = + ⋅ + ∠ − ω σ 于是 ) ( ) ( ) cos( ( ) ( ) (0) (0) 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 max 1 s D s M s e t s D s M s M D c c c d p t p p & & = ⋅ + ∠ ∞ − ∞ = − σ ω σ (5.45) 由前面推导的结果 ( ) ( ) tg (- ) 1 1 -1 1 s D s M s t d d p & = − ∠ ω σ ω 于是 1 -1 1 1 1 ) sin 2 cos( ) 2 ) cos(tg (- )) cos ( ( ) ( ) cos( s s D s M s t d d d p ω ϕ ϕ π ϕ π ω σ ω = − = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∠ = = − − & 将上式代入式（5.45）得 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 172
自动控制原理电子教案 MOD)° 由式(5.36)得 ∏ IIs,kl ∏I=|s 因为=2,|51-2|=204,所以 1- [=55,-s2ls 于是 (546) 从上式可以得到下列结论 1)若环零点离虚轴较近,即=很小,且->时,σn很大。 2)若附加极点离虚轴较近,即s很小,且1-s>时,op很小 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 1 1 1 1 ( ) ( ) (0) (0) 2 s e s D s M s M D t d p p ω σ σ = ⋅ ⋅ − & 由式（5.36）得 p d t n i i m i i m i i n i i p e s s s s k s z k z s ω σ σ − = = = = ⋅ − − = ⋅ ∏ ∏ ∏ ∏ 1 2 1 1 1 1 1 1 2 因为 1 2 s = s ， d s1 − s2 = 2ω ，所以 pt n i i m i i m i i n i i p e s s s s s s s s s z z s s s σ σ − = = = = − ⋅ − − − = ⋅ ∏ ∏ ∏ ∏ 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 2 于是 pt m i i m i i n i i n i i p e z s z s s s σ σ − = = = = ⋅ − ⋅ − = ∏ ∏ ∏ ∏ 1 1 1 3 1 3 （5.46） 从上式可以得到下列结论： 1）若闭环零点离虚轴较近，即 zi 很小，且 i i s − z >> z 1 时，σ p 很大。 2）若附加极点离虚轴较近，即 si 很小，且 i i s − s >> s 1 时，σ p 很小。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 173
自动控制原理电子教案 53线性离散系统的动态性能分析 离散系统时域性能指标的定义和连续系统中的时域指标定义类似,也是以阶 跃响应的一些特征量作为衡量系统动态性能的指标。常用的也是超调量σp、超调 时间T、调节时间T等 下面讨论两个方面的问题:一是如何分析已知离散系统的动态性能,二是研 究系统结构、参数与动态性能的关系 531离散系统的动态性能指标 若已知离散系统的结构和参数,可以建立系统的数学模型,然后通过求解 系统的差分方程,或者Z反变换,求出输出量在采样时刻的值c(kT),这样,就 很容易根据动态性能指标的定义,确定出超调量、超调时间、调节时间以及稳态 误差等性能指标 例53求取图5.12所示系统的动态过程,并确定其性能指标 R(s) 图5.12离散系统 解:系统中连续部分的传递函数为 开环Z传递函数为 (1+e-)z 于是系统的闭环Z传递函数为 d(x)=G(=)e-z+1-2e-03682+0264 l+G(=) z+0.632 单位阶跃响应的Z变换为 368x-+0.264z C()=o=)()=o)-1 +1.632-0.632 求出了系统的输出C(x),就可以采用各种Z反变换方法求取输出量在采样时刻的 值c(kT)。下面利用幂级数展开法(长除法)进行Z反变换。对上式进行长除得 C(x)=0.3681+-2+1.4-3+1.4-+1.1475+0.8956+0.802-7 0.9939+1077--10+108111103212 +0.981 +0.961-14+0.973x-15+0.99716+1015-17+1017z18+10072-19+ 单位阶跃响应的采样信号为 c()=0.3685(t-7)+o(t-27)+1.46(t-37)+1.46(1-47)+ 1.147(t-5T)+0.8956(t-67)+0.8026(1-77)+0.8686(t-87) +0.9930(-97)+1077(t-107)+1.0816(t-l17)+1.0320(t-127) +0.98l6(-137)+0.9616(t-147)+0.9730(t-157)+0.9976(-167) +10156(t-177)+10176(-187)+1.0072(t-197)+ 由上述数据可绘出c'(t),根据c'(t)可以画出连续信号c()如图5.13中虚线所示。 浙江工业大学自动化研究所 174
