基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法

工程科学学报，第39卷，第12期：1898-1906,2017年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.12:1898-1906,December 2017 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.017:http://journals..ustb.edu.cn 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 宋宪”，张勇军)区，宁贝飞”，汪伟) 1)北京科技大学工程技术研究院，北京1000832)清华大学机械工程系，北京100084 区通信作者，E-mail:zhangvi@usth.cd.cn 摘要为了解决多芯电缆的非侵入式电流测量由于被测对象信号微弱、系统灵敏度高、易受环境因素干扰，造成测量误差 较大的问题，采用磁阻传感器的非侵入式电流测量系统为研究对象，在分析系统测量方法及硬铁、软铁和比例因子等误差构 成的基础上，提出一种基于二步法的误差校正方法，该方法通过对传感器输出信号进行非线性变换，构造了与误差相对应的 矩阵方程，并在对方程求解后进行非线性回归计算，从而实现对多芯电缆的电流测量值的动态误差修正.实验结果表明，该 方法可以同时校正非侵入式电流测量系统的线性误差与部分非线性误差. 关键词非侵入式测量：多芯电缆：二步法：校正 分类号TP212.13 Calibration method for the noninvasive current measurement of multicore cables based on two-step estimation SONG Xian,ZHANG Yong jun,NING Bei-fei),WANG Wei) 1)Institute of Engineer Technology,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Department of Mechanical Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China Corresponding author,E-mail:zhangyj@ustb.edu.cn ABSTRACT The noninvasive measurement of multicore cables using space magnetic field analysis has characteristics of weak signal intensity,high sensitivity,and vulnerability to environmental or elemental interference.To calibrate the hard iron bias,soft iron bias, and scale factor of magnetoresistance sensors based on noninvasive measurements for multicore cables,a two-step estimation-based cal- ibration method was proposed.This method establishes the error-related linear matrix equations through the nonlinear transformation of the sensor output signal and undertakes nonlinear regression calculation after solving the equations,thus implementing dynamic error correction for the measurement of multicore cable current.Results show that this method can simultaneously calibrate linear and partial nonlinear errors of noninvasive current measurement devices for multicore cables. KEY WORDS noninvasive measurement;multicore cable;two-step method;calibration 电流测量在多数场合下是实施控制或进行状态监 的电流值，如三相电机在运行状态下三根交联同轴电 控的重要环节，电网需要通过检测电流来判断故障位 缆的电流平衡状态等.对多芯电缆的电流测量从技术 置和负载情况，电机需要通过检测电流作为反馈值来 上具有一定的挑战性，目前采用的主要方法是利用多 判断转子转动情况与磁链的状态等.多芯电缆是由多 只传感器通过测量和分析多芯电缆在空间的电磁场分 根表面绝缘的线芯组成的电缆Ⅲ，每根导线可独立传 布状态对各电缆中的电流值进行估计. 输电流，在航空、通信、电力、电子等领域具有极为广泛 目前，非侵入式测量方式主要用到的检测器件包 的应用，有时需要使用一种检测手段可以在不破坏电 括电流互感器、霍尔传感器、Rogowski线圈、磁阻传感 缆本身结构和工作状态的同时测得多芯电缆中每一芯 器等.电流互感器是最常用的非侵入式测量元件，它 收稿日期：201701一12

