自动控制系统及应用 s2=-{n±(1y1-2 此时,二阶系统的传递函数的极点是一对位于复数[s]平面的左半面内的共轭复数极点 如图7.6(a)所示。这时,系统称为欠阻尼系统。 s on -E2 (c)2=1 (d)2>1 图7.6二阶系统的特征根分布 当ξ=0时,两特征根为共轭纯虚根,即S12=±jon,如图76(b)所示。这时,系统 称为无阻尼系统。 当5=1时,特征方程有两个相等的负实根,即S2=-On,如图76(c)所示。这时,系 统称为临界阻尼系统。 当5>1时,特征方程有两个不等的负实根,即s12=-50n±On 如图76(d) 所示。这时,系统称为过阻尼系统 932二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数r()=1(0),即R(s)=-,则二阶系统的单位阶跃响 应的拉氏变换为 C(s)=x+250s+0ns S S"+250,s+@ 不同阻尼比时的单位阶跃响应可讨论如下。 (1)当0<5<1,系统为欠阻尼系统时,将式(7.11)改写成 @n)+Oa (s+5on)2+ 式中O4=On√h-52,称为二阶系统的有阻尼振荡频率 对式(7.12)取拉氏反变换,得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 c(o=1-e-son'(cos@,/+s sine2)(t≥0) (7.13)
自动控制系统及应用 185 2 1,2 n n s j = − − 1 此时，二阶系统的传递函数的极点是一对位于复数[s]平面的左半面内的共轭复数极点， 如图 7.6（a）所示。这时，系统称为欠阻尼系统。 当 = 0 时，两特征根为共轭纯虚根，即 1,2 n s j = ，如图 7.6（b）所示。这时，系统 称为无阻尼系统。 当 = 1 时，特征方程有两个相等的负实根，即 1,2 n s = − ，如图 7.6(c)所示。这时，系 统称为临界阻尼系统。 当 1 时，特征方程有两个不等的负实根，即 2 1,2 n n s = − − 1 ，如图 7.6(d) 所示。这时，系统称为过阻尼系统。 9.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数 r t t ( ) 1( ) = ，即 1 R s( ) s = ，则二阶系统的单位阶跃响 应的拉氏变换为 2 n 2 2 n n 2 2 n 1 ( ) 2 1 2 2 n n C s s s s s s s s = + + + = − + + (7.11) 不同阻尼比时的单位阶跃响应可讨论如下。 （1） 当 0 1 ，系统为欠阻尼系统时，将式（7.11）改写成 n d 2 2 2 2 2 n d n d 1 ( ) ( ) ( ) 1 s C s s s s + = − − + + + + − (7.12) 式中 2 d n = −1 ，称为二阶系统的有阻尼振荡频率。 对式（7.12）取拉氏反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 n d d 2 ( ) 1 e (cos sin ) 1 t c t t t − = − + − （ t ≥0） （7.13） 图 7.6 二阶系统的特征根分布 0 (b) =0 图9.6 二阶系统的特征根分布 (a)0< <1 1 2 - n n 1- 0 n 2 [s] (c) =1 (d) >1 0 2 ( ) n 1 2 1 [s] 1 2 [s] 0 [s]
自动控制系统及应用 或写成 -sogr c(t)=1 式中 B=ar 式(7.14)表明系统的响应由稳态分量和瞬态分量两部分组成,稳态分量值等于1, 瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程,其衰减的快慢取决于指数50n,所以5on 又称为衰减系数,或将15n称为衰减时间常数。振荡的角频率为oa (2)当5=0,系统为无阻尼系统时,由式(7.11)有 取拉氏反变换得 ()=1- cOSO t(t≥0) 系统响应呈等幅振荡,振荡的角频率为,。 (3)当5=1,系统为临界阻尼系统时,由式(7.11)有 1s+2c S (S+O) SS+O, (S+O) 取拉氏反变换得 (1)=1 (1+On21)(t≥0) 系统响应为单调上升,不再具有振荡 (4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时,系统有两个不等的负实根, =-(5+√52-1)on;s2=(5-√=2-1)on,将式(71)展开有 C(s) s-+250s+o-S
