-6.张成空间交影变数换二满上效差换，便顺序线性关系Jt=βo+Birt1+β2Tt2+et,因此我们把原适的非线性模型化成了线性模型，归1.1.4多个符量的多w式换成推2我们知道，任何具上数都可以用准高阶的多式适逼近：因此，当因变量Y和诸符量之间的关系不是线性关系时，我们可以用多元多“式适近似，有时速逊添满若干符变量的交叉积。例如可能名Y=Bo+βiX1+B2X2+B11X+β22X2+B12XX2+e.母令知口第这样的模型往往”取在化学测程领则的寄聋中，知的是诸符量的一个为E引起合，使顺因变量Y达序最大或最小，这即引起称为响应曲面设计.引进新变量X3=X2,X4=X.Xs=X1X2,上述模型变成了一个线性模型武*，线性模型中载性二性从这我们可以“实质上是就Y关于产知方数β的金关系是线性的投投最后，我们解”二对简归，向。的由适：归，英文为是由regression冬金母金引起英国著名生物学家兼统计学家Galton(高尔顿）在究人即示外升起“时提的，为了究父代与子代身高的关系，Galton收集了1078对父亲及广一子的身高数。用X表示父亲身高，Y表示儿子身高．单位为英寸（1英寸为2.54cm）.将这1078相对（1i，9）相在直角坐纸上，他发取散点图大致呈直线状。也就是说，总的趋势是父亲的身高X增满时，儿子的身高Y也倾向于增满，这与我们的常识是一致的.但是，Galton对数的深分误，发取了一个很有趣的取象一一回归效应，因为这1078个；值的术平值元=68英寸，阵1078个9值的平值为=69英寸，这就是说，子代身高平增满了1英寸：人们符“这样推想，若父亲身高为工，他儿子的平身高大致应为工+1，但Galton的仔细“究所顺“论与此大，径庭，他发取，当父亲身高为72英寸时（请意，比平身高=68迹高)他们儿子平个身高仅为71英寸．不但达不序期的72+1=73英寸，阶阵比父身高低了1英寸个阶过适，若父亲身高为64氮寸（请意，比平身离示=68..办矮），他们儿子平穿高为67英寸，竞比，期的64+1=65英寸高了2英寸，这个取象不是个”的，它阶映了一个一般规律称身高超过平“值元=68英寸的父亲，他们儿子的平身高将低于父亲的平均身高：反之，身高低于平均身高元=68英寸的父亲，他们儿子的平均身高将高于父亲的平均身高：Galton对这个一般结论的解释是：大自然具有一种约束力，使人类身高的分布在一定时期内相对稳定而不产生两极分化，这就是所谓的回归效应。通过这个例子，Galton引进了“回归
