第4章空间力系4-1力系中，F=100N，F=300N，F=200N，各力作用线的位置如图4-1所示。试将力系向原点O简化。F.解由题意得F.22.Frr =-300x-200x-345NV5/1303FR=300×=250NV133001FR-=100-200x=10.6N图4-1V53 10.1-200xM.=-300xx0.3=-51.8N.mV13V52M,=-100×0.20+200×x0.1=-36.6N.m/1332M.=300x×0.2+200×x0.3=103.6N.mV5/13主矢FR=/F2+FR+F2=426N,Fr=(-345i+250j+10.6k)NM。=/M,+M,+M?=122N·m,M。=(-51.8i-36.6j+104k)N·m主矩4-21平行力系由5个力组成，力的大小和作用线的位置如图4-2所示。图中小正方格的边长为10mm。求平行力系的合力。42解由题意得合力F的大小为FR=EF.=1N+10N+20N-10N-15N=20NFR=20kN15N10N合力作用线过点（xc，yc，0)：1(15×40+10×30+20×20-10×10)=60mmXc=20I71(15×10+10×30+20×50-10×20-15×40)Yc=20图4-2=32.5mm4-3图示力系的3个力分别为F=350N，F,=400N和F,=600N，其作用线的位置如图4-3所示。试将此力系向原点O简化。解由题意得601600×-144NFR=350x2/1810090X80FR,=350x+400×0.707+600×0.866V18100=1010N80-6- 90FR:=350x400x0.707=-517N图 4-3/18100主矢FR=F2+F+F2=1144N40
40 图 4-1 图 4-2 图 4-3 第4章 空间力系 4-1 力系中，F1=100 N，F2=300 N，F3=200 N，各力 作用线的位置如图 4-1 所示。试将力系向原点 O 简化。 解 由题意得 N 345 5 2 200 13 2 FRx 300 −=×−×−= N 250 13 3 FRy 300 =×= N 6.10 5 1 FRz 200100 =×−= mN 8.513.0 5 1 2001.0 13 3 M x 300 ⋅−=××−××−= mN 6.361.0 13 2 M y 20020.0100 ⋅−=××+×−= mN 6.1033.0 5 2 2002.0 13 3 M z 300 ⋅=××+××= 主矢 N 426 2 R 2 R 2 R R FFFF xyz =++= ， N)6.10250345( R F = − + + kji 主矩 mN 122 222 O MMMM zyx ⋅=++= ， = − − kji ⋅+ mN )1046.368.51( MO 4-2 1 平行力系由 5 个力组成，力的大小和作用线的位置如图 4-2 所示。图中小正方格 的边长为 10 mm。求平行力系的合力。 解 由题意得合力 FR 的大小为 N 20N15N10N20N10N1 R FF z ++=Σ= − − = R = kF N 20 合力作用线过点（ Cx ， Cy ，0）： mm 60)1010202030104015( 20 1 xC =×−×+×+×= mm 5.32 )40152010502030101015( 20 1 = yC ×−×−×+×+×= 4-3 图示力系的 3 个力分别为 N 350 F1 = ， N 400 F2 = 和 F3 = N 600 ，其作用线的 位置如图 4-3 所示。试将此力系向原点 O 简化。 解 由题意得 N 144 2 1 600 10018 60 350' FR x −=×−×= N 0101 866.0600707.0400 10018 80 350' R = F y ×+×+×= N 517707.0400 10018 90 350' R −=×− − F z ×= 主矢 N 1441 2' R 2' R 2' R R FFF'F zyx =++=
