西安电子科技大学：《数字信号处理》课程教学课件（讲稿）03 离散傅里叶变换DFT及其快速算法FFT

DFT与DFS之间的关系： DFT:x(n) 台 X(k) DFS:x(m)台X(k) ■当条件不满足，即N<M时，xn)的周期延拓序列xx(n) 会发生时域混叠，此时x(n)的DFS系数X(k)的主值序列 将不再是x《n)的DFT变换X(k)。 17

DFT与DFS之间的关系: DFT x n X k : () ()  : () () DFS x n X k N      当条件不满足，即 时， N M x(n)的周期延拓序列 ( ) Nx n 会发生时域混叠，此时 的DFS系数 的主值序列 将不再是x(n)的DFT变换X(k)。 ( ) ~ ( ) X k Nx n 将不再是x(n)的DFT变换X(k)。 17

例：x(nm)=R(n),求： ()X(z) (2)X(eo) (3)令xw(n)= ∑xn+mN)R,(m求X,()=DFT[xxm,N=16 解： () X(2)=1z8 1-219 z>0 (2) X(ei)= -e-jo8 e。sin = 2 1-e-jo 2 (3) X(k)=X(e)儿w= π sin =e 2 k=0,1,2,.,15 sin k 16 20

例 ( ) ( ) 1 ( ) (2) ( ) j R XX 求 （）  例： 8 () (), 1 () (2) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )], 16 j N NN N x n R n X z X e x n x n mN R n X k DFT x n N         求： （） 令 ，求 m- 解： -8 1-z 解： (1) X z z 0 ( )=  1 (1) X z , z 0 1 z  - ( ) - 8 j 1 j e   7 8 sin 2 j    j 1 (2) X e ) 1 j ee      ( 2 21 sin 2 j e    2 N j N k (3) X (k) X e ) |     ( 2 7 16 sin 2 0, 1, 2, , 15 j k k e k        20 sin 16 k 

3.1.3DFT的矩阵方程表示（1) X)=DFT,-兑m购 0≤k≤N-1 n=0 X=DNX X(0) x(0) X(1) x(1) Y= X= X(N-1) x(N-1) N点 DFT矩阵 1 1 1 1 1 WN W保 WN- D、= 1 W W W2(N-D 1 Wo-D m2-) . W(N-D-(N-D 21

3.1.3 DFT 3.1.3 DFT的矩阵方程表示 的矩阵方程表示 （ 1 ） 1 0 () [( )] () 0 1 N kn N N n X k DFT x n x n W k N            X x (0) (0) X=D xN n 0 (0) (0) (1) (1) , X x X x X               x   X N xN ( 1) ( 1)           N 点 12 1 111 1 1 N WW W NN N          点 DFT矩阵 2 4 2( 1) 1 NN N N D WW W NN N           N     21 ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) 1 N N NN WW W NN N           

3.1.3DFT的矩阵方程表示(2) X=DNX ■IDFT的矩阵表示 =D7TX创= X(Kk)w0≤n≤N-l x=DX N点 IDFT矩阵 1 1 1 1 W W W(N-D D 1 1 W W Ww2-) 1 Wy (N-D y2(N-) Wy (N-D-N-D 22

3.1.3 DFT的矩阵方程表示（2） X=D x 3 3 的矩阵方程表示（  IDFT的矩阵表示 N 1 X=D xN 0 1 ( ) [ ( )] ( ) 0 1 N kn N k x n IDFT X k X k W n N N         1 x=D X N￾N点  111 1     IDFT矩阵 1 2 ( 1) 1 2 4 2( 1) 1 1 1 N NN N N N NN N WW W D WW W N                   ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) 1 N N NN NN N N WW W                    22

1 1 1 1 W m 1 W W 2- . 1 W(N-D W2(N-D W(-D(N-D 1 1 1 1 W W W(N-D W W W2(- Wy (N-b W20- W (N-I)(N-1) D对 N 23

12 1 111 1 1 N WW W NN N          2 4 2( 1) 1 N D WW W NN N             N       ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) 1 N N NN WW W NN N          1 2 ( 1) 1 2 4 2( 1) 111 1 1 1 N NN N N WW W              1 2 4 2( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 N N NN N N N NN D WW W N WW W                           ( 1) 2( 1) ( 1) ( 1) 1 N N NN WW W NN N             1 1 D D    23 D D N N N 