8 图1-20.1-19a中桁架的载荷-变位图. 图1-21.例题 从B到C,结构在常载荷Pu作用下继续变形。正如前面所提及 的，最终将出现应变硬化，而后结构又能承受附加载荷，但对实际 应用来说，出现很大的变位就意味着结构已经破坏.由于这个原 因，极限载荷Pu的计算对于设计者来说是颇有兴趣的 例题试确定图1-21所示结构的屈服载荷P,和极限载荷P.设 水平杆为刚性杆，而两根竖直张线是由弹-塑性材料制成的。并计算当采用 载荷系数为1.85时，结构的容许载荷P山（假设这两根张线具有相同的横截 面面积4). 张线中的力F1和T?与载荷P的关系式，可通过对杆的A端取矩而得： 3P=P1+2F, (a) 该方程对于载荷P从琴至极限载荷P的任何一个值都是成立的.从图上也 可清楚的看出，右边那根张线的伸长量总是为左边那根张线伸长量的两倍. 因此，在弹性条件下，我们有F=2F,而且我们也可看出，当P逐渐增大 时，力F2将首先到达屈服值σ4.此时，力F1将等于¤，A/2,而其相应的 载荷P等于屈服载荷P,根据方程(a)求得： R,=5g 当到达极限载荷Pu时，1和F,均将等于·A,因此，从方程(a)我们求出 Pu=OyA 正如在前面1.3节中所阐明的，容许载荷P。可用载荷系数去除极限载荷而 求得，因此： Pw=- Pu y4 载荷系数对 从此例看日，确定静不定结构的极限载荷P。要比作弹性分析容易得多」 。27◆
1.9剪应力和剪应变 让我们研究图1-22a所示的连接件以作为出现剪应力的实际 例子、该连接件是由杆A和·形铁钩O以及螺栓B所组成，螺 栓穷过杆和钩上的钉孔.在载荷P的作用下，杆和钩将以挤压形 式贴紧螺栓，而被称为挤压应力的接触应力也在螺栓上出现，如 图1-22b所示.该图还表明沿着截面m和pg有使螺栓剪切的趋 势.如果我们画出螺栓的mPg部分的自由体图（图1-22o),显然 剪力V必然会沿切面作用（本例中每个剪力V等于卫/2）.该剪 力产生沿螺栓横截面分布的剪应力⑦.这些剪应力的确切分布是 不易确定的，不过我们可用总剪力除以它所作用的面积A得到一 个平均值： (1-13) 在图1-22的例子中，方程(1-13)中所用的面积A为螺栓的横截 面面积. (b) 图1-8。直接剪切的实例. 在设计螺栓、销钉、铆钉、键以及其它承受直接剪切的零件时， 一般作法是使用方程(1-13)并根据平均容许剪应力如来调配零 件.容许剪应力通常介于0.6cw和0.6c。之间，co为同一种材料 的容许拉应力、在后面的章节中将会看到，当杆件受拉和受弯时， 剪应力会以间接的方式出现. 在本章前仰诺节，我们研究了拉应力和应力，它]均垂直于 其作用面而作用，所以通常被称为正应力.反之，剪应力总是切于 ●380
该表面而作用，因此有时称它为切应力.在这两种情况下，应力均 代表力的集度，亦即单位面积上的力，因此我们看出正应力和剪应 力之间的主要区别是方向上的区别： 为了使剪应力产生的变形形象化，让我们研究一个微小的立 方体材料微元（图1-23a),假设它承受沿顶面分布的剪应力下.如 果微元体上没有作用正应力，那么为使微元在水平方向处于平 衡，在其底面上还必须作用相等面方向相反的剪应力.此外，微元 的顶面和底面上的剪应力产生一个力矩，该力矩必须由作用在微 元两个竖直边上的剪应力产生的力矩来平衡，如果要使该微元处 于静力平衡，那么这些竖直方向的剪应力也必须等于.因此，我 们看到，一般地：()作用于材料微元上的剪应力总是以大小相等 而方向相反的形式成对出现；(b)剪应力总是存在于互垂的平面 上.