自动控制系统及应用 186 或写成 d 2 ( ) 1 in( ) 1 n t e c t s t − = − + − （ t ≥0） (7.14) 式中 2 1 arctan − = 式（7.14）表明系统的响应由稳态分量和瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于 1， 瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程，其衰减的快慢取决于指数 n ，所以 n 又称为衰减系数，或将 n 1 称为衰减时间常数。振荡的角频率为 d 。 （2） 当 = 0 ，系统为无阻尼系统时，由式（7.11）有 2 2 n 1 ( ) s C s s s = − + 取拉氏反变换得 n c t t ( ) 1 cos = − （ t ≥0） (7.15) 系统响应呈等幅振荡，振荡的角频率为 n 。 （3） 当 = 1 ，系统为临界阻尼系统时，由式（7.11）有 n 2 n 1 2 ( ) ( ) s C s s s + = − + n 2 n n 1 1 s s ( ) s = − − + + 取拉氏反变换得 n n ( ) 1 (1 ) t c t e t − = − + （ t ≥0） (7.16) 系统响应为单调上升，不再具有振荡。 （4） 当 1 ，系统为过阻尼系统时，系统有两个不等的负实根， 2 1 n s = − + − ( 1) ； 2 2 n s = − − − ( 1) 。将式(7.11)展开有 2 n 2 2 n n 1 ( ) 2 C s s s s = + + 1 2 3 2 2 n n n n ( 1) ( 1) A A A s s = + + − + − − − − −
自动控制系统及应用 可求得待定系数 A1=1,A2= 22-5-2-1)2V-l(5+V2-i) 取拉氏反变换得 01y--2 (1≥0)(717) 或写成 c()=1+-nee" (t≥0) (7.18) 过阻尼时系统的阶跃响应也为单调上升,其上升的速度较临界阻尼更慢。 计算表明,当5>1.5时,在式(718)的两个衰减的指数项中,e的衰减比e2的衰减要 快得多,因此过渡过程的变化以e-项起主要作用。从S平面看,愈靠近虚轴的根,过渡过 程的时间愈长,对过渡过程的影响愈大,更起主导作用 式(7.14)~(717所描述的典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图77所示。 4 0.8 06 2.0 图77典型二阶系统的单位阶跃响应曲线 由图可知,二阶系统在不同的阻尼比时,它们的单位阶跃响应差异很大。ξ<1时,响 应是衰减振荡特性,并且随着阻尼比的减小,其振荡特性表现得愈加强烈,当ξ=0时达到
自动控制系统及应用 187 可求得待定系数 1 2 3 2 2 2 2 1 1 1, , 2 1( 1) 2 1( 1) A A A − = = = − − − − + − 取拉氏反变换得 2 n 2 n ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 1 ( ) 1 e 2 1( 1) 1 e 2 1( 1) t t c t − − − − + − = − − − − + − + − （ t ≥0） (7.17) 或写成 2 1 n 2 2 1 e e ( ) 1 ( ) 2 1 s t s t c t s s = + − − （ t ≥0） (7.18) 过阻尼时系统的阶跃响应也为单调上升，其上升的速度较临界阻尼更慢。 计算表明，当 1.5 时，在式(7.18)的两个衰减的指数项中， 1 e st 的衰减比 2 e st 的衰减要 快得多，因此过渡过程的变化以 2 e st 项起主要作用。从 S 平面看，愈靠近虚轴的根，过渡过 程的时间愈长，对过渡过程的影响愈大，更起主导作用。 式(7.14)～(7.17)所描述的典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图 7.7 所示。 由图可知，二阶系统在不同的阻尼比时，它们的单位阶跃响应差异很大。 1 时，响 应是衰减振荡特性，并且随着阻尼比的减小，其振荡特性表现得愈加强烈，当 = 0 时达到 图 7.7 典型二阶系统的单位阶跃响应曲线