Fr'=(-144i+1011j-517k)N90M.=-350xx60-400×0.707×120=-48000Nmm=-48N·m1810090M.=350xx90=21070N·mm=21.07N·m/181008060M.=350x×90-350xx60-600x0.866×90+600xX602/18×100V18100=-19400N·mm=-19.4N·m主矩M。=/M?+M+M2=55900N.mm=55.9N.mM。=(-48i+21.1j-19.4k)N·m4-4求图4-4所示力F=1000N对于=轴的力矩M-解把力F向x，y轴方向投影，得3F,=1000x=507NV351F =1000x=169NV35M.=xF,-yF,=-150×507-150x169=-101400N·mm=-101.4N·m4-5轴AB与铅直线成α角，悬臂CD与轴垂直地固图 4-4定在轴上，其长为a，并与铅直面=AB成θ角，如图4-5a所示。如在点D作用铅直向下的力F，求此力对轴AB的矩。(b)(a)图4-5解将力F分解为F，F2，F垂直于AB而与CE平行，F,平行于AB，如图4-5b所示，这2个分力分别为：F=Fsinα,F,=FcosαMAb(F)=MAB(F)+MAn(F)=F ·asin+0=Fasinαsin04-6水平圆盘的半径为r，外缘C处作用有已知力F。力F位于铅垂平面内，且与C处圆盘切线夹角为60°，其他尺寸如图4-6a所示。求力F对x，y，轴之矩。解（1）方法1，如图4-6b所示，由已知得Fy=Fcos60°,F.=Fcos300V3V3.FkF=Fcos60°cos30%i-Fcos60°sin30°j-Fsin60°k444241
41 图 4-4 E FR' = (−144i +1 011j − 517k) N 60 400 0.707 120 48 000 N mm 48 N m 18100 90 = −350× × − × × = − ⋅ = − ⋅ M x 90 21 070 N mm 21.07 N m 18100 90 = 350× × = ⋅ = ⋅ M y 60 2 1 60 600 0.866 90 600 18100 60 90 350 18 100 80 350 × − × × − × × + × × × M z = × = −19 400 N ⋅mm = −19.4 N ⋅m 主矩 55 900 N mm 55.9 N m 2 2 2 = + + = ⋅ = ⋅ MO M x M y M z MO = (−48i + 21.1j −19.4k) N ⋅m 4-4 求图 4-4 所示力 F=1 000 N 对于 z 轴的力矩 Mz。 解 把力 F 向 x，y 轴方向投影，得 507 N 35 3 Fy = 1 000× = 169 N 35 1 Fx = 1 000× = 101 400 N mm 101.4 N m 150 507 150 169 = − ⋅ = − ⋅ M z = xFy − yFx = − × − × 4-5 轴 AB 与铅直线成α 角，悬臂 CD 与轴垂直地固 定在轴上，其长为 a，并与铅直面 zAB 成θ 角，如图 4-5a 所示。如在点 D 作用铅直向下的力 F，求此力对轴 AB 的矩。 z B β A C θ β F F1 F2 (a) (b) 图 4-5 解 将力 F 分解为 F1，F2，F1 垂直于 AB 而与 CE 平行，F2平行于 AB，如图 4-5b 所 示，这 2 个分力分别为： F1 = F sinα ， F2 = F cosα ( ) ( ) ( ) M AB F = M AB F1 + M AB F2 sin 0 = F1 ⋅ a θ + = Fa sinα sinθ 4-6 水平圆盘的半径为 r，外缘 C 处作用有已知力 F。力 F 位于铅垂平面内，且与 C 处圆盘切线夹角为 60°，其他尺寸如图 4-6a 所示。求力 F 对 x，y，z 轴之矩。 解 （1）方法 1，如图 4-6b 所示，由已知得 F = F cos 60° xy ， F = F cos 30° z F F i F j F k i Fj Fk 2 3 4 1 4 3 = cos60°cos30° − cos60°sin 30° − sin 60° = − −
30%1600()309(b)(a)图4-6V3F1Fh-M.(F)=F.rcos30°=(h-3r)244/3V3V3M.(F)Fh+F-rsin30°F(h+r)4241M.(F)=-Fcos60°r Fr2（2）方法2V3V31-Fi-F=Fk24 V31rj+hk-ri+rc=22jkV3hM,(F)==M.i+M.i+M.k-r223E-F424V3rhh-rV3F22M, =(h-3r),M,F(h+r)V3V3V344EFF2244r1221M. =-FrV32新A44-7空间构架由3根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图4-7a所示。A，B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P=10kN，求铰链A，B和C的约束力。取节点D为研究对象，设各杆受拉，受力如图4-7b所示。平衡：解(1)ZF,=0,FBcos45°-F,cos45°=0(2)ZF,=0,-F,sin45°cos30°-F,sin45°cos30°-Fccos15°=042