互垂面上的剪应力总是大小相等，而其方向指向或背离互垂 面的交线.一个仅承受剪切的微元，称为纯剪，如图1-23阳所示。 纯剪将在第2.3节中作较详细的讨论. () (b) 图1-83。剪应力和剪应变 纯剪时材料微元的变形绘于图123b中，该图表示立方体微 元的正面bcd.因为微元上设有作用正应力，所以b,cd,c和 d边的长度不会改变.相反，剪应力将使正方形abcd歪曲成菱形， 如图中虚线所示.变形前点c处的角度为/2，现在减小为r/2 Y,这里Y为图中所示的微小角度.与此同时，点G处的角度增大 到x,/2十Y.角Y是由于剪切作用而使微元歪曲的一个尺度，被称 ·29◆
为剪应变.由图可见，剪应变Y等于该微元顶边相对于底边作水 平滑动的量除以微元的高度 对材料进行纯剪试验，并且测量作为剪应力函数的剪应变， 我们便可以实验方法得到材料的剪应力一应变图.这个图与相同 材料的拉伸试验图在形状上非常相似，根据它我们就能确定剪 切时的比例极限、屈服点和极限应力，试验表明，对于包括结 构钢在内的延性金属，剪切时的屈服应力为σ，的0.6至0.6 倍 如果材料具有线弹性区段，那么剪应力-应变图将为一直线， 而且剪应力与剪应变成正比.于是，我们得出下列剪切虎克定律 方程： T-GY (1-14) 式中仔称为材料的剪切弹性模量.几种材料口的典型值已列于 表11中.产生纯剪的最简单的方法是通过空心圆管的扭转，这 将在后面扭转一章加以解释（见第三章），正是根据这样的扭转试 验，通常可以得到仔之值.另外应当注意，受拉时和受剪时的弹 性模量（丑和）不是彼此无关的，正如在后面第？，3节即将证明 的那样，它们之间存在着确定的关系 1.10应变能 当一根简单拉杆被力P静态地（即很慢地）加载时，杆件将伸 长（图1-24a),而且，如果材料服从虎克定律，其载荷-变位图就为 一直线，如图1-24b所示.在杆件受载的过程中，力P在杆上作功， 而此功转变为储存在杆内的势能或应变能.随后再将力P慢慢 地移去，杆将恢复到其原来的长度。在此卸载过程中，储存在杆 中的应变能可以功的形式得以恢复.因此，杆像一根弹簧，当载荷 作用或移去时可以储存或释放能量。 加载时储存在杆中的应变能可根据载荷-变位图得出.假设 P1代表载荷的某一中间值，δ1为其相应的伸长量.那么载荷的增 量dP主将产生仲长增量dδ1，在此伸长增加过程中，载荷P玉所作 ◆90
dP, (a】 (b) 图1-4，杆受拉时的载荷-变位剡， 的功是P181,在图中以阴影面积来表示.加载过程中所做的总功 为这些微元面积之总和，并等于载荷-变位图下边的面积.因此，由 载荷P所作的总功等于储存在杆中的应变能辽，此功为 0-P8 2 (1-15) 这一方程仅当材料服从虎克定律时才成立，在此情况下我们知 道，P通过方程8-P工/孢A与8相联系.将此关系式代入方程 (1-15),我们即可用知下任一形式来表示杆中的应变能： 7-新或0-五4A6 一2五 (1-16a,b) 2而A 这些方程中的第一个方程将应变能表示为载荷P的函数，第二个 将应变能表示为变位8的函数 考虑单位体积的应变能“常常是有用的.对于一根均匀拉神 的杆，我们可用杆的体积去除总应变能0而得到，于是· U/AE,因而 (1-17a,b) 2而 或u=e 2 式中g=P/A为拉应力，而e=8/五为应变 未超过比例极限时，杆中所能储存的单位体积的应变能的最 大值，称为回弹模量.将比例极限取代方程(1-了7a)中的。，即可 求得此模量.例如，比例极限为200N/mm和丑-200kN/mm 314