0 6 24.设实对称矩阵A=020(b>0,已知A的全部特征值之和为1,积为-12 b0-2 (1)求a,b的值: (2)求一个正交矩阵T,使得T"T是对角矩阵 25.设3级实对称矩阵A的秩为2,A1=A2=6是A的二重特征值,a1=(1,1,0)′,a2=(2,1,1)’都是 A的属于特征值6的特征向量. 1.求A的另一特征值及其全部特征向量 2.求矩阵A 22-2 6.设A=25-4.试求一个正交矩阵T使得TAT=D为对角矩阵,并写出此对角矩阵D 27.设A 0-11 试求一正交矩阵T,使TAT成对角形 101 2-10 已知三维欧几里得空间v中一组基a12a3,其度量矩阵为4=-121|,求向量B 2a1-a3的长度 3-1-1 1-1-3,求A的若尔当标准型J,并求可逆矩阵T使得T-1AT=J 002 0.设实矩阵 1211 1001 0111 0001 试将A写成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵T的乘积 31设V为一个欧氏空间.T为V到V的一个映射满足条件:l=a,v∈V试问T是否 定是V上的正交变换?说明理由 32.判断下列论断是否正确,并说明理由 设a,为n维实线性空间V上的两个线性变换,,日a=s,又已知,都存在特征 向量,则,必存在公共的特征向量 33(20分)已知矩阵A=230|,求正交矩阵Q和上三角矩阵T,使得A=QT
24. ¢È°› A = a 0 b 0 2 0 b 0 −2 (b > 0), Æ A ‹AäÉ⁄è 1, »è −12. (1) ¶ a, b ä; (2) ¶òá› T, ¶ T 0AT ¥È› . 25. 3?¢È°› A ùè2, λ1 = λ2 = 6 ¥ A Aä, α1 = (1, 1, 0)0 , α2 = (2, 1, 1)0 —¥ A ·uAä6 Aï˛. 1. ¶ A ,òAä9Ÿ ‹Aï˛. 2. ¶› A . 26. A = 2 2 −2 2 5 −4 −2 −4 5 . £¶òá› T ¶T 0AT = D èÈ› , ø—dÈ› D . 27. A = 0 1 1 −1 1 0 −1 1 1 −1 0 1 −1 1 1 0 , £¶ò› T , ¶ T 0AT §È/. 28. ÆnëÓApòm V •ò|ƒ α1, α2, α3, Ÿ›˛› è A = 2 −1 0 −1 2 1 0 1 1 , ¶ï˛ β = 2α1 − α3 ›. 29. A = −3 −1 −1 1 −1 −3 0 0 2 , ¶ A eIO. J, ø¶å_› T ¶ T −1AT = J. 30. ¢› A = 1 2 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 . £Ú A §òá› Q Üòá˛n› T ¶». 31. V èòáÓºòm. T è V V òáN. ˜v^á: |T α| = |α|, ∀α ∈ V. £Ø T ¥ƒ ò½¥ V ˛CÜ? `²nd. 32. ‰eÿ‰¥ƒ(, ø`²nd. A , B è n ë¢Ç5òm V ˛¸áÇ5CÜ, , F A B = BA , qÆ A , B —3A ï˛, K A , B 73˙Aï˛. 33. (20 ©) Æ› A = 1 2 −3 2 3 0 −2 −2 0 , ¶› Q ⁄˛n› T, ¶A = QT. 6 厦门大学《高等代数》
