第3章平面任意力系3-1图3-1a中，已知F=150N，F,=200N，F=300N，F=F=200N。求力系向点O简化的结果：并求力系合力的大小及其与原点O的距离d。yg01100200(a)(b)图 3-1（1）求合力F的大小鲜211FF.FxJ5V2/10121200Nx300Nx=-150Nx-437.62 NV2V5V10131F,xF,xZF =-FxT5V2V10131=-150Nx200Nx+300Nx-161.62 NV2J10V5N= 466.5 NF=/ZF)+(ZE)?=(/(-437.62) +(-161.62)2主矢0.100.20主矩Mo=Fxm+Fxm-F×0.08mV5V20.100.20=150Nxm+300Nxm-200Nx0.08m=21.44Nm（逆）V2V5合力F在原点O的左侧上方，如图3-1b所示，且FR=F=466.5N(2）求距离dIMo21.44N·m=0.0459m=4.59cm（图3-1b）d=FR466.5 N3-2图3-2a所示平面任意力系中F=40V2N，F,=80N，F,=40N，E=110N，M=2000N·mm。各力作用位置如图3-2b所示，图中尺寸的单位为mm。求：（1）力系向点O简化的结果：（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。F20,30)145Mo(20,20)(50.0)FR-X0(20,30)FF-6(a)(b)图 3-218
18 第 3 章 平面任意力系 3-1 图 3-1a 中，已知 N 150 F1 = ， N 200 F2 = ， F3 = N 300 ， FF == N 200' 。 求力系向点 O 简化的结果；并求力系合力的大小及其与原点 O 的距离 d。 x y O MO FR ′ FR (a) (b) 图 3-1 解 (1) 求合力 FR 的大小 5 2 10 1 2 1 x 1 FFF 2 F3 ×−×−×−=∑ N 62.437 5 2 N300 10 1 N200 2 1 N150 −=×−×−×−= 5 1 10 3 2 1 y 1 FFF 2 F3 ×−×−×−=∑ N 62.161 5 1 N300 10 3 N200 2 1 N150 −=×+×−×−= 主矢 ( ) N 5.466N )62.161()62.437()()( ' 2 2 2 2 R x FFF y −+−=∑+∑= = 主矩 m08.0m 5 20.0 m 2 10.0 O FM 1 F3 F ×−×+×= mN 44.21m08.0N200m 5 20.0 N300m 2 10.0 N150 ⋅=×−×+×= （逆） 合力 FR 在原点 O 的左侧上方，如图 3-1b 所示，且 N 5.466 ' FF RR == (2) 求距离 d cm 59.4m9045.0 N5.466 mN44.21 ' R = = ⋅ == F M d O （图 3-1b） 3-2 图 3-2a 所示平面任意力系中 N 240 F1 = ， N 80 F2 = ， F3 = N 40 ， N 110 F4 = ，M ⋅= mmN 0002 。各力作用位置如图 3-2b 所示，图中尺寸的单位为 mm。 求：（1）力系向点 O 简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。 -6 y x O FR ′ FR MO (a) (b) 图 3-2
解（1）向点O简化V2/2FR= F,-F, -F =-150N,FR, = FF=022FR=-150iNM。=F,×30mm+F×50mm-F×30mm-M=80N×30mm+40N×50mm-110N×30mm-2000N.mm（顺）=-900N-mm(2)合力大小：F=150N，方向水平向左。合力作用线方程：[Mo]900N·mm以= 6mm[Fr]150N由M。转向知合力作用线方程为y=-6mm3-3如图3-3所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。己知飞机的重力P=30kN，螺旋浆的牵引力F=4kN。飞机的尺寸：a=0.2m，b=0.1m，c=0.05m，1=5m。求阻力F，机翼升力F，和尾部的升力Fyz2。解选择坐标系如图。ZF=0,F-F=0,F =F=4kNZMA=0,F,2(a+I)-Pa-F(b+c)=0Pa+F(b+c)2=1.27kNF=a+1ZF,=0,F,+Fy2-P=0Fyl = P- Fyz = 28.7kN图 3-33-4在图3-4a所示刚架中，q=3kN/m，F=6/2kN，M=10kN·m，不计刚架的自重。求固定端A的约束力。MFF+B/45°M3m8ut5mAETMA(a)(b)图3-4解受力如图3-4b所示ZF,=0,FAy=Fsin45°=6kNZF=0Fx ++=qx4m-Fcos45°=0,F=0241ZM=0,M-q×4m×=m-M-Fsin45°×3m+Fcos45°×4m=02?M,=12kN·m（逆）19