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期: 1898--1906，2017 年 12 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 12: 1898--1906，December 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 12． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 宋 宪1) ，张勇军1) ，宁贝飞1) ，汪 伟2) 1) 北京科技大学工程技术研究院，北京 100083 2) 清华大学机械工程系，北京 100084 通信作者，E-mail: zhangyj@ ustb． edu． cn 摘 要 为了解决多芯电缆的非侵入式电流测量由于被测对象信号微弱、系统灵敏度高、易受环境因素干扰，造成测量误差 较大的问题，采用磁阻传感器的非侵入式电流测量系统为研究对象，在分析系统测量方法及硬铁、软铁和比例因子等误差构 成的基础上，提出一种基于二步法的误差校正方法，该方法通过对传感器输出信号进行非线性变换，构造了与误差相对应的 矩阵方程，并在对方程求解后进行非线性回归计算，从而实现对多芯电缆的电流测量值的动态误差修正． 实验结果表明，该 方法可以同时校正非侵入式电流测量系统的线性误差与部分非线性误差． 关键词 非侵入式测量; 多芯电缆; 二步法; 校正 分类号 TP212. 13 Calibration method for the noninvasive current measurement of multicore cables based on two-step estimation SONG Xian1) ，ZHANG Yong-jun1)  ，NING Bei-fei1) ，WANG Wei2) 1) Institute of Engineer Technology，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Department of Mechanical Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China Corresponding author，E-mail: zhangyj@ ustb． edu． cn ABSTＲACT The noninvasive measurement of multicore cables using space magnetic field analysis has characteristics of weak signal intensity，high sensitivity，and vulnerability to environmental or elemental interference． To calibrate the hard iron bias，soft iron bias， and scale factor of magnetoresistance sensors based on noninvasive measurements for multicore cables，a two-step estimation-based cal￾ibration method was proposed． This method establishes the error-related linear matrix equations through the nonlinear transformation of the sensor output signal and undertakes nonlinear regression calculation after solving the equations，thus implementing dynamic error correction for the measurement of multicore cable current． Ｒesults show that this method can simultaneously calibrate linear and partial nonlinear errors of noninvasive current measurement devices for multicore cables． KEY WOＲDS noninvasive measurement; multicore cable; two-step method; calibration 收稿日期: 2017--01--12 电流测量在多数场合下是实施控制或进行状态监 控的重要环节，电网需要通过检测电流来判断故障位 置和负载情况，电机需要通过检测电流作为反馈值来 判断转子转动情况与磁链的状态等． 多芯电缆是由多 根表面绝缘的线芯组成的电缆［1］，每根导线可独立传 输电流，在航空、通信、电力、电子等领域具有极为广泛 的应用，有时需要使用一种检测手段可以在不破坏电 缆本身结构和工作状态的同时测得多芯电缆中每一芯 的电流值，如三相电机在运行状态下三根交联同轴电 缆的电流平衡状态等． 对多芯电缆的电流测量从技术 上具有一定的挑战性，目前采用的主要方法是利用多 只传感器通过测量和分析多芯电缆在空间的电磁场分 布状态对各电缆中的电流值进行估计． 目前，非侵入式测量方式主要用到的检测器件包 括电流互感器、霍尔传感器、Ｒogowski 线圈、磁阻传感 器等． 电流互感器是最常用的非侵入式测量元件，它