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 5.3 线性离散系统的动态性能分析 离散系统时域性能指标的定义和连续系统中的时域指标定义类似，也是以阶 跃响应的一些特征量作为衡量系统动态性能的指标。常用的也是超调量 、超调 时间 、调节时间 等。 σ p Tp Ts 下面讨论两个方面的问题：一是如何分析已知离散系统的动态性能，二是研 究系统结构、参数与动态性能的关系。 5.3.1 离散系统的动态性能指标 若已知离散系统的结构和参数，可以建立系统的数学模型，然后通过求解 系统的差分方程，或者 Z 反变换，求出输出量在采样时刻的值 ，这样，就 很容易根据动态性能指标的定义，确定出超调量、超调时间、调节时间以及稳态 误差等性能指标。 c(kT) 例 5.3 求取图 5.12 所示系统的动态过程，并确定其性能指标。 图5.12 离散系统 s e−Ts 1− ( 1) 1 s s + R(s) T = 1 C(s) 解：系统中连续部分的传递函数为 ( 1) 1 ( ) 2 + − = − s s e G s Ts 开环 Z 传递函数为 2 1 1 1 1 (1 ) 1 2 ( ) − − − − − + + + − = z e z e e z e G z 于是系统的闭环 Z 传递函数为 0.632 0.368 0.264 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 − + + = − + − + − = + Φ = − − − z z z z z e e z e G z G z z 单位阶跃响应的 Z 变换为 2 1.632 0.632 0.368 0.264 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 − + − + = − = Φ = Φ ⋅ z z z z z z z C z z R z z 求出了系统的输出C(z) ，就可以采用各种 Z 反变换方法求取输出量在采样时刻的 值c(kT) 。下面利用幂级数展开法（长除法）进行 Z 反变换。对上式进行长除得 + + + + + + +L + + + + + + = + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 14 15 16 17 18 19 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 0.961 0.973 0.997 1.015 1.017 1.0072 0.868 0.993 1.077 1.081 1.032 0.981 ( ) 0.368 1.4 1.4 1.147 0.895 0.802 z z z z z z z z z z z z C z z z z z z z z 单位阶跃响应的采样信号为 + − + − + − +L + − + − + − + − + − + − + − + − − + − + − + − = − + − + − + − + ∗ 1.015 ( 17 ) 1.017 ( 18 ) 1.0072 ( 19 ) 0.981 ( 13 ) 0.961 ( 14 ) 0.973 ( 15 ) 0.997 ( 16 ) 0.993 ( 9 ) 1.077 ( 10 ) 1.081 ( 11 ) 1.032 ( 12 ) 1.147 ( 5 ) 0.895 ( 6 ) 0.802 ( 7 ) 0.868 ( 8 ) ( ) 0.368 ( ) ( 2 ) 1.4 ( 3 ) 1.4 ( 4 ) t T t T t T t T t T t T t T t T t T t T t T t T t T t T t T c t t T t T t T t T δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 由上述数据可绘出c (t) ，根据 可以画出连续信号 如图 5.13 中虚线所示。 ∗ c (t) ∗ c(t) 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 174
自动控制原理电子教案 图5.13例54系统的单位阶跃响应(见教材) 从图5.13容易看出系统的性能指标如下: 超调时间 超调量 n%≈1.4-1.0 10×100%=40% 调节时间 ,=12T=12秒(以5%为标准,即095<c(1)<1.05) 稳态误差 需要指出的是,控制系统的实际输出是连续的,如图5.13中的虚线,超调 量一般比40%稍大一些 从上面的讨论可以看出,对于离散系统,可以求出系统的Z传递函数,从而 得到系统输出的Z变换C(z),然后采用Z反变换的方法求出输出量在样时刻 的值c(kT)。如果已知系统的差分方程描述,可以转化为Z传递函数描述进行分 析,但也可以直接求解差分方程。 下面介绍几种求解差分方程的方法 532差分方程的递推解法 控制理论中研究得较多的是线性定常离散系统,用常系数线性差分方程描述, 这里只讨论常系数线性差分方程的解法 设描述n阶线性定常离散系统的差分方程为 y(k)+an(k-1)+.+any(k-n) = bou(k)+b, u(k-1)+.+b,u(k-m)=f(k) 与微分方程的数值解法相比,差分方程的数值解法非常简单,尤其适合于计 算机进行迭代运算 首先将式(547)写成递推形式 y(k)=bu(k)+bu(k-1)+…+bnl(k-m)-a1y(k-1)-…-any(k-n) 给定初始条件y(-1),y(-2),…y(-n)和输入信号序列(k)},则可计算出yO y(0)=b(0)+b1(-1)+…+bnl(-m)-a1y(-1)-…-any(-m) 得出y(0)后,则可求得y(1),即 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 图 5.13 例 5.4 系统的单位阶跃响应(见教材) 从图 5.13 容易看出系统的性能指标如下： 超调时间 t p = 3T = 3 秒 超调量 100% 40% 1.0 1.4 1.0 % × = − σ p = 调节时间 ts = 12T = 12 秒 （以5% 为标准，即0.95 < ( ) < 1.05 ） ∗ c t 稳态误差 ess = 0 需要指出的是，控制系统的实际输出是连续的，如图 5.13 中的虚线，超调 量一般比 40% 稍大一些。 