19 解（1） 向点 O 简化 150 N 2 2 1 2 4 ' FRx = F ⋅ − F − F = − ， 0 2 2 1 3 ' FRy = F ⋅ − F = FR 150i N ' = − MO = F2 × 30 mm + F3 × 50 mm − F4 ×30 mm − M 900 N mm 80 N 30 mm 40 N 50 mm 110 N 30 mm 2 000 N mm = − ⋅ = × + × − × − ⋅ （顺） (2) 合力 大小： FR = 150 N ，方向水平向左。合力作用线方程： 6 mm 150 N 900 N mm R = ⋅ = = F M y O 由 MO 转向知合力作用线方程为 y = −6 mm 3-3 如图 3-3 所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。已 知飞机的重力 P = 30 kN ，螺旋桨的牵引力 F = 4 kN 。飞机的尺寸：a = 0.2 m，b = 0.1m ， c = 0.05 m ，l = 5 m。求阻力 Fx ，机翼升力 Fy1和尾部的升力 Fy2 。 解 选择坐标系如图。 ∑ Fx = 0， Fx − F = 0， Fx = F = 4 kN ∑ = 0 M A ， Fy2 (a + l) − Pa − F(b + c) = 0 1.27 kN ( ) 2 = + + + = a l Pa F b c Fy ∑ Fy = 0 ， Fy1 + Fy2 − P = 0 Fy1 = P − Fy2 = 28.7 kN 图 3-3 3-4 在图 3-4a 所示刚架中，q = 3 kN/m ，F = 6 2 kN ，M = 10 kN ⋅ m ，不计刚架 的自重。求固定端 A 的约束力。 M F B 45° 3m q A MA FAx (a) (b) 图 3-4 解 受力如图 3-4b 所示 ∑ Fy = 0, FAy = Fsin 45° = 6 kN 4 m cos 45 0 2 1 ∑ Fx = 0, FAx + q × − F ° = ， FAx = 0 m sin 45 3 m cos 45 4 m 0 3 4 4 m 2 1 ∑ M A = 0,M A − q × × − M − F °× + F °× = M A = 12 kN ⋅m （逆）
3-5如图3-5a所示，飞机机翼上安装1台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布：9,=60kN/m,92=40kN/m，机翼重为P=45kN，发动机重为P=20kN，发动机螺旋桨的作用力偶矩M=18kN·m。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O的受力。JIF4Fg.44449M?3.6m3.6mFoM4.2m4.2mPlIPP29m9m(b)(a)图3-5解研究对象：机翼（含螺旋奖），受力如图3-5b所示。梯形分布载荷看作三角形分布载荷(91-92）和均布载荷9两部分合成。三角形分布载荷91-92的合力1F=-(g -4)9 =9000 N均布载荷q2的合力F,=q2×9m=360000NF,位于离04.5m处。ZF,=0, F+F+F,-P-P, =0F。= P + P, +F- F, =-385 000 N =-385 kNZM。=0,M。+F×3m+F,x4.5m-P×3.6m-P×4.2m-M=0M。=1626 kN·m (逆)3-6无重水平梁的支承和载荷如图3-6a、图3-6b所示。已知力F，力偶矩为M的力偶和强度为q的均匀载荷。求支座A和B处的约束力。FMIF4R1AAFIBF2aF(al)(a)2F2a(b)(bl)图 3-6解（1）梁AB，坐标及受力如图3-6al所示MZM=0,F×2a-M-F×3a=0,(3FF.2aMZF,=0,F+F-F=0,F+F=F-FR:a(2)梁AB，坐标及受力如图3-6b1所示1qa2+Fg×2a-F×3a-M=0ZM.=0,220