宋宪等：基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 ·1899· 具有原理简单、应用方便、能耗较低等优势，但仅能用 法校正，通过人工神经网络和最小二乘法推导除了磁 于测量交流电流，而且在测量小电流时会由于相移产 矢量梯度的二步向量，将误差降低至了5.53%；Foster 生相当大的误差网：霍尔传感器频带宽，精度高，响应 与Elkaim阁采用二步法解决了传感器阵列主体框架 快，但存在较大温漂，且存在不可避免的不等位电 中由传感器未对准和软铁误差引起的角度偏移参数， 势B:Rogowski线圈结构简单，隔离性好，稳定性强， 将传感器准确度提高了20倍.此校正方法在智能设 但只能测量交变电流，并且易受外界磁场干扰同：磁阻 备的方向传感器中也有应用，Madgwick等9通过引入 传感器结构简单，反应快，体积小，灵敏度高，但缺点是 xy轴加速度传感器进行参考，计算陀螺仪测量误差的 容易受到外部干扰而影响测量精度6.应用较广的 方向作为四元数导数，并将二步法与卡尔曼滤波器结 磁阻传感器主要有巨磁阻(GMR)传感器和各向异性 合，降低了机器人行进过程中地磁传感器的误差均方 磁阻(AMR)传感器.GMR传感器的精度较高，但容 根；Fang等0针对机动车中磁罗盘的误差，基于二步 易受到外界的干扰，量程较小.为达到普遍适用的目 法开发了一种椭圆拟合的校正方法，将罗盘方向测量 的，一般采用AMR传感器作为多芯电缆中电流的非侵 误差降低到了0.4°. 入式测量元件 本文针对采用多个磁阻传感器的非侵入式多芯电 Meng等圆通过磁传感器阵列分析计算多芯电缆 缆电流测量系统，提出并实现了一种基于二步法的误 中的电流，精确度较高，但设备结构复杂、计算时间极 差校正方法，该方法首先对传感器的校正方程进行推 长，应用范围受到限制.Olson与Lorenz通过数值方 导，建立了多传感器非线性误差的线性化分析方程，通 法对电缆周围磁传感器信号进行分析，以部分解耦方 过对误差方程的求解与对解向量的变形，可以实现对 式检测电流，但此方法需预知电缆内导线位置，实用性 多传感器测量误差的求解和校正.为验证该方法的有 受到限制.Erlewein利用4个双轴AMR传感器测量 效性，本文分别构建了由4个双轴AMR传感器对两芯 多芯导线周围磁场的切向分量与径向分量，通过毕奥 电缆进行电流测量的仿真与实验系统，并对误差校正 萨伐定律对所得磁场检测值进行分析计算，可成功获 前后的测量效果进行了对比研究 得多芯电缆内导线各自的位置与其所承载的电流值， 1 且具有工作效率高、设备结构简单的优势，但该系统的 多芯电缆电流测量方法 显著缺点是误差较为明显，需要对测量值进行合理的 进行多芯电缆的非侵入式电流测量时，需测量 误差校正 电缆周围若干独立点的磁场强度，通过电磁场的分 目前，对磁阻传感器的校正主要有最小二乘法、B 布来定位导线位置并反向计算各导线中的电流值 样条建模法和函数链接型神经网络(FLANN)等几种 在利用磁阻传感器测量多芯导线电流时，可应用毕 方法.其中，最小二乘法可以通过进行椭圆拟合自适 奥萨伐定律计算电流附近的磁场，该定律的标量表 应地调整校正补偿量四，适用于工作状态多变的嵌入 示如下 式传感器，但由于这种迭代算法对初始量参数要求较 dB=ds·sine (1) 高，且需要得到待测磁场的准确数学模型；B样条建模 Γ4r2 法可以通过样条差值对测量值进行修正和补偿·网，但 式中，B为磁感应强度：I为导线中电流：s为导线线元 需要利用千个以上的测量点建立B样条模型，无法应 素；r为测量位置与导线距离：p为位置矢量与导线的 用于实际工况：FLANN通过神经网络算法对实验数据 夹角：4为真空磁导率 进行训练，计算精度较高，但所需的计算量大，对后台 一般被测导线长度远大于此传感器本身的外形尺 控制器有较高要求 寸，故可将待测导线的长度近似为无限长，因此上述标 二步法由明尼苏达大学的Gebre-Egziabher教授提 量式可简化为如下形式 出的，方法基于对传感器误差的归类，通过由观测值 B=凸1 (2) 建立的“首步状态”向量，求解参数化矩阵方程，计算 2T r 出对误差项进行非线性变换的“二步状态”向量，实现 单芯载流导线周围磁场的分布是均匀且对称的， 误差估计，适用于对多传感器数据融合的校正.由于 但多芯电缆周边由于磁场间相互干涉出现复杂的分 二步法具有精度高、速度快等优点，且可较完善地表示 布，且与电流方向有关.图1分别列出了对某双芯导 不同类型的误差，已在多个场合成功应用.Zhang将 线中的均通入1A电流与分别通入±1A电流时磁场 二步法应用于陀螺仪与磁传感器的校正，通过找到最 的标量场分布，仿真由COMSOL MultiPhysics®完成. 适合传感器读数的最佳椭球来确定组合偏差，探索传 由于COMSOL MultiPhysics®中需要定义表面电流，所 感器读数之间的内在关系，并使用二步迭代算法导出 以在导线中心会出现强度较低的磁场分布. 变换矩阵；Huang与WuW对磁矢梯度仪进行了二步 多芯电缆周围磁场复杂且难以建模，仅通过单一

