自动控制原理电子教案 可见,c(1)在t=0时与横轴相切,随着时间r的增加单调上升,稳态值为1,如图 54(b)所示 (1) 图54过阻尼状态 (2)s=1:临界阻尼状态 这时,特征根为重实根S12=-Cn,根平面图如图55(a)所示。系统的单位阶 跃响应为 C(s)= 1=1mn1 stOn () =1-O, te -e d=1-(o, t+1)e-ed, t>0 (525) dc(n) 0,t>0 dc(t) dc(n) 0 → 可见,c()在t=0时与横轴相切,随着时间t的增加单调上升,稳态值为1,如图 559b)所示 (a) 图55临界阻尼状态 (3)0<<1:欠阻尼状态 这时,特征根是具有负实部的共轭复数: 51 根平面图如图56(a)所示。系统的单位阶跃响应为 (s+s@,)+so (s+con)2+( @n(5+co,)-+ 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 可见，c(t)在t = 0 时与横轴相切，随着时间t 的增加单调上升，稳态值为 1，如图 5.4（b）所示。 图5.4 过阻尼状态 0 c(t) 0 1s t (a) (b) 2 s [S ] （2）ς =1：临界阻尼状态 这时，特征根为重实根 n s1,2 = −ω ，根平面图如图 5.5（a）所示。系统的单位阶 跃响应为 n n n n n s s s s s C s ω ω ω ω ω + − + ⋅ = − + = 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 t n t t n n n n c t te e t e ω ω ω ω ω − − − ( ) =1− − =1− ( +1) ， t ≥ 0 （5.25） 0 d d ( ) 2 = > − t n n te t c t ω ω ，t >0 c(∞) = 1， 0 d d ( ) 0 = t= t c t ， 0 d d ( ) = t→∞ t c t 可见，c(t)在t = 0 时与横轴相切，随着时间t 的增加单调上升，稳态值为 1，如图 5.59b）所示。 图5.5 临界阻尼状态 0 c(t) 0 1,2 s t (a) (b) [S] （3）0 < ς < 1：欠阻尼状态 这时，特征根是具有负实部的共轭复数： 2 1 = −ςω + ω 1−ς n n s j 2 2 = −ςω − ω 1−ς n n s j 根平面图如图 5.6（a）所示。系统的单位阶跃响应为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 ) 1 1 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 1 ( ) ( ) (1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n s s s s s s s s s C s ςω ς ω ς ω ς ς ςω ς ω ςω ςω ς ω ςω ςω ςω ς ω ω + + − − − − + + − + = − + + − + + ⋅ = − + + − = 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 162
自动控制原理电子教案 c(=I-e"s0 cos(1-s2ont)-se-sod sin(i-s2o snV1-52mn1)+y1-52cos(y1-52an1) e"semd sin((1-sOnt+cos" s) esin(Oat+φ) (t≥0) (526) 其中,o=n表明系统暂态分量衰减的速度,称为阻尼系数:ou=on√-52为 有阻尼时的振荡频率,称为有阻尼振荡频率;ρ=cos-1s。参数σ、oa、g、s On与特征根的关系如图5.6(a)所示。 欠阻尼状态下典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图(56b)所示 X…-年 c() 图5.6欠阻尼状态 (4)s=0:无阻尼状态 这时,特征根为一对纯虚数s1=jons2=-jon,根平面图如图57(a)所示 系统的单位阶跃响应为 C(s) s(s-+ c()=1- coso1(t≥0) (527) 单位阶跃响应为等幅振荡,如图5.7(b)所示, c() 0 图5.7无阻尼状态 (5)<0:负阻尼状态 此时,系统的单位阶跃响应中的暂态分量的指数发散,系统不稳定,讨论动 性能指标是没有意义的 浙江工业大学自动化研究所 163
