T=M“D(LT2)y 由量纲齐次原理比较各基本量纲的幂得 =0, a=0 B+y=0解得B=1/2 y=1。 1/2 于是我们得到单摆运动周期为t=元 事实上单摆运动的周期t=2丌 下面我们将此方法一般化
( ) −2 T = M L LT = − = = − = + = = 1/ 2. 1/ 2, 0, 2 1. 0, 0, , 解 得 由量纲齐次原理比较各基本量纲的幂得 . g l 于是我们得到单摆运动的周期为 t = 2 . g l 事实上单摆运动的周期为 t = 下面我们将此方法一般化
设各变量间有关系式∫(t,m,l,g)=0(1) 并设(1)式可写成t"m"1Bgy=x,(2) (2)试式取量纲得TMD(LT2)y=MT" a=0 由量纲齐次原理得{B+y=0, (3) 解(3)得线性无关解为(y,a,B,y)=(2,0,-1,1).(4) 将(4代入(2)即得关系式t2g/l= (5) 从而(1)就可写做f()=0
(1) , (2) t m l g = 并 设 式可写成 y 设各变量间有关系式 f (t,m,l, g) = 0 (1) (2) ( ) . 2 0 0 0 T M L LT L M T y = 式取量纲得 − (3) 2 0. 0, 0, − = + = = y 由量纲齐次原理得 (3) ( , , , ) (2,0, 1,1) . (4) T T 解 得线性无关解为 y = − (4) (2) / . (5) 2 将 代 入 即得关系式 t g l = 从而(1)就可写做 f () = 0
Ⅱ定理设有m个物理量1,q2,…,qn, f(q1,q2,…,qm)=0 (6 是与量纲单位选择无关物理定律X1,…,X为 基本量纲n≤m记 = 称A=(a1)为量纲矩阵若R(A)=r,则齐次线性 方程组A=O有m-r个线性无关的解 ys=(1,y2,…’ysn),S=1,…,m 则有m-r个线性无关的无量量纲,=q 且F(m1,…,丌m,)=0与(6式等价
Π定理 , , , , 设有m个物理量q1 q2 qm ( , , , ) 0 (6) f q1 q2 qm = 基本量纲 记 是与量纲单位选择无关的物理定律 为 , . . , , 1 n m X Xn [ ] , 1, , . 1 q X j m n i j i = ij = = y ( , , , ) , 1, , . A : A ( ) . ( ) , 1 2 y y y s m r y O m r a R A r T s s s s m i j n m = = − = − = = 方程组 有 个线性无关的解 称 为量纲矩阵若 则齐次线性 − = . s j y s qj 则 有m r个线性无关的无量量纲 ( , , ) 0 (6) . 且 F 1 m−r = 与 式等价