宋 宪等: 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 具有原理简单、应用方便、能耗较低等优势，但仅能用 于测量交流电流，而且在测量小电流时会由于相移产 生相当大的误差［2］; 霍尔传感器频带宽，精度高，响应 快，但存 在 较 大 温 漂，且存在不可避免的不等位电 势［3--4］; Ｒogowski 线圈结构简单，隔离性好，稳定性强， 但只能测量交变电流，并且易受外界磁场干扰［5］; 磁阻 传感器结构简单，反应快，体积小，灵敏度高，但缺点是 容易受到外部干扰而影响测量精度［6--7］． 应用较广的 磁阻传感器主要有巨磁阻( GMＲ) 传感器和各向异性 磁阻( AMＲ) 传感器［8］． GMＲ 传感器的精度较高，但容 易受到外界的干扰，量程较小． 为达到普遍适用的目 的，一般采用 AMＲ 传感器作为多芯电缆中电流的非侵 入式测量元件． Meng 等［9］通过磁传感器阵列分析计算多芯电缆 中的电流，精确度较高，但设备结构复杂、计算时间极 长，应用范围受到限制． Olson 与 Lorenz［10］通过数值方 法对电缆周围磁传感器信号进行分析，以部分解耦方 式检测电流，但此方法需预知电缆内导线位置，实用性 受到限制． Erlewein［11］利用 4 个双轴 AMＲ 传感器测量 多芯导线周围磁场的切向分量与径向分量，通过毕奥 萨伐定律对所得磁场检测值进行分析计算，可成功获 得多芯电缆内导线各自的位置与其所承载的电流值， 且具有工作效率高、设备结构简单的优势，但该系统的 显著缺点是误差较为明显，需要对测量值进行合理的 误差校正． 目前，对磁阻传感器的校正主要有最小二乘法、B 样条建模法和函数链接型神经网络( FLANN) 等几种 方法． 其中，最小二乘法可以通过进行椭圆拟合自适 应地调整校正补偿量［12］，适用于工作状态多变的嵌入 式传感器，但由于这种迭代算法对初始量参数要求较 高，且需要得到待测磁场的准确数学模型; B 样条建模 法可以通过样条差值对测量值进行修正和补偿［13］，但 需要利用千个以上的测量点建立 B 样条模型，无法应 用于实际工况; FLANN 通过神经网络算法对实验数据 进行训练，计算精度较高，但所需的计算量大，对后台 控制器有较高要求［14］． 二步法由明尼苏达大学的 Gebre-Egziabher 教授提 出［15］，方法基于对传感器误差的归类，通过由观测值 建立的“首步状态”向量，求解参数化矩阵方程，计算 出对误差项进行非线性变换的“二步状态”向量，实现 误差估计，适用于对多传感器数据融合的校正． 由于 二步法具有精度高、速度快等优点，且可较完善地表示 不同类型的误差，已在多个场合成功应用． Zhang［16］将 二步法应用于陀螺仪与磁传感器的校正，通过找到最 适合传感器读数的最佳椭球来确定组合偏差，探索传 感器读数之间的内在关系，并使用二步迭代算法导出 变换矩阵; Huang 与 Wu［17］对磁矢梯度仪进行了二步 法校正，通过人工神经网络和最小二乘法推导除了磁 矢量梯度的二步向量，将误差降低至了 5. 53% ; Foster 与 Elkaim［18］采用二步法解决了传感器阵列主体框架 中由传感器未对准和软铁误差引起的角度偏移参数， 将传感器准确度提高了 20 倍． 此校正方法在智能设 备的方向传感器中也有应用，Madgwick 等［19］通过引入 xy 轴加速度传感器进行参考，计算陀螺仪测量误差的 方向作为四元数导数，并将二步法与卡尔曼滤波器结 合，降低了机器人行进过程中地磁传感器的误差均方 根; Fang 等［20］针对机动车中磁罗盘的误差，基于二步 法开发了一种椭圆拟合的校正方法，将罗盘方向测量 误差降低到了 0. 4°． 本文针对采用多个磁阻传感器的非侵入式多芯电 缆电流测量系统，提出并实现了一种基于二步法的误 差校正方法，该方法首先对传感器的校正方程进行推 导，建立了多传感器非线性误差的线性化分析方程，通 过对误差方程的求解与对解向量的变形，可以实现对 多传感器测量误差的求解和校正． 为验证该方法的有 效性，本文分别构建了由 4 个双轴 AMＲ 传感器对两芯 电缆进行电流测量的仿真与实验系统，并对误差校正 前后的测量效果进行了对比研究． 1 多芯电缆电流测量方法 进行多芯电缆的非侵入式电流测量时，需 测 量 电缆周围若干独立点的磁场强度，通过电磁场的分 布来定位导线位置并反向计算各导线中的电流值． 在利用磁阻传感器测量多芯导线电流时，可应用毕 奥萨伐定律计算电流附近的磁场，该定律的标量表 示如下 dB = μ0 4π Ids·sinφ r 2 ． ( 1) 式中，B 为磁感应强度; I 为导线中电流; s 为导线线元 素; r 为测量位置与导线距离; φ 为位置矢量与导线的 夹角; μ0为真空磁导率． 一般被测导线长度远大于此传感器本身的外形尺 寸，故可将待测导线的长度近似为无限长，因此上述标 量式可简化为如下形式 B = μ0 2π I r ． ( 2) 单芯载流导线周围磁场的分布是均匀且对称的， 但多芯电缆周边由于磁场间相互干渉出现复杂的分 布，且与电流方向有关． 图 1 分别列出了对某双芯导 线中的均通入 1 A 电流与分别通入 ± 1 A 电流时磁场 的标量 场 分 布，仿 真 由 COMSOL MultiPhysics 完成． 由于 COMSOL MultiPhysics 中需要定义表面电流，所 以在导线中心会出现强度较低的磁场分布． 多芯电缆周围磁场复杂且难以建模，仅通过单一 · 9981 ·