42 C y 60° F 30° z O r 30° 30° x (a) (b) 图 4-6 ( 3 ) 4 cos30 2 3 4 1 ( ) h r F M Fh F r x F = − ⋅ ° = − ( ) 4 3 sin 30 2 3 4 3 M ( ) Fh F r F h r y F = + ⋅ ° = + M F r Fr z 2 1 (F) = − cos60° = − （2）方法 2 F Fi Fj Fk 2 3 4 1 4 3 = − − rC = ri + rj + hk 2 3 2 1 i i k i j k M A F M x M y M z F F F r h r = = + + 2 3 - 4 1 - 4 3 2 3 2 ( ) ( 3 ) 4 2 3 - 4 1 - 2 3 h r F F F r h M x = = − ， ( ) 4 3 4 3 2 3 - 2 F h r F F r h M y = = + Fr F F r r M z 2 1 4 1 - 4 3 2 3 2 = = − 4-7 空间构架由 3 根无重直杆组成，在 D 端用球铰链连接，如图 4-7a 所示。A，B 和 C 端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在 D 端的物重 P=10 kN，求铰链 A，B 和 C 的约 束力。 解 取节点 D 为研究对象，设各杆受拉，受力如图 4-7b 所示。平衡： ∑ Fx = 0 ， cos 45° − cos 45° = 0 FB FA （1） ∑ Fy = 0 ，− FA sin 45°cos30° − FB sin 45°cos30° − FC cos15° = 0 （2）
ZF.=0,-F,sin45°sin30°-F,sin45°sin30°-F.sin15°-P=0(3)P=10kN解得F,=F,=-26.4kN（压）Fc=33.5kN（拉)130°(b)(a)图4-74-8在图4-8a所示起重机中，已知：AB=BC=AD=AE：点A，B，D和E等均为球铰链连接，如三角形ABC的投影为AF线，AF与y轴夹角为α。求铅直支柱和各斜杆的内力。F(a)(b)FD(c)(d)图4-8解（1）节点C为研究对象，受力及坐标系如图4-8d所示，其中x轴沿BC，v轴铅直向上。ZF,=0,-FcB-FcAcos45°=0(1)(2)ZF,=0,-P-Fc sin45°=0解得Fc=-/2P（压)，FcB=P（拉)(2）节点B为研究对象，受力及坐标系如图4-8b、图4-8c所示43
43 ∑ Fz = 0， − FA sin 45°sin 30° − FB sin 45°sin 30° − FC sin15° − P = 0 （3） P=10 kN 解得 FA = FB = −26.4 kN （压） FC = 33.5 kN （拉） x y P D z FA FC 30° 45° 15° C 45° FB O (a) (b) 图 4-7 4-8 在图 4-8a 所示起重机中，已知：AB=BC=AD=AE；点 A，B，D 和 E 等均为球铰链 连接，如三角形 ABC 的投影为 AF 线，AF 与 y 轴夹角为α 。求铅直支柱和各斜杆的内力。 x y E 90° D B P B C D E A 45° A θ (a) (b) A x y 1 y z E 45° 45° D FBC FBA FBD FBE B θ FCA FBC′ z C P 45° y (c) (d) 图 4-8 解 （1）节点 C 为研究对象，受力及坐标系如图 4-8d 所示，其中 x 轴沿 BC，y 轴铅直 向上。 ∑ Fx = 0， − FCB − FCA cos 45° = 0 （1） ∑ Fy = 0 ， − P − FCA sin 45° = 0 （2） 解得 FCA = − 2P （压）， FCB = P （拉） (2) 节点 B 为研究对象，受力及坐标系如图 4-8b、图 4-8c 所示
