1-2最优控制问题的实例 例1.1月球上的软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t),以使飞船在月球表面实现软着陆,要寻求发动 u(r) 机推力的最优控制规律,以便使燃料的消耗为最少 m() 设飞船质量为m(),高度为h(),垂直速度为v(),发 动机推力为u(t),月球表面的重力加速度为常数g。设 V(#) 不带燃料的飞船质量为M,初始燃料的总质量为 h(r) F.初始高度为ho,初始的垂直速度为v,那么飞船的 运动方程式可以表示为: h(t)=v(1) h(0)=h ()=-g a)初始条件 v(0) m() mi()=-k(t) m(0)=M+F 终端条件m()=0 约束条件0≤(t)≤a v(t,)=0 性能指标是使燃料消耗为最小,即J=m(t)达到最大值 我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件,使飞船由 初始状态转移到终端状态,并且使性能指标为极值(极大值)
1-2 最优控制问题的实例 例1．1月球上的软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动 机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设 不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为 F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的 运动方程式可以表示为： = − = − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m t ku t m t u t v t g h t v t 初始条件 = + = = m M F v v h h (0) (0) (0) 0 0 终端条件 ( ) 0 ( ) 0 = = f f v t h t 性能指标是使燃料消耗为最小，即 约束条件 0 u(t) ( ) f J = m t 达到最大值 我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由 初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)
例1-2拦截问题 在某一惯性坐标系内,设拦截器质心的位置矢量和速度矢量为:xLxL 目标质心的位置矢量和速度矢量为:XMxM F()为拦截器的推力 X=X-x L V=x-x 则拦截器与目标的相对运动方程为: X=v 讠=a(t)+ F() m(t F(t 其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度,是已知的。 初始条件为:x(t0)=xv(to)=Vm(t0)=m0 终端条件为:x()=0v(t)任意m()≥m
例1—2拦截问题 在某一惯性坐标系内，设拦截器质心的位置矢量和速度矢量为： L x L x 目标质心的位置矢量和速度矢量为： F(t)为拦截器的推力 M x M x L M L M x = x − x v = x − x 则拦截器与目标的相对运动方程为： c F t m m t F t v a t x v ( ) ( ) ( ) ( ) = − = + = 其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。 初始条件为： 0 0 0 0 0 0 x(t ) = x v(t ) = v m(t ) = m 终端条件为： x(t f ) = 0 v(t f )任意 f me m(t )
从工程实际考虑,约束条件为0≤F()≤mxF() 如果我们既要求拦截过程的时间尽量短,又要求燃料消耗尽量少,则可取性能指标: J=IC+ F(t]dt 为最小 综上所述,所谓最优防天拦截问题,即选择满足约束条件的控制F(),驱使系统从初始 状态出发的解,在某个时刻满足终端条件,且使性能指标为极值(极小值)
从工程实际考虑，约束条件为 0 F(t) max F(t) 如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标： = + f t t J c F t dt 0 [ ( )] 1 为最小 综上所述，所谓最优防天拦截问题，即选择满足约束条件的控制F(t),驱使系统从初始 状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使性能指标为极值（极小值）
1-3最优控制问题的提法 在叙述最优控制问题的提法之前,先讨论一些基本概念。 1:受控系统的数学模型 个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述,即状态方程,其 般形式为 X(t)=f(X(t),l(1)2t) X=[x1,2x2,…,xn]是n维状态向量 u=lu,u 为维控制向量 f(Y(t),u(t),t)为维函数向量 f(X(1)(,t)1「f(x(m),x2()…xn(t),u1()a2()…2(,1) X(t)=f(X(),l(t),)= f2(X()())f(x1(,x2()…x,(1()n2(0)…n() f(X(.())Lf,(x(2x2(O)…x()n(O),n2(2)…a2(.)
1-3最优控制问题的提法 在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。 1：受控系统的数学模型 一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一 般形式为： X(t) = f (X(t),u(t),t) T n X [x , x , , x ] = 1 2 是n维状态向量 T u u u up [ , , , ] = 1 2 为p维控制向量 f (X (t),u(t),t) 为n维函数向量 = = = ( ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ) ( ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ) ( ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ) ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ) ( ) ( ( ), ( ), ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f x t x t x t u t u t u t t f x t x t x t u t u t u t t f x t x t x t u t u t u t t f X t u t t f X t u t t f X t u t t X t f X t u t t n n p n p n p n
2:目标集 如果把状态视为η维欧氏空间中的一个点,在最优控制问题中,起始状态(初 态)通常是已知的,即 X(0)=X(0) 而所达到的状态(末态)可以是状态空间中的一个点,或事先规定的范围内, 对末态的要求可以用末态约束条件来表示 81(x(t),tx)=0 81(x(tr)t)≤0 满足末态约束的状态集合称为目标集,记为M,即: M={x(tr)x(t)∈R",81(x(t,t)=0.82(x(r),t)≤0} 至于末态时刻,可以事先规定,也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定,这时,初态集合可以类似地用初态约束来表示
2：目标集 如果把状态视为n维欧氏空间中的一个点，在最优控制问题中，起始状态（初 态）通常是已知的，即 ( ) (0) X t 0 = X 而所达到的状态（末态）可以是状态空间中的一个点，或事先规定的范围内， 对末态的要求可以用末态约束条件来表示： = ( ( ), ) 0 ( ( ), ) 0 1 1 f f f f g x t t g x t t 满足末态约束的状态集合称为目标集，记为M，即： { ( ); ( ) , ( ( ), ) 0, ( ( ), ) 0} = 1 f f = 2 f f n f f M x t x t R g x t t g x t t 至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示