·1900 工程科学学报，第39卷，第12期 微通密度 磁通密度 0@ 模/10T 2.0回 模0T 1.5 1.5 3.0 .0 2.5 1.0 0.5 2.5 2.0 0 2.0 -05 0.5 1.5 -1.0 1.0 -1.0 -1.5 05 -1.5 -2.0 -2.0 0.5 -101 2 -2 -1 0 平面x轴/mm 平面x轴mm 图1双芯电缆周围磁场分布.(a)相同电流：()相反电流 Fig.1 Magnetic field distribution surrounding a double-core cable:(a)same currents:(b)opposite current 传感器的测量值无法同时求得电缆内导线的位置与所 内导线位置与所带电流大小进行求解.图2给出了 带电流大小，因此在测量中需利用多传感器进行数据 传感器与双芯导线的位置关系. 融合.以双轴AMR传感器组成的两芯电缆测量系统 此处仍以在两根导线通入大小、方向相同的电流 为例，4个AMR传感器在空间上互成90°，通过每只传 为例，对于该系统中的任意一个传感器，都存在如下电 感器分别测量电缆周边的切向与径向磁场实现对电缆 磁标量关系 sin arctan yi-yA +arctan sin[arctan ~arctan-ye x. Bd2 xi-xA xi-xR (3) i-2x+x+yi-2yiy+y x-2xx+x+y-2yyg+y cos arctan ( +arctan 小 x:-x arctan ( x:-x (4) x-2xxA+x+片-2yya+yi x-2xxg+x+y片-2yyB+y8 示)与其切向/径向分量.传感器测得的磁场切向 100 1一多芯电缆： 分量B与径向分量B分别为B.与B.的切向分 2一传感器： 200 3一电缆内导线 量与径向分量之和. 300 100 0 -100 100 mm 图2传感器与双芯电缆的位置关系 (g Yn) Fig.2 Relation between the positions of sensors and doublecore ca- 截面横向距离，。 ble 图3电流计算公式中各参量关系 式中，B为磁场径向分量的标量；B为磁场切向 Fig.3 Relation between the parameters in the current calculation 分量的标量：(x,y)为传感器i的位置.由此，该测 equation 量系统中的四个传感器共可列出八个方程.非侵 由于多芯导线周围磁场为非线性分布，不同传感 入式电流测量的目标为电缆中导线的位置与每个 器得到的电磁方程线性不相关，所以通过装置得到的 导线所载电流，所以方程中的未知量为导线位置 方程组可解 (xAyA)、(x,y)与标量电流I(正常工作情况下 上述方程仅可在无干扰情况下较为准确地计算导 两导线所带电流不同，可分别表示为I、1。).式中 体位置与电流分布，外界磁场干扰与传感器误差会严 各参量关系如图3所示，且为方便理解，图中还加 重降低此装置的精确度.因此，要对影响测量误差的 入了导线A与导线B的场强（分别用B,与B。表 各种原因进行分析，从而得到有效的校正

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期 图 1 双芯电缆周围磁场分布． ( a) 相同电流; ( b) 相反电流 Fig． 1 Magnetic field distribution surrounding a double-core cable: ( a) same currents; ( b) opposite current 传感器的测量值无法同时求得电缆内导线的位置与所 带电流大小，因此在测量中需利用多传感器进行数据 融合． 以双轴 AMＲ 传感器组成的两芯电缆测量系统 为例，4 个 AMＲ 传感器在空间上互成 90°，通过每只传 感器分别测量电缆周边的切向与径向磁场实现对电缆 内导线位置与所带电流大小进行求解［11］． 图 2 给出了 传感器与双芯导线的位置关系． 此处仍以在两根导线通入大小、方向相同的电流 为例，对于该系统中的任意一个传感器，都存在如下电 磁标量关系 Brad = μ0 2π I· [ ( sin － arctan yi － yA xi － x ) A ( + arctan yi x ) ] i 2 x 2 i － 2xixA + x 2 A + y 2 i － 2yiyA + y 2 A + [ ( sin arctan yi x ) i ( － arctan yi － yB xi － x ) ] B 2 x 2 i － 2xixB + x 2 B + y 2 i － 2yiyB + y 槡 2 B ， ( 3) Btan = μ0 2π I· [ ( cos － arctan yi － yA xi － x ) A ( + arctan yi x ) ] i 2 x 2 i － 2xixA + x 2 A + y 2 i － 2yiyA + y 2 A + [ ( cos arctan yi x ) i ( － arctan yi － yB xi － x ) ] B 2 x 2 i － 2xixB + x 2 B + y 2 i － 2yiyB + y 槡 2 B ． ( 4) 图 2 传感器与双芯电缆的位置关系 Fig． 2 Ｒelation between the positions of sensors and double-core ca￾ble 式中，Brad为磁 场 径 向 分 量 的 标 量; Btan 为磁 场 切 向 分量的标量; ( xi，yi ) 为传感器 i 的位置． 由此，该测 量系统中的四个传感器共可列出八个方程． 非 侵 入式电流测量的目标为电缆中导线的位置与每个 导线所 载 电 流，所以方程中的未知量为导线位置 ( xA，yA ) 、( xB，yB ) 与标 量 电 流 I( 正常工作情况下 两导线所带电流不同，可分别 表 示 为 IA、IB ) ． 式中 各参量关系 如 图 3 所 示，且 为 方 便 理 解，图 中 还 加 入了导线 A 与 导 线 B 的 场 强( 分 别 用 BA 与 BB 表 示) 与其切向 /径 向 分 量． 传感器测得的磁场切向 分量 Btan与径向分量 Brad分别为 BA 与 BB 的切向分 量与径向分量之和． 图 3 电流计算公式中各参量关系 Fig． 3 Ｒelation between the parameters in the current calculation equation 由于多芯导线周围磁场为非线性分布，不同传感 器得到的电磁方程线性不相关，所以通过装置得到的 方程组可解． 上述方程仅可在无干扰情况下较为准确地计算导 体位置与电流分布，外界磁场干扰与传感器误差会严 重降低此装置的精确度． 因此，要对影响测量误差的 各种原因进行分析，从而得到有效的校正． · 0091 ·