ZF,=0,(FBp-FBE)cos45sin45°+FBcsinQ=0(3)ZF,=0,-(FBD+FBE)cos45°+FBc COs=0(4)ZF,=0,-FBA-(FBD+FBE)sin45°=0(5)解得FBe=P(cos+sin),FBD=F(cos-sin),Fan=-2Pcose4-9图4-9a所示空间桁架由杆1，2，3，4，5和6构成。在节点A上作用1个力F此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45°角。△EAK=AFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。45XFFNFF/1Ci-M(a)(b)图 4-9（1）节点A为研究对象，受力及坐标如图4-9b所示解ZF, =0, (F -F)cos45°=0(1)ZF,=0,F,+Fsin45°=0(2)(3)ZF, =0, -(F+F,)sin45°-Fcos45°=0-F=-5kN，F, =-7.07kN解得F=F,=2（2）节点B为研究对象，受力如图4-9b所示(4)ZF=0,(F-F)cos45°=0(5)ZF, =0, F,sin45°-F, =0ZF. =0,-(F +F, + F)sin45°= 0(6)解得F =F,=5kN (拉),F,=-10kN (压)4-10如图4-10a所示，3脚圆桌的半径为r=500mm，重为P=600N。圆桌的3脚A，B和C形成1等边三角形。若在中线CD上距圆心为α的点M处作用铅直力F=1500N，求使圆桌不致翻倒的最大距离a。LFMYM(a)(b)图4-10解设圆桌中心为D，AB中点为E，则DE=rsin30°=250mm。取圆桌为研究对象，受力如图4-10b所示。若在点M作用力F使桌刚要翻倒，则此时FNc=0，力系对轴AB的力矩平衡方程ZMAB=0,F.ME-W·DE=0W600 NME =·DE=×250mm=100mmF1500N44
44 A ∑ Fx = 0，(FBD − FBE ) cos 45sin 45° + FBC sinθ = 0 （3） ∑ Fy = 0 ， ( ) cos 45 cos 0 2 − FBD + FBE ° + FBC θ = （4） ∑ = 0 Fz ， − − ( + )sin 45° = 0 FBA FBD FBE （5） 解得 F = P(cosθ + sinθ ) BE ， F = F(cosθ − sinθ ) BD ， FAB = − 2Pcosθ 4-9 图 4-9a 所示空间桁架由杆 1，2，3，4，5 和 6 构成。在节点 A 上作用 1 个力 F， 此力在矩形 ABDC 平面内，且与铅直线成 45°角。ΔEAK = ΔFBM 。等腰三角形 EAK，FBM 和 NDB 在顶点 A，B 和 D 处均为直角，又 EC=CK=FD=DM。若 F=10 kN，求各杆的内力。 z 45° F1 F3 F2 E C K x B F6 F4 F D M y 45° F F3 ′ F5 (a) (b) 图 4-9 解 (1) 节点 A 为研究对象，受力及坐标如图 4-9b 所示 ∑ Fx = 0，( ) cos 45 0 F1 − F2 ° = （1） ∑ Fy = 0 ， F3 + F sin 45° = 0 （2） ∑ = 0 Fz ， ( )sin 45 cos 45 0 − F1 + F2 ° − F ° = （3） 解得 5 kN 2 1 2 = − − = = F F F ， F3 = −7.07 kN （2）节点 B 为研究对象，受力如图 4-9b 所示 ∑ Fx = 0，(F4 − F5 ) cos 45° = 0 （4） ∑ Fy = 0 ， F6 sin 45° − F3 = 0 （5） ∑ = 0 Fz ， − (F4 + F5 + F6 )sin 45° = 0 （6） 解得 F4 = F5 = 5 kN （拉）， F6 = −10 kN （压） 4-10 如图 4-10a 所示，3 脚圆桌的半径为 r = 500 mm ，重为 P=600 N。圆桌的 3 脚 A，B 和 C 形成 1 等边三角形。若在中线 CD 上距圆心为 a 的点 M 处作用铅直力 F=1500 N， 求使圆桌不致翻倒的最大距离 a。 FC FB FA F P O A M B D C (a) (b) 图 4-10 解 设圆桌中心为 D，AB 中点为 E，则 DE=rsin30°=250 mm。取圆桌为研究对象，受 力如图 4-10b 所示。若在点 M 作用力 F 使桌刚要翻倒，则此时 FNC=0，力系对轴 AB 的力矩 平衡方程 ∑ = 0 M AB ， F ⋅ ME −W ⋅ DE = 0 250 mm 100 mm 1500 N 600 N = ⋅ DE = × = F W ME