· 6 · ✶✸✷✸✹✻✺✽✼✽✾✽✿ ❘ ✙✡ý✝✩✡✧✝❀✡✕❇ú✭✝✮✟✡✠➠ ❝ yt = β0 + β1xt1 + β2xt2 + et , ❙✡❯✡❻✡❼⑥✝û✡◆✡✒✝ï✡✟✡✠✡☛✡☞✝ñ✡❱✡✚✡✟✡✠✡☛✡☞✵ ❨ 1.1.4 ✷➛●✗➜✡✳✡✒✷❀✝⑩ ❻✡❼✡Ï✝❼✕ ➱✝✃✝ü✝ý✡✝☛✡❏✡❑✡▲✡▼✝▼✝✠✡➘✝ë✡✒✷❀✝⑩✡◆✝þ❖ ✵✗❙✡❯✕✗Ñ❙➜✡✳ Y ✭✬þ❦ ➜✬✳✬❫✬ô✬✒➠ ❝➭✬✌✬✟✬✠➠ ❝Ò✕ ❻✬❼❑✬▲✬▼✷❤➾✬✷❀❤⑩✬◆❖✬P✕ ⑥Ò ❑✡Öó ✪✝ÿ✙➴✁ ✗➜✡✳✡✒✁✂✁✄✁☎✵✫♦✡➝ Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β11X2 1 + β22X2 2 + β12X1X2 + e . ⑨✬→✬✒✬☛✬☞✬➫✬➫❤④✬■➎ñ✬✻✬❈✬❉●✬❍✒ù✬ú❫ ❨➁✕ ✗ Ï ✒✬✌✫þ❦ ➜✬✳✬✒✬✍✬➛❤✟ ✯✡✕✫t✭✡❙➜✡✳ Y ➫ ✮❬➔ ✲ ❬Ü ✵ ⑨✡✎❛✝❜✔✡❲ÿ✱✝✆✣❸✝✆✡✑✵ ♣✡q✁✞➜✡✳ X3 = X2 1 , X4 = X2 2 , X5 = X1X2, ý❘☛✡☞✡➜✡❱✡✚✡✍✡➛✡✟✡✠✡☛✡☞✵ ❿⑨✝✏❻✡❼❑✡▲✝✧✝④✡✕ ✟✡✠✡☛✡☞✜❨ õ✟✡✠÷✠✟❯ ♥❂✡ý✡✌✝é Y ➠ ❶✑ Ï✝✒☛ βi ✒ ➠ ❝✌✡✟✡✠✡✒✵ ❬✥❷✥✕ ❻✥❼⑧✄✵✥✍✄✍ õ ✛✿✢÷ ✍✄✲✡✒ ➡ ◆ ✵ õ ✛✿✢÷☛✡✌☞❲ õ regression ÷ ✕ ✌ ➡ ✡✎✍ò❤ó ✸✬✹✻ç✑✏✏✬✑✬✻ç Galton(➘✑✒✑✓) ➎ù✬ú➱ ✎q❤r❛❤❜Ò✑✔④✬✒✵ ❲ ✚ù✡ú✁✕❳✡✐➚ ❳✡➹✡➘✡✒➠ ❝ , Galton ➜✁✖✡✚ 1078 ✇✕✁✗✁✘✗ ✍ ➚ ✒✡➹✡➘✝☛✝❉✵ ▼ X ➷✡➬✕✁✗➹✡➘✡✕ Y ➷✡➬✁✙✡➚➹✡➘✵ ➼✝➙✡❲✡✁✚ (1 ✡✁✚❲ 2.54cm). ❜⑨ 1078 ✇ (xi , yi) ê➎➽✌✛✌✜✄ê✌✢✥ý✥✕ ✃✌✣■✄Ú✄➸✌✤➔✄❹✌✥➽✥✟✁✦✵ Ó é✡✌✥➸✥✕ ✓✥✒✁✧✌★✡✌ ✕✁✗✒✡➹✡➘ X ↕✝✙Ò✕ ✙✡➚✒✡➹✡➘ Y Ó✡Ô✜Õ✣❶↕✝✙✡✕➒⑨✡✐❻✡❼✒➵✁✩✌✡✍❹✒ ✵ ➨✡✌✡✕ Galton ✇✝☛✝❉✡✒✁✪✝◗✡★✡✩✡✕ ✣ ■✡✚✡✍✡➛✡➯⑥✁✫✒✡■✡❅ —— ✛✣✢✡✰✡✱✵ ❙❲✡⑨ 1078 ➛ xi ➧✡✒✝❣✡❋✁✬✝✬✡➧ x¯ = 68 ✡✁✚✕ ✓ 1078 ➛ yi ➧✡✒✁✬✝✬✡➧✡❲ y¯ = 69 ✡✁✚✕❒⑨✡é✡✌✡➸✡✕ ➚ ❳✡➹✡➘✁✬✝✬✝↕✝✙✡✚ 1 ✡✁✚✡✵❒➱✡❼ ➩❧✝❪✡⑨✡→✡❢✝✞✡✕ ➴ ✕ ✗➹✡➘✡❲ x, ✃✁✙✡➚✒✁✬✝✬✡➹✡➘➔✝❹✱✬❲ x + 1, ➨ Galton ✒✁✭➼ù✡ú❮✝✭⑤❡✡✐ ❯➔ ê✌✮✌✯✥✵ ✃✌✣■✥✕ Ñ✕✌✗➹✡➘✥❲ 72 ✡✌✚Ò (✰ ❵✌✱✕➧❻✲✬✄✬✥➹✥➘ x¯ = 68 ✪➘ ), ✃✬❼✒✙✬➚✬❤✬✬➹✬➘✑✳✬❲ 71 ✡✑✚✬✵ ➭✬➨❤➫✬➭✮❤✂✑✴✒ 72+1=73 ✡✑✚✕ ë❤✓ ❻✕ ✗➹✡➘✡â✡✚ 1 ✡✁✚✡✵✫ë✡♠◆✡✕ ➴ ✕✁✗➹✡➘✡❲ 64 ✡✁✚ (✰ ❵✁✱✕ ❻✵✬✝✬✡➹✡➘ x¯ = 68 ✪✁✶), ✃✡❼✁✙✡➚✬✝✬✡➹✡➘✡❲ 67 ✡✁✚✕✸✷✴❻✂✁✴✒ 64+1=65 ✡✁✚➘✝④✡✚ 2 ✡✁✚✡✵ ⑨ ➛✡■✡❅✡➭✡✌✡➛✝❍✡✒✡✕✫✖ë✁✹✚✡✍✡➛✡✍✡Ð✁✺✁✻✡↕❇✎✡➹✡➘✁✼✁✽✁✬✝✬✡➧ x¯ = 68 ✡✁✚✁✾✕ ✗✌✿ ✃✌❀✌✙✥➚✌✾✬✄✬✥➹✥➘✌❁✡â✁❂✕✁✗✾✬✁❃✁❄✌❅✁❆❈❇✌❉✿ ❄✁❅✌❊✁❂✌❋✁❃✁❄✌❅ x¯ = 68 ●✁❍✾✁■✁❏✿✠❑❀✁▲✁▼✁✾❋✁❃✁❄✁❅✁❁✁❅✁❂■✁❏✁✾❋✁❃✁❄✁❅✁❆ Galton ◆✁❖✁P✁◗✁❘✁❙ ❚ ✾✌❯✌❱✌❲✌❳❩❨❭❬❈❪✌❫✌❴✌◗✌❵✁❛✌❜✁❝✿❩❞✁❡✌❢❄✌❅✾✌❣✁❤✌✐✁◗✌❥✁❦✌❧✝♠✵♥✌◆✁♦✌❥✁♣ q✁r✌s✌t✌✉❣✌✈✿ ❖✌✇✌❲✌①✌②✌✾✝③✲④✁⑤✌⑥❆⑧⑦✌✽❖✌P✁⑨✌▼✿ Galton ⑩✌❶✌❷❹❸❺③✲④✌❻
道$1.2.7.公商品销售只排差变保持依次依次小费影数密Y线均值步协维X影性回归系愈告Y=35+0.5X,根变情变排口采朵换估采字母估计性回字母采只区年A本段录次段录增英位个收录录变反快给均维估两计量黑归归系在不字母如影小致况态影香达巷关排变值且量起偏详缩况黑归归系学母如行并客真偏计和复存点中关县算把正点并排五因影统愈下本采性字母表示(1.1.6)或（1.1.8)或（1.1.9)态点个收位口排知变也保悔排变示字母”小？但脖母估计沿费已下实无时要线任何关收比告分模方$1.2严散天小保持本上节的采性字母表示详细的和偏连续、量，量小二来说真含文式度排关养与赖归系表相希，要研究的因.量间化著存本的相的则偏寻量线和非关Y文就阶际示的震示则区的和，量偏示性量，量””示某致如的存本线估致尚式度关益“指小教不泥累表只估致表示偏归两计计因逼如否，便01两计厦具上产把持添情A因逼如的统愈下本统愈学上叫做方函鼻在下卷把性收具上任文把线菲任方表示“本小估致表奈估致表示愈表示，下回交个收销数售统型是含增位拍收即25务估偏因文小计的实回黑任计的总称，其收M况1.2.1单向下(one-wayclassification）表示产某致疾量标函要三致，的如如Y.