4.(15分)设A是3阶实对称矩阵,而且dt(4)=4,特征值为11如果-1.0为A特 征向量,求A 35.(x1,x2,x3)=x1+2x2-x3,求线性变换a在一组标准正交基下的矩阵 36.求酉矩阵P,使PAP为对角矩阵其中A=-0 37.一矩阵P称为酉阵,若PP*=E,P*为P的共轭转置,求酉阵P,使PAP为对角阵,其中 A 004 38.(20分)(1)在R2中内积定义为 x,y)=4x1y1+x2y2 其中x=(x1,x2),y=(v,v)'∈R2.令S={x:‖c=1},Ⅲ表示向量的长度,说明S是什么形 状的图形,并画出草图 (2)令 证明W关于矩阵的加法和数乘成为R上的线性空间,并求出W的维数,给出W的一组基 39.设V是实数域上所有n阶对称矩阵所构成的线性空间,对于任意A,B∈V,定义(A,B)=tr(AB 其中tr(AB)表示矩阵AB的主对角线上数的和 (1)证明V构成一欧氏空间; (2)求子空间S={4tr(4)=0}的维数和一组基; (3)求S的正交补的一组基和维数 40.把3维单位向量 (1,1,1) 扩充为3维欧氏空间R3的标准正交基 41.(15分)设V=R4是实数域R上通常的4维欧氏空间,1=(,是,,)和e2=(,号,是,号),求V 中向量e3,E4使得E1,E2,e3,E4为V的一组标准正交基. 7
34. (15 ©) A ¥3 ¢È°› , Ö det(A) = 4, Aäè 1, 1, λ, XJ 1 −1 0 , 1 0 −1 è A A ï˛, ¶ A . 35. A (x1, x2, x3) = 2x1 + x2 + x3 x1 + 2x2 − x3 x3 , ¶Ç5CÜ A 3ò|IOƒe› . 36. ¶j› P, ¶ P ∗AP èÈ› , Ÿ• A = −1 i 0 −i 0 −i 0 i −1 . 37. ò› P °èj , e P P∗ = E, P∗ è P ›=ò, ¶j P, ¶ P ∗AP èÈ , Ÿ• A = 0 0 3 0 0 4 −3 −4 0 38. (20 ©) (1)3 R2 •S»½¬è hx, yi = 4x1y1 + x2y2 Ÿ• x = (x1, x2), y = (y1, y2) 0 ∈ R2 . - S = {x : kxk = 1}, kk L´ï˛›, `² S ¥üo/ G„/, øx—˙„. (2) - W = (" a b c d # : 2a − b + 3c + d = 0, a, b, c, d ∈ R ) y² W 'u› \{⁄Ͷ§è R ˛Ç5òm, ø¶— W ëÍ, â— W ò|ƒ. 39. V ¥¢Í粧k n È°› §§Ç5òm, Èu?ø A, B ∈ V, ½¬ (A, B) = tr(AB) Ÿ• tr(AB) L´› AB ÃÈDzÍ⁄. (1) y² V §òÓºòm; (2) ¶fòm S = {A|tr(A) = 0} ëÍ⁄ò|ƒ; (3) ¶ S ÷ò|ƒ⁄ëÍ. 40. r3ë¸†ï˛ γ1 = 1 √ 3 (1, 1, 1) *øè3 ëÓºòm R 3 IOƒ. 41. (15 ©) V = R 4 ¥¢ÍçR ˛œ~4 ëÓºòm, ε1 = 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ⁄ε2 = 1 2 , −1 2 , 1 2 , −1 2 , ¶V •ï˛ ε3, ε4 ¶ ε1, ε2, ε3, ε4 è V ò|IOƒ. 7 厦门大学《高等代数》