从上面的讨论可以看出，对于离散系统，可以求出系统的 Z 传递函数，从而 得到系统输出的 Z 变换C(z) ，然后采用 Z 反变换的方法求出输出量在采样时刻 的值c(kT) 。如果已知系统的差分方程描述，可以转化为 Z 传递函数描述进行分 析，但也可以直接求解差分方程。 下面介绍几种求解差分方程的方法。 5.3.2 差分方程的递推解法 控制理论中研究得较多的是线性定常离散系统，用常系数线性差分方程描述， 这里只讨论常系数线性差分方程的解法。 设描述 n 阶线性定常离散系统的差分方程为 ( ) ( 1) ( ) y k + a1 y k − +L+ an y k − n ( ) ( 1) ( ) ( ) 0 1 b u k b u k b u k m f k = + − +L+ m − = (5.47) 与微分方程的数值解法相比，差分方程的数值解法非常简单，尤其适合于计 算机进行迭代运算。 首先将式(5.47)写成递推形式 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) y k = b0u k + b1u k − +L+ bmu k − m − a1 y k − −L− an y k − n (5.48) 给定初始条件 y(−1) ，y(−2) ，…，y(−n) 和输入信号序列{u(k)}，则可计算出 ， 即 y(0) (0) (0) ( 1) ( ) ( 1) ( ) y = b0u + b1u − +L+ bmu −m − a1 y − −L− an y −n 得出 y(0) 后，则可求得 y(1) ，即 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 175
自动控制原理电子教案 y(1)=bu(1)+b1l(0)+…+bnl(1-m)-a1y(0)-…-any(1-n) 重复这种步骤,可求出{v(k),k=0,1,2,…。 一般,当求出y(k)及其以前的输出序列后,就可计算出y(k+1),即 y(k+1)=bu(k+1)+bl(k)+…+bnl(k+1-m)-a1y(k)-…-any(k+1-n) 递推解法计算简单,但在求解差分方程之前,必须已知初始条件和输入序列。 递推解法仅能得到输出序列的有限项,而且当初始条件或输入发生变化时,所有 步骤必须重做 例54若描述离散系统的差分方程为y(k)+2y(k-1)=u(k)-l(k-1) 已知(k)={60,1O)=-1,用递推法求解该差分方程 解:把u(k)的表达式代入差分方程得 y(k)+2y(k-1)=k2-(k-1)2=2k-1, k≥0 (k)=-2y(k-1)+2k-1 y(1)=-2y(0)+2×1-1=-1 y(2)=-2y(1)+2×2-1=5 y(3)=-2y(2)+2×3-1=-5 y(4)=-2y(3)+2×4-1=17 533差分方程的经典解法 线性差分方程的经典解法与线性微分方程的经典解法非常相似。差分方程 (547)的解由相应的齐次方程的通解即齐次解和非齐次方程的一个特解组成。 1.齐次解 与(547)式相应的齐次方程为 y(k)+a1y(k-1)+…+any(k-m)=0 (550) 式(550)的通解由形式为c的函数组合而成。因此,将y(k)=c代入式(550) 得 c2+a.cak-l +a.cak-m 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 (1) (1) (0) (1 ) (0) (1 ) y = b0u + b1u +L+ bmu − m − a1 y −L− an y − n 重复这种步骤，可求出{ } y(k), k = 0, 1, 2, L 。 一般，当求出 y(k) 及其以前的输出序列后，就可计算出 y(k +1)，即 ( 1) ( 1) ( ) ( 1 ) y k + = b0u k + + b1u k +L+ bmu k + − m ( ) ( 1 ) −a1 y k −L− an y k + − n (5.49) 递推解法计算简单，但在求解差分方程之前，必须已知初始条件和输入序列。 递推解法仅能得到输出序列的有限项，而且当初始条件或输入发生变化时，所有 步骤必须重做。 例 5.4 若描述离散系统的差分方程为 y(k) + 2y(k −1) = u(k) − u(k −1) ， 已知 { 0 0 0 2 ( ) ≥ < = k k k u k ， y(0) = 1，用递推法求解该差分方程。 解：把u(k) 的表达式代入差分方程得 ( ) 2 ( 1) ( 1) 2 1 ， 2 2 y k + y k − = k − k − = k − k ≥ 0 则 y(k) = −2y(k −1) + 2k −1 y(1) = −2y(0) + 2×1−1 = −1 y(2) = −2y(1) + 2× 2 −1 = 5 y(3) = −2y(2) + 2×3 −1 = −5 y(4) = −2y(3) + 2× 4 −1 = 17 M 5.3.3 差分方程的经典解法 线性差分方程的经典解法与线性微分方程的经典解法非常相似。差分方程 (5.47)的解由相应的齐次方程的通解即齐次解和非齐次方程的一个特解组成。 1．齐次解 与 (5.47) 式相应的齐次方程为 y(k) + a1 y(k −1) + L +an y(k − n) = 0 (5.50) 式(5.50)的通解由形式为cλ k 的函数组合而成。因此，将 y(k) = k cλ 代入式 (5.50)， 得： + + L+ −1 1 k k cλ a cλ a cn k n λ − = 0 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 176