电动力学习题参考 第六章狭义相对论 解:取固着于观察者上的参考系为∑ 在2系中:1x=lcos6,=lsin6 在∑系中,l=1 =Icos 0 l,=l=Sine 8两个惯性系∑和∑中各放置若干时钟,同一惯性系的诸时钟同步,∑相对于∑以速度 ⅴ沿x轴运动,设两系原点相遇时,t0=0=0,问处于∑系中某点(x,y,z)处的时钟 与∑系中何处时钟相遇时,指示的时刻相同?读数是多少? 解:根据变换关系,得 (4) 设∑系中P(x,y,=,1)处的时钟与∑′系中Q(x',y’,x,)处时钟相遇时,指示时间相同: 在(4)式中,有t=t,解得:x=(1 2)代入(1)式, 得 相遇时:t=t -(1+ 即为时钟指示的时刻。 9.火箭由静止状态加速到v=√0.999,设瞬时惯性系上加速度为=20m:s2,问按
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 6 - 解 取固着于观察者上的参考系为Σ′ 在Σ 系中 l x = l cosθ l y = lsinθ 在Σ′ 系中 2 2 2 2 1 cos 1 c v l c v l l x = x − = − ′ θ l y = l y = lsinθ ′ 2 2 1 c v tg l l tg x y − = ′ ′ ∴ ′ = θ θ 8. 两个惯性系Σ 和Σ′ 中各放置若干时钟 同一惯性系的诸时钟同步 Σ′ 相对于Σ 以速度 v 沿 x 轴运动 设两系原点相遇时 0 0 0 =′ t = t 问处于Σ 系中某点 x y z 处的时钟 与Σ′ 系中何处时钟相遇时 指示的时刻相同 读数是多少 解 根据变换关系 得 − − ′ = ′ = ′ = − − ′ = (4) 1 (3) (2) (1) 1 2 2 2 2 2 LL LLLL LLLL LL c v x c v t t z z y y c v x vt x 设Σ 系中 P(x, y,z,t) 处的时钟与Σ′ 系中Q(x′, y′,z′,t′)处时钟相遇时 指示时间相同 ∴在 4 式中 有t = t′ 解得 (1 1 ) 2 2 2 c v t v c x = − − 代入 1 式 得 x c v t v c x′ = − (1− 1− ) = − 2 2 2 相遇时 (1 1 ) (1 1 2 2 2 2 2 c v v x c v v c x t t = + − − − = ′ = 即为时钟指示的时刻 9 火箭由静止状态加速到v = 0.9999c 设瞬时惯性系上加速度为 2 20 − v = m ⋅s & v 问按 y o y’ o’ z z’ x x’ Σ v Σ′ P Q
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间? 解:1)在静止系中,加速火箭 令静止系为∑系,瞬时惯性系为Σ系,且其相对于Σ系的速度为u,可知v,ν,同向 并令此方向为x轴方向 由ⅹ轴向上的速度合成有: (y是火箭相对于∑′系的速度) 在Σ系中,加速度为a===(1 a (a'如 dt 本题中a'=20m·s-2,而∑’系相对于火箭瞬时静止,∴l=V,v=0 a(1-7)为 得 100√099 =475年 10.一平面镜以速度ⅴ自左向右运动,一束频率为Oo,与水平线成b0夹角的平面光波自 左向右入射到镜面上,求反射光波的频率O及反射角,垂直入射的情况如何? 解:1)平面镜水平放置,取相对于平面镜静止的参考系为∑’系,取静止系为∑系,并令 入射光线在平面xoy内 在∑系中,有: 入射光线:ka= k cosco,kn= k sine0,ke=0,1=O 由变换关系,得Σ′系中的入射光线
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 7 - 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间 解 1 在静止系中 加速火箭 令静止系为Σ 系 瞬时惯性系为Σ′ 系 且其相对于Σ 系的速度为 u 可知v v u v & v v , , 同向 并令此方向为 x 轴方向 由 x 轴向上的速度合成有 2 1 c uv v u v + ′ + = v′是火箭相对于Σ′ 系的速度 ∴在Σ 系中 加速度为 3 2 2 3 2 2 (1 ) (1 ) c uv a c u dt dv a ′ + ′ = = − ) dt dv a ′ ′ ′ = 本题中 2 20 − a′ = m ⋅s 而Σ′ 系相对于火箭瞬时静止 ∴u = v,v′ = 0 2 3 2 2 (1 ) c v a dt dv ∴a = = ′ − ∫ ∫ = ′ − ∴ c t a dt c v dv 0 0.9999 0 2 3 2 2 (1 ) 得 47.5 100 0.9999 = ′ = a c t 年 10 一平面镜以速度 v 自左向右运动 一束频率为ω0 与水平线成θ 0 夹角的平面光波自 左向右入射到镜面上 求反射光波的频率ω 及反射角θ 垂直入射的情况如何 解 1 平面镜水平放置 取相对于平面镜静止的参考系为Σ′ 系 取静止系为 Σ 系 并令 入射光线在平面 xoy 内 在Σ 系中 有 入射光线 0 0 0 kix = k cosθ , kiy = k sinθ , kiz = 0,ωi = ω 由变换关系 得Σ′ 系中的入射光线
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 k. =v(k cos0 ksin e @,=v(Oo-wk cos8o) 在Σ系中,平面镜静止,由反射定律可得,反射光线满足 krr =v(k cos8o-2O0); kry =ksin Bo k Bo) 代入逆变换关系,得∑系中的反射光线满足 kr=v(kcos80-200)+2v(Oo-wk cosBo)]=k cosco k=ksin 8o k=0 @,=vvv(k cos8o--Oo)+v(oo -vk cos.)] 在Σ系中观察到:入射角=-0=反射角,O,=0.=0 若垂直入射,日0 ,以上结论不变。 2 3)镜面垂直于运动方向放置,同1)选择参考系,并建立相应坐标系 在Σ系中,入射光线满足:k=-kcos6,kn=- ksin e0,k=0.0,=o 由变换关系,得∑系中的入射光线 Oo =一kSln k=0 @,=voo-v(k cos0o)]=v(o,+vk cos8o) 在Σ系中,平面镜静止,由反射定律可得,反射光线满足: krr =-v(k cos00-200)=v(kcos00+2@o), ky =-ksin8o k2=0,0,=v(oo+wkcos8o) 代入逆变换关系,得∑系中的反射光线满足 8
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 8 - = − ′ =′ = − ′ = − ′ ( cos ) 0 sin ( cos ) 0 0 0 0 2 0 ω ν ω θ θ ν θ ω vk k k k c v k k i iz iy ix 在Σ′ 系中 平面镜静止 由反射定律可得 反射光线满足 0; ( cos ) ( cos ); sin 0 0 0 2 0 0 ω ν ω θ ν θ ω θ k vk k k c v k k rz r rx ry = − ′ =′ =′ = − ′ 代入逆变换关系 得Σ 系中的反射光线满足 0 2 0 2 0 0 0 ν[ν ( cosθ ω ) ν (ω vk cosθ )] k cosθ c v c v k k rx = − + − = 0 kry = k sinθ = 0 rz k 0 2 0 0 0 0 ω =ν[ ν ( cosθ − ω ) +ν (ω − vk cosθ )] = ω c v v k r ∴在Σ 系中观察到 入射角 − 0 = 2 θ π 反射角 ωi = ω r = ω0 若垂直入射 2 0 π θ = 以上结论不变 3 镜面垂直于运动方向放置 同 1 选择参考系 并建立相应坐标系 在Σ 系中 入射光线满足 0 0 0 kix = −k cosθ , kiy = −k sinθ , kiz = 0,ωi = ω 由变换关系 得Σ′ 系中的入射光线 = − − = + ′ =′ = − ′ = − − ′ [ ( cos )] ( cos ) 0 sin ( cos ) 0 0 0 0 0 0 2 0 ω ν ω θ ν ω θ θ ν θ ω v k vk k k k c v k k i iz iy ix 在Σ′ 系中 平面镜静止 由反射定律可得 反射光线满足 0; ( cos ) ( cos ) ( cos ); sin 0 0 0 2 0 0 2 0 0 ω ν ω θ ν θ ω ν θ ω θ k vk k k c v k c v k k rz r rx ry = + ′ =′ = − ′ = − − − = + ′ 代入逆变换关系 得Σ 系中的反射光线满足