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 sin( 1 ) 1 ( ) 1 cos( 1 ) 2 2 2 c t e t e t n t n t n n ς ω ς ς ς ω ςω ςω − − = − − − − − sin( 1 cos ) 1 1 1 sin( 1 ) 1 cos( 1 ) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ς ω ς ς ς ς ω ς ς ω ς ςω ςω − − − − + − = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + − − − = − e t e t t n t n n t n n sin( ) ( 0) 1 1 1 2 + ≥ − = − − e t t d t ω ϕ ς σ （5.26） 其中， n σ = ςω 表明系统暂态分量衰减的速度，称为阻尼系数； 2 ω =ω 1−ς d n 为 有阻尼时的振荡频率，称为有阻尼振荡频率；ϕ = cos −1 ς 。参数σ 、ω d 、ϕ 、ς 、 ω n 与特征根的关系如图 5.6（a）所示。 欠阻尼状态下典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图（5.6b）所示。 图5.6 欠阻尼状态 0 c(t) 0 1s t (a) (b) [S ] 2 s ω n 1 ω d ϕ σ （4）ς = 0 ：无阻尼状态 这时，特征根为一对纯虚数 n s1 = jω n s2 = − jω ，根平面图如图 5.7（a）所示。 系统的单位阶跃响应为 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 n n n s s s s s C s ω ω ω + = − + = c t t ω n ( ) = 1− cos (t ≥ 0) （5.27） 单位阶跃响应为等幅振荡，如图 5.7（b）所示。 图5.7 无阻尼状态 0 c(t) 0 1s t (a) (b) [S] 2s 1 2 （5）ς < 0 ：负阻尼状态 此时，系统的单位阶跃响应中的暂态分量的指数发散，系统不稳定，讨论动 态性能指标是没有意义的。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 163
自动控制原理电子教案 3.欠阻尼典型二阶系统暂态性能分析 下面讨论欠阻尼状态下的典型二阶系统的暂态性能指标 由式(526),单位阶跃响应为 c(t)=1 (1)上升时间t 对于欠阻尼状态,上升时间是第一次达到稳态值的时间。下面先求c(t1)=1的 时间t c(4)=1-2sno+9)=1 d1+g)=0 因为,em≠0,所以,应有sn(o41+p)=0,则 @dt +p 即1的解为 …。因为上升时间tr>0,且是第一次到达c(∞)的时 间,所以 Ot,+=丌 则上升时间为 . =- (2)超调时间t P) @d cos(o,t (529) 由超调量定义,tp是c()第一次达到最大值的时间,因为c()是连续函数,所以 dco 首先求使c(=0的点tn。由式(529)得 osin(odto +o)=@d cos(@dto+o) tgo 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 3．欠阻尼典型二阶系统暂态性能分析 下面讨论欠阻尼状态下的典型二阶系统的暂态性能指标。 由式（5.26），单位阶跃响应为： sin( ) 1 ( ) 1 2 ω ϕ ς σ + − = − − t e c t d t （1）上升时间 rt 对于欠阻尼状态，上升时间是第一次达到稳态值的时间。下面先求 的 时间 ： c(t1 ) = 1 1t sin( ) 1 1 ( ) 1 1 2 1 1 + = − = − − ω ϕ ς σ t e c t d t 则 sin( 1 ) 0 1 + = − ω ϕ σ e t d t 因为，e−σt 1 ≠ 0 ，所以，应有sin(ω d t1 +ϕ) = 0 ，则 ω d t1 +ϕ = 0,π ,2π ,LL 即t1 的解为 , ,LL d ω d π ϕ ω ϕ − − 。因为上升时间tr > 0 ，且是第一次到达c(∞) 的时 间，所以 ω d tr +ϕ = π 则上升时间为 d rt ω π − ϕ = （5.28） （2）超调时间 p t cos( ) 1 sin( ) 1 d d ( ) 2 2 ω ω ϕ ξ ω ϕ ξ σ σ σ + − + − − = − − t e t e t c t d d t d t （5.29） 由超调量定义， 是 第一次达到最大值的时间，因为 是连续函数，所以 有 p t c(t) c(t) 0 d d ( ) = = p t t t c t 首先求使 0 d d ( ) = t c t 的点t 0 。由式（5.29）得 sin( ) cos( ) σ ω d t0 + ϕ = ω d ω d t0 + ϕ ϕ ς ς ςω ω ς σ ω ω ϕ tg 1 1 tg( ) 2 2 0 = − = − + = = n d n d t 则 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 164