宋宪等：基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 ·1901· 2误差种类与校正 2.2基于二步法的误差校正方法 在实际应用中，无法直接获取测量装置的误差值， 2.1误差种类 需采用间接方式估计传感器误差.在采用二步法对多 通过分析测量方法可知，双轴磁阻传感器的检测 芯电缆电流测量误差进行校正时，第一步首先将式 结果会受到磁场干扰、电路零漂、传感器制造误差、安 (6)展开 装误差与测量过程高斯误差等因素的影响，导致测量 _-26+,房-24+上 (7) 值出现偏差.其中磁场干扰一般分两类，一类为传感 器自身材料与电子元件产生的磁场，称为硬铁误差 在进行k次电流值不同的测量后，可以得到k个 (hard iron bias):另一类为系统内部铁磁材料被外界 式(7)形式的方程.对这k个方程构成的方程组进行 磁场磁化产生的感应磁场，称为软铁误差(soft iron bi- 变换，可以得到形如z=x+v式的矩阵如下 s),软铁误差大小与外界磁场有关.测量系统中电路 「尼()1 零漂的电磁特性与硬铁误差的特性一致，计算时可并 尼(，) X2 入硬铁误差.此外，传感器元件的灵敏度差异产生的 房(，) =[Hn H2] 5% +v. (8) 测量误差可称为比例因子误差(scale factor),安装误 差表征传感器实际安装位置与理想位置的偏差. 考虑上述几种误差的传感器数学模型如下☒ L2()] h"=CC.C.(Ch"+b+w). (5) 「尼(，)1 式中，为磁场测量值，上标为b的量在切向径向坐 房(，) 标系中，未标上标的量在y直角坐标系中.b= 其中，z= 尼(，) 为“首步状态”向量，向量y为测量 bb,]T和w=w,G,]T分别为硬铁误差和宽频 噪声，h表示磁场在径向切向坐标系的实际值.C和 2()」 C为2×2矩阵，分别表示软铁误差和比例因子误差， 过程高斯噪声.“二步状态”向量x中的各项表达式 具体形式为，C。= （cu,为软铁误差对自 如下 x1=b, (9) 身坐标轴测量的影响，α，a,.为软铁误差对另一坐标 2 =() (10) 轴测量的影响，后两者数值极小，可以忽略)、C。= [(1+sg) 0 0 (1+s6) (s56为传感器灵敏度相对于理 (: (11) 想值的偏差).C。表示安装误差，但此误差很小，可认 为C.为2×2单位阵.由于比例因子误差、软铁误差 =产+() (12) 于安装误差均为2×2矩阵，故可将此类误差合并为 x=-（y）2h2. (13) 「Yx C.CC=Y= 1 式中，b、by:和y;分别为b.b,y和y,的估计值. C为将切向/径向坐标转换 Y,] 测量矩阵H由一个k×2矩阵H,和一个k×3矩 为xy直角坐标的变换矩阵. 阵H2组成.定义H:为 需要说明的是，虽然实际应用中铁磁材料磁化时 -2h,(t) -2h()1 会存在磁滞，但由于一般情况下所测磁场强度较低，铁 -2h(2) -2h,(2) 磁材料不会饱和，且软铁误差系数不会超过实际磁场 Hu = -2h.(63) -2h,(3) (14) 强度的2%，故可认为此误差与外界磁场间的关系为 线性. -2h(t) -2h(t)」 综上，通过观测值计算实际值的方程为 R-6-6)26-6 H2为 (6) 「() 1 1 房(，) 1 式中，2是磁场实际值的平方；h,、h,分别为观测值的 x分量与y分量. H2= 房(3) 1 (15) 由上述分析可知，可近似认为传感器的误差系数 与线性误差项不随待测磁场的大小而变化. L足() 1 1

宋 宪等: 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 2 误差种类与校正 2. 1 误差种类 通过分析测量方法可知，双轴磁阻传感器的检测 结果会受到磁场干扰、电路零漂、传感器制造误差、安 装误差与测量过程高斯误差等因素的影响，导致测量 值出现偏差． 其中磁场干扰一般分两类，一类为传感 器自身材料与电子元件产生的磁场，称为硬铁误差 ( hard iron bias) ; 另一类为系统内部铁磁材料被外界 磁场磁化产生的感应磁场，称为软铁误差( soft iron bi￾as) ，软铁误差大小与外界磁场有关． 测量系统中电路 零漂的电磁特性与硬铁误差的特性一致，计算时可并 入硬铁误差． 此外，传感器元件的灵敏度差异产生的 测量误差可称为比例因子误差( scale factor) ，安装误 差表征传感器实际安装位置与理想位置的偏差． 