例2:【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金 A万元,今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第(=1 ,n)个项目要用资金a万元,预计可得到收 益b万元。问应如何使用总资金A万元,才能得到 最佳的经济效益? 设=决定投资第个项目 1=1,2 ●● n 0决定不投资第个项目 问题的约束条件为 ax;≤A X=0或1 1,2 ●●●·● n
例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金 A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1， 2，……，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收 益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能得到 最佳的经济效益？ n i i i=1 i i 1 i i=1 2 n 0 i a x A x (x 1) 0 i=1 2 n i x = − = 决定投资第 个项目 设 ，，……， 决定不投资第 个项目 问题的约束条件为 xi=0或1 ，，……
所谓“最佳的经济效益”,如果理解为“少花 钱多办事”,则变为两个目标的问题,即投资 最少,收益最大 f(x,……,x,)=∑bx→>max ●●●● x)=∑ax→>min 这是具有两个目标的0—1规划问题
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花 钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资 最少，收益最大： 这是具有两个目标的0－1规划问题。 1 1 1 2 1 1 ( ) max ( ) min n n i i i n n i i i f x x b x f x x a x = = = → = → ，……， ，……
例3:【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工 成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格 和应力及强度条件,要求木梁的高度不超过H, 横截面的惯性矩不少于给定值Ⅵ,且横截面的髙 度要介于其宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸,可使木 梁的重量最轻,并且成本最低。(x 设所设计的木梁横截面的 高为x1,宽为x2(图1)。 为使具有一定长度的木梁重量最轻,应要求 其横截面面积x1x2为最小,即要求X1X2min
例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工 成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格 和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H， 横截面的惯性矩不少于给定值W，且横截面的高 度要介于其宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸，可使木 梁的重量最轻，并且成本最低。 设所设计的木梁横截面的 高为x1 ，宽为x2（图1）。 为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求 其横截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min x1 x2 图1 r
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树 干加工而成的,故其成本与树干横截面面积的大小 z2=n[(x123+(x12)减成正比。由此,为使木梁的成 本最低还应要求x(x2+x2)/4尽可能的小,或即: (x2+x2)→min 根据问题的要求,应满足下述约東条件 H xx2≥W ≥0 4x 0 0 这是具有两个目标的非线性规划问题
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树 干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小 成正比。由此，为使木梁的成 本最低还应要求 尽可能的小，或即： 根据问题的要求，应满足下述约束条件： 这是具有两个目标的非线性规划问题。 2 2 2 1 2 r x x = + ( / 2) ( / 2) 2 2 1 2 ( ) / 4 x x + 2 2 1 2 ( ) min x x + → 1 1 2 1 2 2 1 1 2 0 4 0 0, 0 x H x x W x x x x x x − −
由以上实例可见,多目标最优化模型与单目标 最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中,有的是追求极大化,有的是追求极小化,而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此,我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式: 决策变量:X1, Xn 目标函数:mnf1(x1 X,) ,xn)≥0 约束条件 )≥0
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标 最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式： 决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1 (x1，……，xn ) ……………… minfp (x1，……，xn ) 1 1 1 ( ) 0 ( ) 0 n m n g x x g x x ，……， 约束条件： ……………… ，……