20 FA 3-5 如图 3-5a 所示，飞机机翼上安装 1 台发动机，作用在机翼 OA 上的气动力按梯形分 布： q1 = 60 kN/m, q2 = 40 kN/m ，机翼重为 P1 = 45 kN ，发动机重为 P2 = 20 kN ，发 动机螺旋桨的作用力偶矩 M = 18 kN ⋅m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端 O 的 受力。 F1 F2 q1 q2 P2 P1 3.6 m 4.2 m 9 m x A y O M MO FO (a) (b) 图 3-5 解 研究对象：机翼（含螺旋桨），受力如图 3-5b 所示。梯形分布载荷看作三角形分布 载荷( 1 2 q − q )和均布载荷 2 q 两部分合成。三角形分布载荷 1 2 q − q 的合力 ( ) 9 m 90 000 N 2 1 F1 = q1 − q2 × = 均布载荷 q2的合力 9 m 360 000 F2 = q2 × = N F2 位于离 O 4.5 m 处。 ∑ Fy = 0, FO + F1 + F2 − P1 − P2 = 0 FO = P1 + P2 + F1 − F2 = −385 000 N = −385 kN ∑ MO = 0， M O + F1 × 3 m + F2 × 4 ⋅ 5 m − P1 × 3.6 m − P2 × 4.2 m − M = 0 MO = 1 626 kN ⋅ m (逆) 3-6 无重水平梁的支承和载荷如图 3-6a、图 3-6b 所示。已知力 F，力偶矩为 M 的力偶 和强度为 q 的均匀载荷。求支座 A 和 B 处的约束力。 F B 2a a A M FB (a) (a1) a 2a a D A B q F FB FA M (b) (b1) 图 3-6 解 (1) 梁 AB，坐标及受力如图 3-6a1 所示 ∑ M = 0, F × 2a − M − F × 3a = 0 A B ， (3 ) 2 1 a M FB = F + ∑ Fy = 0, FA + FB − F = 0， ( ) 2 1 a M FA = F − FB = − F + (2) 梁 AB，坐标及受力如图 3-6b1 所示 ∑ = 0 M A ， 2 3 0 2 1 2 qa + FB × a − F × a − M =
M1(3FFqa)2aTF=0,F+F-F-qa=0M5FA=(F+qa)22a3-7如图3-7a所示，液压式汽车起重机全部固定部分（包括汽车自重）总重为P=60kN，旋转部分总重为P,=20kN，a=1.4m，b=0.4m，l=1.85m，l，=1.4m。求：（1）当l=3m，起吊重为P=50kN时，支撑腿A，B所受地面的约束力：（2）当1=5m时，为了保证起重机不致翻倒，问最大起重为多大？bptTP0PLBFN(a)(b)图3-7解整体，坐标及受力如图3-7b所示。(1)求当l=3m，P=50kN时的F，FM =0,-P(-a)-P(+b)-P(I+l)-F,(, +l)=01FB[P,(l, -a) + P,(l, + b) + P(I + I,)] = 96.8 kN1, +1,ZF,=0,F+F-P-P-P=0F=P +P, +P-F=33.2kN（2）求当l=5m时，保证起重机不翻倒的P。起重机不翻倒的临界状态时，F，=0。ZM=0, P(a+l,)+P,(l, -b)-P(1-l,)=0-P=[P(a+12)+ P,(, -b)]=52.2 kN1-1即Pmx = 52.2 kN3-8如图3-8a所示，行动式起重机不计平衡锤的重为P=500kN，其重心在离右轨1.5m处。起重机的起重力为P=250kN，突臂伸出离右轨10m。跑车本身重力略去不计，欲使跑车满载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重力P以及平衡锤到左轨的最大距离Xo10mXpt中↓1.5m1on11.5mtpP.ttp23m(a)(b)图 3-8解起重机，受力如图3-8b所示。21
21 ) 2 1 (3 2 1 qa a M FB = F + − ∑ Fy = 0, FA + FB − F − qa = 0 ) 2 5 ( 2 1 qa a M FA = − F + − 3-7 如图 3-7a 所示，液压式汽车起重机全部固定部分（包括汽车自重）总重为 P1 = 60 kN ，旋转部分总重为 P2 = 20 kN ， a = 1.4 m ， b = 0.4 m ， l1 = 1.85 m ， l2 = 1.4 m 。求：（1）当l = 3 m ，起吊重为 P = 50 kN 时，支撑腿 A，B 所受地面的约束 力；（2）当l = 5 m 时，为了保证起重机不致翻倒，问最大起重为多大？ a b P P2 P1 A B l 1l 2l FA FB (a) (b) 图 3-7 解 整体，坐标及受力如图 3-7b 所示。 (1) 求当l = 3 m ， P = 50 kN 时的 FA ， FB 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ∑ M A = − P1 l1 − a − P2 l1 + b − P l + l1 − FB l1 + l2 = [ ( ) ( ) ( )] 96.8 kN 1 1 1 2 1 1 1 2 − + + + + = + = P l a P l b P l l l l FB ∑ Fy = 0, FA + FB − P1 − P2 − P = 0 FA = P1 + P2 + P − FB = 33.2 kN （2）求当l = 5 m时，保证起重机不翻倒的 P。 