考虑上述几种误差的传感器数学模型如下［12］ ^ hw = Cm CsfCsi ( C b→w hb + b + w) ． ( 5) 式中，^ hw 为磁场测量值，上标为 b 的量在切向径向坐 标系 中，未 标 上 标 的 量 在 xy 直 角 坐 标 系 中． b = ［bx by］T 和 w =［wx wy］T 分别为硬铁误差和宽频 噪声，hb 表示磁场在径向切向坐标系的实际值． Csi和 Csf为 2 × 2 矩阵，分别表示软铁误差和比例因子误差， 具体形式为，Csi = αxx αxy αyx α [ ] yy ( αxx、αyy为软铁误差对自 身坐标轴测量的影响，αxy、αyx为软铁误差对另一坐标 轴测量的 影 响，后 两 者 数 值 极 小，可 以 忽 略) 、Csf = ( 1 + sfx ) 0 0 ( 1 + sfy [ ) ]( sfx、sfy为传感器灵敏度相对于理 想值的偏差) ． Cm 表示安装误差，但此误差很小，可认 为 Cm 为 2 × 2 单位阵． 由于比例因子误差、软铁误差 于安装误差均为 2 × 2 矩阵，故可将此类误差合并为 Cm CsfCsi = γ = γx γ [ ] y ． C b→w 为将切向/径向坐标转换 为 xy 直角坐标的变换矩阵． 需要说明的是，虽然实际应用中铁磁材料磁化时 会存在磁滞，但由于一般情况下所测磁场强度较低，铁 磁材料不会饱和，且软铁误差系数不会超过实际磁场 强度的 2% ，故可认为此误差与外界磁场间的关系为 线性． 综上，通过观测值计算实际值的方程为 h2 = ( ^ hx － bx ) 2 γ2 x + ( ^ hy － by ) 2 γ2 y . ( 6) 式中，h2 是磁场实际值的平方; ^ hx、^ hy 分别为观测值的 x 分量与 y 分量． 由上述分析可知，可近似认为传感器的误差系数 与线性误差项不随待测磁场的大小而变化． 2. 2 基于二步法的误差校正方法 在实际应用中，无法直接获取测量装置的误差值， 需采用间接方式估计传感器误差． 在采用二步法对多 芯电缆电流测量误差进行校正时，第一步首先将式 ( 6) 展开 h2 = ^ h2 x － 2 ^ hx bx + b 2 x γ2 x + ^ h2 y － 2 ^ hy by + b 2 y γ2 y ． ( 7) 在进行 k 次电流值不同的测量后，可以得到 k 个 式( 7) 形式的方程． 对这 k 个方程构成的方程组进行 变换，可以得到形如 z = Hx + v 式的矩阵如下 ^ h2 x ( t1 ) ^ h2 x ( t2 ) ^ h2 x ( t3 )  ^ h2 x ( tk                )  = [ H11 H12 ] x1 x2 x3 x4 x                5  + v． ( 8) 其中，z = ^ h2 x ( t1 ) ^ h2 x ( t2 ) ^ h2 x ( t3 )  ^ h2 x ( tk                )  为“首步状态”向量，向量 v 为测量 过程高斯噪声． “二步状态”向量 x 中的各项表达式 如下 x1 = b'x， ( 9) x2 ( = γ' x γ' ) y 2 ·b'y， ( 10) x3 ( = γ' x γ' ) y 2 ， ( 11) x4 = ( b'x ) 2 ( + γ' x γ' ) y 2 ·( b'y ) 2 ， ( 12) x5 = － ( γ' x ) 2 h2 ． ( 13) 式中，b'x、b'y、γ' x 和 γ' y 分别为 bx、by、γx 和 γy 的估计值． 测量矩阵 H 由一个 k × 2 矩阵 H11和一个 k × 3 矩 阵 H12组成． 定义 H11为 H11 = － 2 ^ hx ( t1 ) － 2 ^ hy ( t1 ) － 2 ^ hx ( t2 ) － 2 ^ hy ( t2 ) － 2 ^ hx ( t3 ) － 2 ^ hy ( t3 )   － 2 ^ hx ( tk ) － 2 ^ hy ( tk              )  ， ( 14) H12为 H12 = ^ h2 x ( t1 ) 1 1 ^ h2 x ( t2 ) 1 1 ^ h2 x ( t3 ) 1 1    ^ h2 x ( tk )                1 1  ． ( 15) · 1091 ·

·1902· 工程科学学报，第39卷，第12期 由于不同电流下磁场真实值h的大小均不相同， 故进行矩阵乘法时H2每一行所乘的x,均不相同，所 3仿真与实验研究 以需将x;与H,中与x,相关的第五列重新定义 3.1仿真研究 x5=-(y）2, (16) 为验证算法的稳定性与精确性，首先在Matlab环 「() 1 h2(t)1 境中进行仿真研究.将测量系统硬件结构定义为一般 ()12(z) 铁磁材料，设置传感器元件产生的磁场强度为b,= H2= 房()1h2() (17) 0.0035,b,=0.0035,并在每个传感器附近加入一个带 1mA的细小导线模拟零漂.在双芯载流导线产生的电 L2(u) 磁环境中加入4个同规格的双轴磁阻传感器.由于各 1 h2(t)」 磁阻传感器均存在比例因子误差，故将传感器的测量 之后，通过下式计算二步向量x 系数随机乘以比例误差系数r∈D,L.02].最后，将测 x=(HH)Hy. (18) 量结果与一个服从高斯分布的随机数j∈D.0001, 得到二步向量x后，可估计出传感器系统的误差：b:= 0.0002]相加，用以模拟测量噪声.仿真测量时，将电 流测量装置逆时针旋转5次，每次转过72°，可产生5 个线性不相关的观测值，使二步法方程有唯一解.将 进而，可直接将误差估计值导入控制器内进行补 得出的数据代入式(7)，并将得到的方程组通过二步 偿，得到误差补偿后磁场强度的估计值 法进行误差估计. (℃i-b) (19) 为使仿真结果更易观察，将两根待测导线中通入 大小相同方向相反的电流，并通过设定值事先计算出 式中，C为将y直角坐标转换为切向/径向坐标的变 实际误差值（不含噪声）.