的结构钢所具有的回弹模量u等于0.1N/mm 以上关于杆拉伸时应变能的讨论也适用丁压缩时的杆件. 为应变能等于杆受载时力P所做的功，所以应变能总是正值、 例题1 试比较图1-25所示三根杆中所储存的应交能的大小.注意 每根杆具有相同的长度并且还承受相同的载荷P.第一根杆具有均匀的直 径d,但其它的杆在其部分长度上具有较大的直径. (6b) 图1-25.例题1. 第一根杆的应变能（根据方程1-16a)为 4=器 式中A=2/4.对于第二根杆，假如每个横截面上的应力分布是均匀的，我 们求出其应变能为 -尘+%器 7P2E. 2E(4A) 16(2EA) a701 16 对于第三根杆，我们求出 0a=E2L/8)+7E/8)=2 2FA 2B(9A) 这些结果的对比说明，应变能是随着杆的体积的增大而减小，因此，在具有 狭槽的杆中，只要用很小量的功就能产生较高的拉应力.当载荷属三动态性 质而吸收能量的能力又是很重要时，知下所述，狭槽的存在是非常有害的.自 然，对于静荷，在设计中重要的是最大应力而不是吸收能置的能力， 作用在杆上的冲击载荷 当处理动态性质的载荷时，应变 ·93·
能的概念颇为有用.此类载荷具有一定的能量，该能量必定转化 为杆中的应变能，或者因杆的塑性变形而耗散.考虑阁1-26所示 的简单装置，作为冲击载荷的一个例子.一个最初处丁静止状态 的重物W,从高为五处落到长为工的杆件下端B处的翼缘上。需 要计算由于冲击所产生的杆的最大伸长量和最大应力、 忽胳冲击过程中的能量损失，并假设下落重物所做的功都转 变为杆的应变能，这样我们便能得到一个近似的解答.这个假设 是保守的，因为实际上一部分能量会耗散掉，而杆的实际伸长量将 小于下面所计算的值. 撞击翼缘之后，重物W继续向下运 动，使杆伸长。由于杆所提供的抗力，重物 减速并很快达到静止，此时杆已经伸长了 8值.在此瞬间，杆的伸长和相应的拉应 力均为最大值.杆立刻又开始缩短，而杆和 重物W的纵向振动也将接着发生.然而， 图1-26。杆上的冲击栽福. 我们可令下落重物所做的功W(亿十8)等于杆的应变能，从而计算 出杆的最大伸长量δ： W(h+)=E489 20 (a) 引进符号δt=W工/BA为由载荷W使杆户产生的静伸长量，解方 程(a),我们求出 8-6t+(⑧a+2h8t)1/A (1-18a) ✉8st十(6+w8/g)/2 (1-18b) 式中v口②gh为重物W在撞击翼缘这一瞬间的速度.这些方程 表明，如果W和工都增帅，或者冲击速度增大，那么伸长量就增 加.它们还表明，如果杆的轴向刚度丑A增大，伸长量则减小 如果高度五与⑧t相比是很大的话，就会得到简化，因为那时 方程(1-18)简化为 8≈(2h8)i-(u26/g)克 (1-19) 假设在出现最大伸长量的一瞬间杆中拉应力的分布是均匀的，我 ◆8●
们便得到下列最大拉应力的近似表达式 --艺/o-((22)》月 由此结果我们看出，下落重物的动能或模量B增加，将引起应力 增大，而棱柱杆体积A工增珈，将使应力减小。这种情况与杆的静 拉伸大不相同，在静拉伸中应力与长度L以及弹性模量丑无关 突加载荷 现在让我们研究冲击时五一0的特定情况，亦即 童物W被突然地置于杆件B端处的翼缘上（图1-26），没有初速 度，虽然在此情祝下杆开始伸长时没有动能，但是该问题与杆承 受静载荷时的问题却火不相同、对于静拉伸我们假设载荷是逐渐 作用的，因而在所作用的载荷与杆的抗力之间总是处于平衡.在 这样的条件下，载荷的动能问题完全不会介入到题目中来.在载 荷突加时，杆的伸长量和杆中的应力在开始时为零，然后，突加载 荷在其自重作用下开始下落.在此运动过程中，杆的抗力逐渐增 加直到它恰好等于W,那时重物的垂直位移为δt.但在此刻，载 荷从位移8st中获得了一定的 动能，因此它继续向下运动，直 B 到它的速度因杆中的抗力而降 到零为止，在此条件下的最大 伸长量可由方程(1-18a)令h =0而得出，因此 图1-37.杆受拉时的载荷-变位图、 828st (1-20) 这就是说，突加载荷由于动态产生的变位等于静荷作用时所得变 位的两倍· 上面关于冲击的讨论是基于这样的假设，即应保持在比例极限之内. 超出此极限，问题就变得更为复杂，因为杆件的伸长量不再与拉力成正比.假 设拉伸图与杆的应变速率无关，冲击中超过弹性极限的伸长量可根据图1一27 所示的静载荷-变位图来确定，对任意假设的最大伸长心1，相应的面积OAB 将给出产生此伸长量听需的功.此功必须等于重物W所产生的功W(十). 此结果是由蓬斯莱得到的（参考文献1-15）。 ●34●