42.在3维实向量空间中,定义x=(x1,x2,x3)2与y=(yn,y,3)的内积如下 y/3 这样定义了一个欧氏空间,求这个欧氏空间中的包含e1=(x1,x2,x3)在内的一组标准正交基 {e1,e2,e3} 43.设3阶正定对称实方阵A的特征值为0,3,3,而(1,1,1)是特征值6的特征向量,求A 44.三维欧氏空间V=R3到自身的一个映射φ:V→V称为运动,如果它是一个正交变换与一个平移 的合成,即存在一个正交变换a:V→V及一个向量v∈V使得对任意v∈V有 (v) 给出一个运动φ,使得如(0)≠0且φ=id(这里0∈V为零向量,φ5为5个φ的合成,idn 为V到自身的单位映射) 45.求齐次线性方程组 +x2-x3-T5=0 的解空间(作为R5的子空间)的一组标准正交基 46.设a,B,y为三维欧氏空间V的一组标准正交基,求V的一个正交变换,使得 a/()=3a-3B+37 47.设a1=(-1,1),a2=(-1,-1)为欧氏空间R2的一组基(通常意义内积下),求这组基的度量矩阵 (2014年云南大学) 48.用 Gram-Schmidt正交化方法将R3(标准内积)的基{(1,1,1)x,(-1,0,-1)x,(-1,2,3)7}化为标准正 交基.(2010年中科大) 49.考虑2×2实方阵全体M2(F),对于任给的两个二阶方阵A,B,我们定义<A,B>=tr(AB)这 里t表示迹,t表示矩阵转置. (1)试证明:<-,->是M2(R)上的一个内积 (2)在该内积下,试计算向量组 001/10 的Gram- Schmidt标准正交化 01/(00/(11)(0-1 (2016年中科大) 50.设x=(1,2,2,3),y=(3,1,5,1),求x与y的夹角.(2010年中山大学)
42. 33 ë¢ï˛òm•, ½¬ x = (x1, x2, x3) T Ü y = (y1, y2, y3) S»Xe: (x, y) = (x1, x2, x3) 1 1 1 1 2 1 1 1 4 y1 y2 y3 ˘½¬ òáÓºòm, ¶˘áÓºòm•ù¹ e1 = (x1, x2, x3) T 3Sò|IOƒ {e1, e2, e3} . 43. 3 ½È°¢ê A Aäè 0, 3, 3, (1, 1, 1)T ¥Aä6 Aï˛, ¶ A . 44. nëÓºòm V = R 3 g òáN φ : V → V °è$ƒ, XJߥòáCÜÜòá²£ ‹§, =3òáCÜ A : V → V 9òáï˛ v0 ∈ V ¶È?ø v ∈ V k φ(v) = A v + v0 â—òá$ƒ φ, ¶ φ(0) 6= 0 Ö φ 5 = idv ( ˘p 0 ∈ V è"ï˛, φ 5 è5 á φ ‹§, idv è V g ¸†N.) 45. ¶‡gÇ5êß| ( 2x1 + x2 − x3 + x4 − 3x5 = 0 x1 + x2 − x3 − x5 = 0 )òm(äè R5 fòm) ò|IOƒ. 46. α, β, γ ènëÓºòm V ò|IOƒ, ¶ V òáCÜ A , ¶ ( A (α) = 2 3 α + 2 3 β − 1 3 γ A (β) = 2 3 α − 1 3 β + 2 3 γ 47. α1 = (−1, 1), α2 = (−1, −1) èÓºòmR2 ò|ƒ£œ~ø¬S»e§ß¶˘|ƒ›˛› . (2014c HåÆ) 48. ^Gram-Schmidtzê{ÚR3 £IOS»§ƒ{(1, 1, 1)T ,(−1, 0, −1)T ,(−1, 2, 3)T } zèIO ƒ. (2010c•âå) 49. ƒ2 × 2 ¢ê NM2(R) ßÈu?â¸á ê A, B ߷ǽ¬< A, B >= tr(ABt ) .˘ ptrL´,ßtL´› =ò. £1§£y²µ< −, − > ¥M2(R) ˛òáS». £2§3TS»eߣOéï˛| 1 0 0 1! , 1 1 0 0! , 0 0 1 1! , 1 0 0 −1 ! Gram-SchmidtIOz. (2016c•âå) 50. x = (1, 2, 2, 3), y = (3, 1, 5, 1) ,¶xÜyY. (2010c•ÏåÆ) 8 厦门大学《高等代数》