经计算，x方向线性误差为 换矩阵 b,=0.005,非线性误差（包括比例因子和软铁误差）为 二步法通过推导由观测值得到的“一步向量”与 1.0302:y方向线性误差为b,=0.005,非线性误差为 由误差值建立的“二步向量”之间的关系，可较准确地 1.0296.图4是在进行300次测量仿真后，对其中一个 估计磁传感器误差，且方法中非线性变换的运算量较 传感器的硬铁误差和非线性误差（软铁误差和比例因 小，可以对非侵入式电流测量装置进行有效的误差 子误差)的仿真估计结果 校正. 其中，x轴硬铁误差仿真值与设定值的最大偏离为 1.0 1032 0.8 1.031 0.6 1030 04 1.029 0.2 50 100 150 200 250 300 1.0286 100 150 200 250 300 次数 次数 1.0 1.032 d 0.8 1.031 0.6 WVm恤 1.030 04 0.2 1.029 50 100150200 250 300 1.0286 50 100150 200250.300 次数 次数 图4不同误差仿真结果.(a)x方向硬铁误差：(b)x方向软铁误差与比例因子误差：()y方向硬铁误差：(d)y方向软铁误差与比例 因子误差 Fig.4 Simulation results for different types of deviations:(a)hard iron bias in x dimension:(b)soft iron and scale factor biases in x dimension: (c)hard iron bias in y dimension:(d)soft iron and scale factor biases in y dimension

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期 由于不同电流下磁场真实值 h 的大小均不相同， 故进行矩阵乘法时 H12每一行所乘的 x5 均不相同，所 以需将 x5 与 H12中与 x5 相关的第五列重新定义 x5 = － ( γ' x ) 2 ， ( 16) H12 = ^ h2 x ( t1 ) 1 h2 ( t1 ) ^ h2 x ( t2 ) 1 h2 ( t2 ) ^ h2 x ( t3 ) 1 h2 ( t3 )    ^ h2 x ( tk ) 1 h2 ( tk                )  . ( 17) 之后，通过下式计算二步向量 x x = ( HT H) － 1HT y. ( 18) 得到二步向量 x 后，可估计出传感器系统的误差: b'x = x1 ; b'y = x2 x3 ; γ' x = － x5 槡h2 ; γ' y = x3 γ 槡2 x ． 图 4 不同误差仿真结果 . ( a) x 方向硬铁误差; ( b) x 方向软铁误差与比例因子误差; ( c) y 方向硬铁误差; ( d) y 方向软铁误差与比例 因子误差 Fig． 4 Simulation results for different types of deviations: ( a) hard iron bias in x dimension; ( b) soft iron and scale factor biases in x dimension; ( c) hard iron bias in y dimension; ( d) soft iron and scale factor biases in y dimension 进而，可直接将误差估计值导入控制器内进行补 偿，得到误差补偿后磁场强度的估计值 hb' hb' = C w→b γ' x [ γ'] y － 1 ( C b→w ^ hb － b' [ ] ) ． ( 19) 式中，C w→b 为将 xy 直角坐标转换为切向/径向坐标的变 换矩阵． 二步法通过推导由观测值得到的“一步向量”与 由误差值建立的“二步向量”之间的关系，可较准确地 估计磁传感器误差，且方法中非线性变换的运算量较 小，可以对非侵入式电流测量装置进行有效的误差 校正． 3 仿真与实验研究 3. 1 仿真研究 为验证算法的稳定性与精确性，首先在 Matlab 环 境中进行仿真研究． 将测量系统硬件结构定义为一般 铁磁材料，设置传感器元件产生的磁场强度为 bx = 0. 0035，by = 0. 0035，并在每个传感器附近加入一个带 1 mA 的细小导线模拟零漂． 在双芯载流导线产生的电 磁环境中加入 4 个同规格的双轴磁阻传感器． 由于各 磁阻传感器均存在比例因子误差，故将传感器的测量 系数随机乘以比例误差系数 r∈［1，1. 02］． 最后，将测 量结果与一个服从高斯分布的随机数 j∈［0. 0001， 0. 0002］相加，用以模拟测量噪声． 仿真测量时，将电 流测量装置逆时针旋转 5 次，每次转过 72°，可产生 5 个线性不相关的观测值，使二步法方程有唯一解． 将 得出的数据代入式( 7) ，并将得到的方程组通过二步 法进行误差估计． 为使仿真结果更易观察，将两根待测导线中通入 大小相同方向相反的电流，并通过设定值事先计算出 实际误差值( 不含噪声) ． 经计算，x 方向线性误差为 bx = 0. 005，非线性误差( 包括比例因子和软铁误差) 为 1. 0302; y 方向线性误差为 by = 0. 005，非线性误差为 1. 0296． 图 4 是在进行 300 次测量仿真后，对其中一个 传感器的硬铁误差和非线性误差( 软铁误差和比例因 子误差) 的仿真估计结果． 其中，x 轴 硬 铁 误 差 仿 真 值 与 设 定 值 的 最 大 偏 离 为 · 2091 ·