当叩(h+)等于或大于拉伸试验图的总面积OABCD时，下落的物体将使 杆断裂，在某些材料中，包括延性的钢，当杆的应变速率很大时，屈跟点升高， 因此产生断裂所需要的功要比静力试验的略高。 根据这一讨论可知：杆件形状的任何改变会使载荷-变位图的总面积 OABOD减小，也使杆件对冲击的抗力减少.善如，在图1-25b和c所示的 开槽试件中，金属的塑性流动将集中在沟槽处，并且总的伸长蛩和产生断裂 所需之功将比同一图中所示的圆注形杆小得多.这种开槽的试件在受冲击 时非常脆弱，尽管材料本身可能是延性的，但是轻微的冲击就可能产生断裂， 带有铆钉孔或横截面有任何急剧变化的元牛对仲击的抵沆都是同样地脆弱 出此讨论我们还看出，为什么延生材料对忡击载荷的抗力比跪性材料大得 多。对于诡性材料来说，载荷一变位曲线下面的面积要比延性材料的小得多， 即使这两种材料的极限强度可能大致相同。 例题2有一重物W系在一根以等速度向下移动的竖直钢索的下 端，试问当钢素上端突然停住时，钢索中所产生的最大应力是多少？路去钢 索自重 首先我们注意，对于图1-26所示系统导出的公式(1-18)不能用于本例 题。理是前例中的杆件在冲击前的一刹那朱受位力，而布本例题中，缆索 在冲击前承受了拉力W.让我们假设在冲击过程中没有能量损失因而冲击 前该系统的总能量（动能加势能）等于冲击后缆索的最大伸长量为6时的总 能量. 冲击前，此运动着的重物的动能为？2/2g,而它相对于其最低位置的势 能为W(6一8)，这里8为缆索由于重物而产生的静态伸长量。注意8= W工/A,这里工为缆索的长度，A为其轴向刚度。冲击前缆索中的应变 能为AE4/2兀，冲击后，在魏索具有最大伸长量的瞬时，缆索的应变能为 A8/2L,令冲击前后的能量相等，我们得到 W+W(8-d+2 A 8A6的 2 2L 2L 引进关系式W=Aδ/L后，我们从上式得到 Wo 2g D(⊙-) 最后，得到总伸长为 6=6t+ W22工 gEA 而缆索中的最大应力为 ·85◆
(b) 此式中的最后一项与缆索的性质和初速度~有关可能要比1大许多倍。因 此，缆索中的动应力可能比静应力W/A大得多， 与落体甲的质量相比，上述对弹性冲击的讨论，略去了竖直杆或缆索的 质量，并且还假设杆的整个长度内拉应力总是均匀的、更完善的解应计人杆 的质量和纵向应力波的影响（见参考文献1-16和1-17）. 纯剪中的应变能 在一个四边作用着剪力严的立方体中 (图128)所储存的应变能，可以使用简单拉仲时所用的方法予以 计算，在材料变形的过程中，当剪力从零逐渐增大到它的终值V 时，顶面b相对于底面cd沿水平方向移动了距离8.假设材料服 从虎克定律，剪应变Y=8/工与剪应力x一V/A成正比，这里 A为方块顶面的面积.其载荷-变位 图y-8关系)与图1-24b中所示受 拉杆的图形相类似.由剪力V所作的 并以弹性应变能的形式储存起来的功 为 U-V8 (1-21) 2 图1-8.纯剪时的应变能. 回亿Y=δ/工，x=V/A,并使用剪切 虎克定律(s=GY),我们看到8=V工/GA.将这些结果与方程 (1-21)联合，我们得到下列应变能的两个方程 或 G489 2GA 2五 (1-22a,b) 我们用方块的体积A五去除这两个方程，就得到单位体积剪切应 变能的两种表达式： 以= 2G 2-4ya 或 (1-23a,b) 2 在后面第三章中将用这些表达式来求受扭杆的应变能， ·6·