数 理 着考处 x(n)=x(Dent X,(se ds 0+Joo X wnt we o+j(k+1)Q2 X,(w)e ndw 2丌 w=S+ikE X,(s+jks )Je(s+ jk2, ntc ITX(sle ds 2 X(Inz)zdz 27j X()”d (4.2.2) 2T j
1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 1 ( ) () ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 [ ( )] 2 1 [ ( )] 2 s s s s s s s j snT a t nT a j j wnT a j j k wnT a j k k j s jk nT s a s j k j snT s j xn x t X s e ds j X w e dw j X w e dw j w s jk X s jk e ds j TX s e ds j z σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ π π π π π + ∞ = − ∞ + ∞ − ∞ +∞ + +Ω + −Ω =−∞ Ω +∞ + + Ω Ω − =−∞ Ω + Ω − = = = = =+ Ω + Ω = ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ 1 1 1 1( ln ) 2 1 ( ) (4.2.2) 2 T sT n s z e n c e Xz z dz j T X z z dz j σ π π − = − = = ∫ ∫ v v
数 理 着考处 式(42.2)称为象函数X(z)舶逆Z变换式,并记x(m)=LTX(z) 其中c是象函数X()的收敛域e<=e|=e0<e内的 条正向圆周曲线=e或任意一条正向闭曲线。 由式(422),并考虑到式(42.1)可得 X(z=X(lnz=X(s) =[∑x(m)lm x(n)二 (42.3) S=-In n=-0 式(4,2.3)称为序列x(m)的双边Z变换式,象函数X(=)舶收敛域 为e< 般可简记为x(n)<→>X(),R<<R)
( ) 1 ln 1 ln 4.2.2 ( ) ( ) [ ( )] ( ) 4.2.2 4.2.1 1 ( ) ( ln ) ( ) [ ( ) ] ( ) T sT j T T T s s s z T snT n s z n n T X z Z xn X z c Xz e z e e e z e Xz X z X s T xne xnz α σ β σ + Ω = +∞ +∞ − − = =−∞ =−∞ = <= = < = = = = = ∑ ∑ 式（ ）称为象函数 的逆 变换式，并记 ， IZT 其中 是象函数 的收敛域 内的一 条正向圆周曲线 或任意一条正向闭曲线。 由式（ ），并考虑到式（ ）可得 (4.2.3) 4.2.3 ( ) ( ) () () , ) T T a b xn Z X z e ze xn X z R z R α β < < ←⎯→ << 式（ ）称为序列 的双边 变换式，象函数 的收敛域 为 。一般可简记为
数 理 【2】序列的单边Z变换 着考处 若序列是因果序列x(m)=x(n)(m),则其Z变换可用单边Z变换表示。 正Z变换ZIx(m)=∑x(n)2n=X(=),R<|≤(424) 逆Z变换IZT[X(z) X(zzz=x(n)u(n) (42.5) 2 j 式中,c是象函数X()收敛域R<|≤∞内的一条任意一条正 向闭曲线。 简记为x(n)<→>X(=),R<2≤∞ 显然,若序列为因果序列,则其单边Z变换与双边Z变换等价
0 1 () ()() [ ( )] ( ) ( ) , (4.2.4) 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) (4.2.5) 2 ( ) () () , n a n n c a a xn xnun Z Z xn xnz X z R z X z X z z dz x n u n j c Xz R z xn X z R π +∞ − = − = = = < ≤∞ = = < ≤∞ ←⎯→ ∑ ∫ Z ZT Z IZT v 若序列是因果序列 ，则其 变换可用单边 变换表示。 正 变换 逆 变换 式中， 是象函数 的收敛域 内的一条任意一条正 向闭曲线。 简记为 z Z Z < ≤∞ 显然，若序列为因果序列，则其单边 变换与双边 变换等价。 【2】序列的单边Z变换
数 理 22、Z变换的收敛域 着考处 给定序列x(n),使定义X(=)的和式,即式(42.3))收敛的Z 的集合,称为序列x(m)的Z变换X(z)舶收敛域。 若x(n)z满足绝对可和条件,即 ∑|x(m)="=∑|(m) 426) n=-00 考虑到式(42.3),则有 X()s∑x(m)==∑xm)”<a (4.2.7) 式(4,2.7)表明,序列x(n)的双边Z变换存在。因此, 将x(n)z"满足绝对可和条件对应的的取值范围,称为序列x(n)的 双边Z变换X(z)的收敛域
2、Z变换的收敛域 ( ) ( ) 4.2.3 () () ( ) ( ) ( ) (4.2.6) 4.2.3 ( ) ( ) ( ) (4.2.7) 4.2.7 n n n n n n n n n xn X z Z xn Z X z xnz xnz xn z X z xnz xn z − +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ = < ∞ ≤= < ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ 给定序列 ，使定义 的和式，即式（ ））收敛的 的集合，称为序列 的 变换 的收敛域。 若 满足绝对可和条件，即 考虑到式（ ），则有 式（ ）表明 ( ) () () ( ) n xn Z xnz xn Z Xz − ，序列 的双边 变换存在。因此， 将 满足绝对可和条件对应的的取值范围，称为序列 的 双边 变换 的收敛域
数 理 着考处 例42.1:若序列x(n)=o6(n-n0),(n0>0),试求x(n)的Z变换, 并标明收敛域 解:考虑到双边Z变换的定义式(42.3),则有 X S(n-n)z 28) n=-00 n=-00 由式(42.8)可知,延时单位冲激序列的Z变换的收敛域 为有限全Z平面。 特别地:若n=0,则有 由式(429)可知,单位冲激序列的Z变换的收敛域为全Z平面。 考虑到式(4.29)及逆Z变换式(422),则有 6(n) dz 2丌
0 0 0 0 0 . . ( ) ( ) , ( 0) ( ) 4.2.3 ( ) ( ) ( ) , 0 (4.2.8) 4.2.8 0 ( ) 1 , 0 n n n n n xn n n n xn Z Z X z xnz n n z z z Z Z n n z δ δ δ +∞ +∞ − − − =−∞ =−∞ =− > = = − = < ≤∞ = ←⎯→ ≤ ≤∞ ∑ ∑ 例421：若序列 ，试求 的 变换， 并标明收敛域。 解：考虑到双边 变换的定义式（ ），则有 由式（ ）可知，延时单位冲激序列的 变换的收敛域 为有限全 平面。 特别地：若 ，则有 1 (4.2.9) 4.2.9 4.2.9 4.2.2 1 ( ) (4.2.10) 2 n c Z Z Z n z dz j δ π − = v∫ 由式（ ）可知，单位冲激序列的 变换的收敛域为全 平面。 考虑到式（ ）及逆 变换式（ ），则有