《结构化学 Structural Chemistry》课程教学资源（PPT课件）第二章 原子结构 Atomic Structure

2.1.2单电子原子体系的Schrodinger方程的变数分离1a20a1Ze-120(r,0,g) = Ey (r,0,d)sinaar00r' sin?0 ag?r? sin 004元60ra1a2QZe12μ.20OsingE-(r,0,Φ)= 0aara0r? sin0 a0sin?adh?4元01y(r,0,Φ) = R(r)Y(0,Φ)Y球谐函数R径向函数Raa'yRZe?a2μYdCsingR+RRY-0h?.200drsingaesin00g?dr4元0r2

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 1 sin 2 sin sin 4π Ze r θ r,θ, E r,θ, r r r r θ θ θ r θ ε r                          + + − =           −      ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 sin 0 sin sin 4π 2 Ze r θ r,θ, E r,θ, r r r r θ θ θ r θ ε r                          + + + + =                   ( , ) r, = R(r)Y( , )   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 d d 2 sin 0 d d sin sin 4π Y R R Y Ze r R θ Y E RY r r r r θ θ θ r θ ε r                + + + + =            R 径向函数 Y 球谐函数 2.1.2 单电子原子体系的Schrödinger方程的变数分离

/RY两侧 xr2ayaay1Ze1()sineEh2Ysin0agao4元6rYsinoaoⅡ1βR方程βY方程Y(0,Φ)=00)d(Φ)d'odo0Φdsino-βOdsin? dg?dosine de两侧×sin?/ dod1 d'@singBsinesinedede@ dp?0Il/mm?

两侧 2 r RY 2 2 2 2 0 2 2 2 1 d d 2 d d 4 1 1 sin π si n n si R r Ze r E R Y r r r Y Y Y             + +          −      −     = =    = R方程 Y方程  Y( , )=( )( ) 2 2 2 d d d sin sin d d sin d                + = −   两侧 sin2 /  2 2 2 sin d d sin 1 s n d d d i d                + = −   = m2 = m2

a21a01ZeCdsing(r,0,d)= Ey (r,0,)00arsin a0r?sin?0d2ar24元IZe?dR2μurdE+BR方程h?R drdr4元dosingdsing+βsin?0=m?程0deded@1md dp①方程将三个变量的偏微分方程转换为三个只含单个变量的常微分方程

方程 方程 sin 2 2 sin sin d d m d d             + =   2 2 1 d 2 d m    − = 将三个变量的偏微分方程转换为三个只含单个变量的常微分方程 2 2 2 2 0 1 d d 2 d d 4 R r Ze r E R r r r          + + =       R方程 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 1 sin 2 sin sin 4π Ze r θ r,θ, E r,θ, r r r r θ θ θ r θ ε r                          + + − =           −     

2.1.3 @(方程的解两边同乘@1 d'@d'@m?+m2@=0dg2@ dp?（常系数二阶线性齐次方程）特解： D(p)= AeimgD(g)= Aeimg = D(Φ + 2元)= Aeimgeim2单值条件（周期性边界条件）Aei2mm = cos(2m元)+ isin(2m元)=1(Euler公式）A磁量子数m = 0, ±1,±2, ...isin(m2元)=0 cos(m2元)=1 (megnetic quantum number)A= //2元归一化条件Dm(g)= //2元eim

2.1.3  ()方程的解 两边同乘 (常系数二阶线性齐次方程) 特解： 单值条件(周期性边界条件) 2 2 2 1 d d m    − = 2 2 2 d 0 d m    + = i ( ) e m A    = (Euler 公式) i i i 2π ( ) e ( 2π) e e m m m A A       = = + = ( ) ( ) i2 π e cos 2 π isin 2 1 π m = + = m m cos(m2)=1 isin(m2)=0 m = 0, 1, 2, . 磁量子数 (megnetic quantum number) 归一化条件 i ( ) 1 2π m m e    = A = 1 2π

0。= //2元实数解@=/1/2元ei=/1/2元(cosΦ+isin）复数解@, = /1/2元e-i = /1/2元(cosΦ-ising)% = /1/2(Φ +Φ)= /1/元 cos实数解D =-//2i(@-@_)=/1/元 sinp

0   = 1 2 ( ) i 1 1 2π e 1 2π cos isin     = = + cos 1 1 1     1 2( ) 1 π cos  − = + = sin 1 1 1     1 2 ( 1 i ) π sin  − = − − = 实数解 复数解 1 ( ) i 1 2π e 1 2π cos isin     − − = = − 实数解