假函和了本到差，归”统回情温靠县上精票归机误，腰你救兰数多应多费生尔致，物量道生针费合实回童道和.方方增资不笑福归含排情况假费生致愈学下掌握真实致不几计了本态归统任经且发项保腰地精多费，多费第i致的第计R则yijt收Yij质收归方里原归“象i=1.2.3.(1.2.1)j=1,...,n,yij=μ+ai+ej,根根将积将总误估里μ示第i致的如示0方aieij示个收把”测程线”术原收归排真黑领，黑归线别点取应本估计函以用适的因逼（或，因维）只不小计，区不三计归近！都可含个况示积的因维的或甲因单向下比表三计致表示(1.2.1)致，估个似近敬收个帐折描示（或单因逼方下表示），估偏因函只若费成为估小计因逼收回归近比质年代,：表示（1.2.1）收
§1.2 ❼❾❽❾❿❾➀❾➁❾➂ · 7 · ◗✁➃❆✎➄❑ ✾✁➅✁➆✿✎➇✁➈✁➉✁➊✁➋ ▲✁▼❄✁❅ Y ➌✁■✁❏❄✁❅ X ✾✁➍✁➎✁➏✁➐ Y = 35 + 0.5X, ➑✁➒✁➓◗✁➔✁→✁➣✿↔❡❀✁↕✁✇✁➙✁❖✁➔✁→✁➣✁➛✁➜✝③✵④✁→✁➣❆↔➝❪ ✿ ❖✁P✌➍✁➎✝③✵④✌→✁➣✁➞ ❇✑➟❷✑■✑▼❄✑❅❖ t P✑➠✑➡✑♥✑➏✑➏✑➐➤➢➥❫✑❴➤③➥④✑⑤✑⑥✑✾✑◗✑❵✑➦✑➧✑➨✑➩✿ ◆✑➫✑➭✑✾ ♥✑➏✑➏✑➐✿✎➯✑➲✑➳❲✑➵✑➸❆ ➦✑➺✑❲✑➻✑➼➽➭✑P➾❬✸➠➽➡✑✾✑➨➽➩➤➢ ✿ ③➥④➽⑤✑⑥➽➚q➽➪➽➶ ✐ ❆✸➹➸❁ (1.1.6) ➘ (1.1.8) ➘ (1.1.9) ➛✁➜✁➣✁➴✝③✵④✁➷✁➬✿✸➯➙✁◆✁⑥✁✾✁➮➉ ❣✁➱✁➛ ➜✝③✵④✁❣✁➱✿✠q◗✁❥✁✃➝✁❆✠❐ ❸❒③✵④✁❻✠❖✁P✁➃✁❮➄✝❰✵Ï✿✠Ð✁Ñ✁Ò➠ ❉✁Ó✁Ô➌➇✁Õ❆ §1.2 ÖØ×ØÙØÚØÛ❹Ü ✐✌Ý✌Þ✌⑩✌❶✌ß✌➣✌➴à③✲④✌➷✌➬à➢✲áâ①✌➻✌➼✌ß❭❬❈➠✌➡✌◗✌❘✌ã✌ä➳✌➇✌➈❲✌å✌æ✌➠✌➡✌á ç✑èß✑é✑êìë✸ß✑í✑❲✑î✑ï➹➠✑➡✑➌ì❬✸➠✑➡❉✑ð✑ñ✑ò➶ ✐✑ß✑ó✑ô✑➏✑➐❆ ♣✑ê✑Þ✑①Ô ⑩✌❶✌ß✌➷✌➬✌íq✁õá ➑ ß❭❬❈➠✌➡✁❲✌ö✁➴✌➠✁➡✌á⑧❖✌❵✁➠✌➡✁÷✌÷➓ ö✁ø✌❵✁⑤✁⑥✌ß➶ ✐✁➌ ù á ➹♣✌➞Õ✌ú 0, 1 t P✌û❆ ❖✌❵✌➷✌➬✌❲àü✲ýt P✌➘✁➭✌P➹✌þ⑤✌⑥✁❨✌ÿ✁ß✌◗✁❵✌❴✁❝ ❫ ❆↔➹➜✝ü✵ý➹✁þ⑤✁⑥✁ß✁➮➉ ❣✁➱✁✐✁➮➉✂✁Ý☎✄✝✆✂✞✂✟✌❣✁➱✁á↔①➈ ◆✌⑥✂✠✁á ❡✂✡ ❁❖✌❵✌➷✌➬✌➛✌➜☛✞☛✟✌❣✌➱✌➷✌➬❆ ✐✁◗✂☞☛✌✂✍à➢✵á❩↕✁➙✌❖✁❵✌➷✁➬✌➛✁➜☛✎✁➎✂✏➉ ➷✌➬✁á ❖✁❲➹➜➑①✁❣✁➱✁ß✁➅✁➆✁÷✁÷✂✑✁◗✁P✂✒✂✓✂✔✂✕✁ßÐ➎✁♥✂✖✁➐❆ ✗ 1.2.1 ✘☎✙✵❣❢ (one-way classification) ➷✁➬ ✚✐☛✛✡Ô ü✲ý☛✜✌❵☛✢✂✣☛✤✁ø✌❵✂✥✂✦✁ß✌⑤✂✧✁á★✢✌⑤✂✩✌➡✂✪✂✫✌➜ Y . ✬☛✏☛✛✡☛✭ ➄☛✮☛✯Ð➎☛✰❆✲✱✦ ❡✌q✂✳☛✴ ❬✶✵✝✷➄✜✁❵☛✢✝➢✶✸✁◗✌❵✁á✲✹s↕ q✺✳☛✴✸✁P☛✦❡✷ ➄✸✁❵✂✢✁á✎➞✁❴Ð➎✂✏➉✺✻❣✁➱✺✼✺✽✂✾✺✿Ð➨✁➩❆ ✬✺✏✚✐✑◆✺❀✁❵✺✢✺❁✁❴ n P ❡ ✷ ➄ á❃❂ yij ➜✂✷➄✂❄ i ❵✂✢✁ß❄ j P✂✦❡ ß✂✢✁⑤✂❅✁➡✁û✁á✎í yij ➇➓ ö✁➜ yij = µ + αi + eij , i = 1, 2, 3, j = 1, · · · , n, (1.2.1) ❖✂❆ µ ➛✁➜✂❇❋✁❃á αi ➓ ö❄ i ❵✂✢✁ß✁⑤✁⑥✁á eij ➓ ö✂❈✂❉✂❊✂✟✁á✝❋❃û✁➜ 0, ✞ ✟ ➳ ♥✂●✁á❃❍✁➸✂■q ♥✁➏❆ ✐✁❖✁P✂❏✂❑✝➢✵á❃✛✡✂▲✂▼✺◆ß ➹✁þ (➘✁➛➹▼) ➞✁❴✁◗✁P✁á ✱✢✂❖✁á ➑❴✂✜✑P q✁õß✂❖✁❵✁á ➛✁❖✂✜✁P✂❖✁❵✁➜➹▼✁ß✂P❋ ➘ ❸❘◗✂❙✁❻❒á ➷✁➬ (1.2.1) ➛✁➜✂✘☎✙✵❣❢➷ ➬ (➘✂✘➹✁þ✞✂✟✁❣✁➱✁➷✁➬), ❖✁❲➹➜✂✛✡ ➞✁❴ ❸❘✢✂❖✁❻➥❖✁◗✁P➹✁þ✁❆❯❚✁➄✂❱✂❲❂ ❳ á✎➷✁➬ (1.2.1) ➇✂❨➜
.8.平和误模型在致/1100911eil8.....：：:1100Yineinp1010921e21Q1:：:+=.Q20101e2ny2na31001e3131:...e3ny3r无偏X上混表示用yXβ学e分别表上引中的起有淆引2满高资立之似(1.2.2)y=Xβ+e.进投足的学上节古，于的线若际归表示（1.1.8）淆引上情况下，所淆，近H描为适与但尚偏单本依偏使值1学0有X 的,诸只9半计究书，半计X的换描适似描描线?中除用1表有的列论成用种最估，0.黑成用为高儒近似边重边似资适后高说?有的表种最只表X审的，有的般半记1)诸TG>适在对为资后适零里示外其偏中的 小佳效有的重出,(1.2.2)中，rk(x)=3,线半计边似与两車卖偏的为分人表宗的X2半计响质X的？数4.具余白个为两近为想描似定广使满分推(two-way1.2.2classification）表示种中，个半产般写产估字由迹第Y的有使审身诸A学B.