起重机不翻倒的临界状态时， = 0 FA 。 ∑ = 0 M B ， ( ) ( ) ( ) 0 P1 a + l2 + P2 l2 − b − P l − l2 = [ ( ) ( )] 52.2 kN 1 1 2 2 2 2 + + − = − = P a l P l b l l P 即 Pmax = 52.2 kN 3-8 如图 3-8a 所示，行动式起重机不计平衡锤的重为 P = 500 kN ，其重心在离右轨 1.5 m 处。起重机的起重力为 P1 = 250 kN ，突臂伸出离右轨 10 m。跑车本身重力略去不计， 欲使跑车满载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重力 P2 以及平衡锤到左轨的最大距离 x。 FA 3 m FB P P1 10 m 1.5 m P2 x (a) (b) 图 3-8 解 起重机，受力如图 3-8b 所示
（1）起重机满载时不向右倾倒临界状态下，F，=0。ZM=0,P(x+3m)-P×1.5m-P×10m=0(1)(2）起重机空载时向左不倾斜临界状态下，F=0(2)ZM, =0, P,x-P(3m+1.5m)=0式（1）、（2）联立，解得P, = P2min = 333 kNPX= Xmax = 4.5 =6.75mP,3-9飞机起落架，尺寸如图3-9a所示，A，B，C均为铰链，杆OA垂直于AB连线。当飞机等速直线滑行时，地面作用于轮上的铅直正压力F=30kN，水平摩擦力和各杆自重都比较小，可略去不计。求A、B两处的约束力。F500F500F.B154FNFN(a)(b)图3-9解如图3-9b，杆BC为二力杆，F。沿BC。0.6ZM,=0,-Fsin15°×1.2m+F,xx0.5m=0V0.42+0.62Fg=22.4kN(拉)0.6ZF,=0,F4x-Fsin15°+Fg×-00.42 +0.62Fx = -4.67 kN0.6ZF,=0,Fay+Fcos15°+Fg×=0V0.42+0.62FA,=-47.7kN3-10水平梁AB由铰链A和BC所支持，如图3-10a所示。在梁上D处用销子安装半径为r=0.1m的滑轮。有1跨过滑轮的绳子，其1端水平系于墙上，另1端悬挂有重为P=1800N的重物。如AD=0.2m，BD=0.4m，?=45°，且不计梁、杆、滑轮和绳的重力。求铰链A和杆BC对梁的约束力。解整体，坐标及受力如图3-10b所示：F=P=1800NZMA= 0,Frr- P(AD+r)+FBc sin@-(AD+DB)= 0P.AD=600/2N=848.5N（拉）Fac =(AD+BD)sin22
22 (1) 起重机满载时不向右倾倒临界状态下， = 0 FA 。 0, ( 3 m) 1.5 m 10 m 0 ∑ M B = P2 x + − P × − P1 × = （1） (2) 起重机空载时向左不倾斜临界状态下， = 0 FB 0, (3 m 1.5 m) 0 ∑ M A = P2 x − P + = （2） 式（1）、（2）联立，解得 P2 = P2min = 333 kN 4.5 6.75 m 2 = max = = P P x x 3-9 飞机起落架，尺寸如图 3-9a 所示，A，B，C 均为铰链，杆 OA 垂直于 AB 连线。当 飞机等速直线滑行时，地面作用于轮上的铅直正压力 FN = 30 kN ，水平摩擦力和各杆自重 都比较小，可略去不计。求 A、B 两处的约束力。 C （a） (b) 图 3-9 解 如图 3-9b，杆 BC 为二力杆， FB 沿 BC。 ∑ = 0 M A ， 0.5 m 0 0.4 0.6 0.6 sin15 1.2 m 2 2 N × = + − F °× + FB × FB = 22.4 kN （拉） ∑ Fx = 0， 0 0.4 0.6 0.6 sin 15 2 2 N = + FAx − F ° + FB × FAx = −4.67 kN ∑ Fy = 0 ， 0 0.4 0.6 0.6 cos15 2 2 N = + FAy + F ° + FB × FAy = −47.7 kN 3-10 水平梁 AB 由铰链 A 和 BC 所支持，如图 3-10a 所示。在梁上 D 处用销子安装半 径为 r = 0.1m 的滑轮。有 1 跨过滑轮的绳子，其 1 端水平系于墙上，另 1 端悬挂有重为 P =1800 N 的重物。如 AD = 0.2 m ， BD = 0.4 m ，ϕ = 45° ，且不计梁、杆、滑轮和 绳的重力。求铰链 A 和杆 BC 对梁的约束力。 解 整体，坐标及受力如图 3-10b 所示： FT = P = 1800 N ∑ M A = 0, FT r − P(AD + r) + FBC sinϕ ⋅(AD + DB) = 0 600 2 N 848.5 N ( )sin = = + ⋅ = AD BD ϕ P AD FBC （拉）