自动控制原理电子教案 因为tn>0且是c(1)第一次达到峰值的时间,所以应取 则 (530) (3)超调量on% 1+ 由于sing c2,所以 C=1+e 则由超调量的定义,得 max 100%=e 100% (531) c(∞) (4)调节时间ts 由调节时间的定义,有 (4)-x)=N sn(odt+g)≤△% (532) 上式是一个超越方程,要解出t,可用数值解法,但用数值解法得不到r,与系统参 数之间的关系,难于指导系统设计。采用某些近似,可以得到t的近似计算公式。 显然,为了确保系统的实际性能符合要求,应使由计算公式得到的调节时间大于 实际调节时间。由于 c(t,)-c(oo=e,r=lsi n(odt+p)≤ea,1 则ts可以取为 浙江工业大学自动化研究所 165
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 ω d t0 = 0,π,2π ,3π,LL 因为t p > 0 且是c(t)第一次达到峰值的时间，所以应取 ω d t p = π 则 d p t ω π = （5.30） （3）超调量σ p % c(∞) = 1 ϕ ς ϕ ω π ω ς ω ϕ ς ς ςπ ς ω π ςω σ sin 1 1 1 sin( ) 1 1 sin( ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 2 1 2 max − − − − − − = + + − = − + − = = − e e t e c c t d d d p t p n n p 由于 2 2 sinϕ = 1− cos ϕ = 1− ς ，所以 2 1 max 1 ς ςπ − − c = + e 则由超调量的定义，得 100% 100% ( ) ( ) % 2 max 1 ⋅ = ⋅ ∞ − ∞ = − − ς ςπ σ e c c c p （5.31） （4）调节时间 st 由调节时间的定义，有 sin( ) % 1 ( ) ( ) 2 + ≤ ∆ − − ∞ = − ω ϕ ς σ d s t s t e c t c s （5.32） 上式是一个超越方程，要解出 可用数值解法，但用数值解法得不到 与系统参 数之间的关系，难于指导系统设计。采用某些近似，可以得到 的近似计算公式。 显然，为了确保系统的实际性能符合要求，应使由计算公式得到的调节时间大于 实际调节时间。由于 st st st 2 2 1 1 sin( ) 1 1 ( ) ( ) ς ω ϕ ς σ σ − + ≤ − − ∞ = − s − st d s t s c t c e t e 则ts 可以取为 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 165
自动控制原理电子教案 则 =-1y-=△%)=-1y-2△ (533) In (5.34a) 当Δ=5时 当0<5<0.9时,可以进一步近似为 (535a) 当Δ=5时 (5.35b) 其中,T=—定义为欠阻尼二阶系统的时间常数 欠阻尼典型二阶系统的暂态性能推标总结如下: 100% 对于临界阻尼、过阻尼典型二阶系统的暂态指标也可以由指标定义计算,但 要用数值解法求解超越方程。一般将系统设计成欠阻尼状态,以提高系统响应的 速性,所以,上述公式很重要,要求熟记 浙江工业大学自动化研究所 166
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 % ( ) % 1 2 ≤ ∆ ⋅ ∞ = ∆ − − c e st ς σ 则 n st ςω ς ς σ ln( 1 %) ln( 1 %) 1 2 2 − ∆ = − − ∆ = − （5.33） 当 ∆ = 2 时 2 1 50 ln 1 ς ςω − = n st （5.34a） 当 ∆ = 5 时 2 1 20 ln 1 ς ςω − = n st （5.34b） 当0 < ς < 0.9 时，可以进一步近似为 当 ∆ = 2 时 t T n s 4 4 = = ςω （5.35a） 当 ∆ = 5 时 t T n s 3 3 = = ςω （5.35b） 其中， n T ςω 1 = 定义为欠阻尼二阶系统的时间常数。 欠阻尼典型二阶系统的暂态性能指标总结如下： % 100% 2 1 = ⋅ − − ς ςπ σ e p d pt ω π = 2 ω =ω 1−ς d n d rt ω π −ϕ = ϕ ς 1 cos − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∆ = ∆ = = 5 3 2 4 n n st ςω ςω 对于临界阻尼、过阻尼典型二阶系统的暂态指标也可以由指标定义计算，但 要用数值解法求解超越方程。一般将系统设计成欠阻尼状态，以提高系统响应的 快速性，所以，上述公式很重要，要求熟记。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 166