自动控制系统及应用 等幅振荡。在ξ=1和ξ>1时,响应具有单调上升的特性。从过渡过程的持续时间来看,在 无振荡单调上升的曲线中,以5=1时的过渡时间1最短。在欠阻尼系统中,当5=04~0.8 时,不仅其过渡过程时间比ξ=1时的更短,而且振荡不太严重。因此,一般希望二阶系统 工作在5=04~0.8的欠阻尼状态,因为这个工作状态有一个振荡特性适度而持续时间又 较短的过渡过程。每一个实际的系统允许工作在什么状态,是根据具体工作任务要求所决定 的。为系统选择一个最佳的工作状态,使其动态性能良好,实际上是选择合适的特征参数5 和O,值 74瞬态响应的性能指标 在许多情况下,系统所需的性能指标一般以时域量值的形式给出。 通常,系统的性能指标,是以二阶系统对单位阶跃输入的响应的特征量来定义的。这是 由于二阶系统的阶跃响应比较典型,数学分析也比较容易,许多高阶系统的动态过程,常可 用二阶系统来近似处理。 还应指出,除了那些不允许产生振荡的控制系统外,通常都允许系统有适度的振荡,以 获得较短的过渡过程时间,这便是常常使系统工作在欠阻尼状态的原因。因此,下面有关性 能指标的定义及计算公式的推导除特别说明者外,都是针对欠阻尼二阶系统而言 74.1性能指标及其计算 为了说明欠阻尼二阶系统的单位 阶跃响应的过渡过程特性,通常采用 )(包络线 下列性能指标(见图78):上升时间 t,峰值时间1,最大超调量G,调 整时间L,振荡次数N 下面来定义上述性能指标,推导 它们的计算公式,分析它们与系统特 征参数和On之间的关系。 图78二阶系统阶跃响应曲线及动态指标 (1)上升时间t 响应曲线从原工作状态出发,第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间(对过 阻尼系统,一般将响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间称为上升时间)。 根据定义,当t=1时,c(1)=1。由式(7.14)求得
自动控制系统及应用 188 等幅振荡。在 = 1 和 1 时，响应具有单调上升的特性。从过渡过程的持续时间来看，在 无振荡单调上升的曲线中，以 = 1 时的过渡时间 s t 最短。在欠阻尼系统中，当 = 0.4 ~ 0.8 时，不仅其过渡过程时间比 = 1 时的更短，而且振荡不太严重。因此，一般希望二阶系统 工作在 = 0.4 ~ 0.8 的欠阻尼状态，因为这个工作状态有一个振荡特性适度而持续时间又 较短的过渡过程。每一个实际的系统允许工作在什么状态，是根据具体工作任务要求所决定 的。为系统选择一个最佳的工作状态，使其动态性能良好，实际上是选择合适的特征参数 和 n 值。 7.4 瞬态响应的性能指标 在许多情况下，系统所需的性能指标一般以时域量值的形式给出。 通常，系统的性能指标，是以二阶系统对单位阶跃输入的响应的特征量来定义的。这是 由于二阶系统的阶跃响应比较典型，数学分析也比较容易，许多高阶系统的动态过程，常可 用二阶系统来近似处理。 还应指出，除了那些不允许产生振荡的控制系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以 获得较短的过渡过程时间，这便是常常使系统工作在欠阻尼状态的原因。因此，下面有关性 能指标的定义及计算公式的推导除特别说明者外，都是针对欠阻尼二阶系统而言。 7.4.1 性能指标及其计算 为了说明欠阻尼二阶系统的单位 阶跃响应的过渡过程特性，通常采用 下列性能指标（见图 7.8）：上升时间 r t ，峰值时间 p t ，最大超调量 ，调 整时间 s t ，振荡次数 N 。 下面来定义上述性能指标，推导 它们的计算公式，分析它们与系统特 征参数 和 n 之间的关系。 （1）上升时间 r t 响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对过 阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的 10%上升到 90%所需的时间称为上升时间）。 根据定义，当 r t t = 时， r c t( ) 1 = 。由式（7.14）求得 图 7.8 二阶系统阶跃响应曲线及动态指标 () c