7-3二向应力状态分析-解析法nT列平衡方程a?axaaZF,=0LdAxyodA+t,(dAcosα)sin α-o,(dAcosα)cosα +TyxtTx(dAsin α)cosα-o,(dAsin α)sin α= 0ZF=0tdA-tx(dAcosα)cosα-o(dAcosα)sin α +T(dAsin α)sin α+o,(dAsin α)cosα = 0目录
Fn = 0 ( sin )cos ( sin )sin 0 ( cos )sin ( cos )cos − = + − + dA dA dA dA dA yx y xy x 列平衡方程 Ft = 0 ( sin )sin ( sin )cos 0 ( cos )cos ( cos )sin + = − − + dA dA dA dA dA yx y xy x y a a xy dA α n t x yx 目录 7-3 二向应力状态分析-解析法
7-3二向应力状态分析-解析法(1+cos2α)CosY-21sin"α=利用三角函数公式(1- cos 2α)22sinaαcosα =sin2α并注意到Tx=Txy化简得(αx +0,)+=(αx-0,)cos2α-T, sin 2α一O(0,-0,)sin 2α+Tx, cos2α目录
利用三角函数公式 (1 cos 2 ) 2 1 cos2 = + (1 cos 2 ) 2 1 sin2 = − 2sin cos = sin2 { 并注意到 yx = xy 化简得 ( ) cos 2 sin 2 2 1 ( ) 2 1 = x + y + x − y − xy ( )sin 2 cos 2 2 1 = x − y + xy 目录 7-3 二向应力状态分析-解析法
7-3二向应力状态分析-解析法2.正负号规则yx正应力：拉为正；压为负Txy切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转TO到斜截面外法线时为正；反O之为负。XTxyTyx目录
2.正负号规则 正应力：拉为正；压为负 切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。 α角：由x 轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正；反 之为负。 y a a xy α n t x yx x 目录 7-3 二向应力状态分析-解析法 x y x y yx xy
7-3二向应力状态分析-解析法3.正应力极值和方向确定正应力极值(o, +0,)+(ox -0,)cos2α-Tay sin 2α(doa =-(o, -0,)sin 2α-2t y cos 2αda设α=α。时，上式值为零，即-(x-,)sin 2αo-2tx,cos2α =0(ax-a)2sin2 % +Txycos2 % =-2 te. = 02即α=α。时，切应力为零目录
( ) cos 2 sin 2 2 1 ( ) 2 1 = x + y + x − y − xy 确定正应力极值 ( )sin 2 2 cos 2 x y xy d d = − − − 设α＝α0 时，上式值为零，即 − ( x − y )sin 20 − 2 xy cos 20 = 0 3. 正应力极值和方向 sin2α τ cos2α 2 τ 0 2 ( σ σ ) 2 0 x y 0 α0 x y = − = + − − 即α＝α0 时，切应力为零 目录 7-3 二向应力状态分析-解析法
7-3二向应力状态分析-解析法2Txytan2α,=-ax-a,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：Qx+oy+iVox-0,+4t0max2or+o2Vo.-0,)+4tgomin2主应力按代数值排序：1≥2≥3目录
x y xy − = − 2 tan 2 0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： ( ) 2 2 max 4 2 1 2 x y x y x y + − + + = ( ) 2 2 min 4 2 1 2 x y x y x y − − + + = 主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3 目录 7-3 二向应力状态分析-解析法