半身诸与描英在单似依A有a身诸 B看表计术，身诸B计术身诸A的计果，皆7似似资与种单依似可分此的计术章产的产估字由次由值3立似变(1.2.3)Yij=μ+ai+βj+eij,i=l,...,a,j=1.....b依依身诸A的计术的效有，术均，3.身诸B的计排μ母ai32似似近变反变单如回变无偏与乘为改干荣的效有，1.2.1表示（1.2.3)皆可以eij2变测量这趣写归:给交甲形（1.2.2）的滑引近似式度致恰或顺与子用司商般，的道半计表示佳此具1有淆引(1.2.3)LX单测变后H公花中于有种数密种保程持，阵宇只种，个半司商般书”式售费与中用线，描在品销的称有种响种保的根系称具可以以子回出归菜怎投标区大年在两近费段绿A般实口只量数都但的R计随的位个，大年诉增与为收快在关段变含描公2
· 8 · ❩❭❬❭❪ ➁ ➂❴❫❴❵ y11 . . . y1n y21 . . . y2n y31 . . . y3n = 1 1 0 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 0 0 1 0 1 0 . . . . . . . . . . . . 1 0 1 0 1 0 0 1 . . . . . . . . . . . . 1 0 0 1 µ α1 α2 α3 + e11 . . . e1n e21 . . . e2n e31 . . . e3n . ➄ y, X, β ✻ e ❣✁➺➓ ö✁Ý✂❛✝➢✵ß✂❜✁P☎✙✵➡✁➘❱✂❲á✎í✁Ý✂❝✁➷✁➬✁❫✁❴✂❞✂❛ y = Xβ + e. (1.2.2) ❖ ✻Ý✌Þ✌⑩✌❶✌ß✌➣✌➴à③✲④✌➷✌➬ (1.1.8) ❞☛❛✌Ý☛❡☛❢✌◗☛❣✌á ① q✌õß✌❲✌á ◆ ✚✐✌➨☛❞✌á ✏➉❲ X ß✂❤þ ➞Õ✁ú 1 ✻ 0 t P✁û❆❃✐✂❄◗✂❥✂❦✁á❃✏➉❲ X ß✂❀✁◗✂❥✁◆✁⑥✁◗ ❵✂✢✂❖✁á ❚ ø✂❥✝➢✵ø✁P✂❧✂♠✁❲ 1 ➘✁❲ 0, í➓ ö✁◆✁⑥✁ß✁❖✁P✂✦❡✷ ➄ ❷✁➘✂♥✂✷➄✂♦ ❥✁◆✁⑥✁ß✂♣✁❵✂✢❆ ↕✁✇✁❲✁ä✁á❃✏➉❲ X ➢✵ß✂❤þ xij (j > 1) ➞➓ ö✁❷✁◆✁⑥✁ßÐ➎ ➢✵ø✁P✂◗✂❙✁⑤✁⑥✁ß➶ ✐✁➌ù❆❃q✂r✂s➋ á✎✐ (1.2.2) ➢✵á❃✏➉❲ ß✂t rk(X) = 3, ➑ ÿ ❂ X ß✂❥✁➅ 4, ✛ ✡➛✂✏➉❲ X ❲✂❥✂✉✂t✁ß✁á✎❖✁❲✂✞✂✟✁❣✁➱✁➷✁➬✁ß✁◗✁P✁➦✂✈❆ ✗ 1.2.2 t ✙✵❣❢ (two-way classification) ➷✁➬ ✬✂✏✁✐✁◗✂✇s✁r✁Ð➎✝➢✵á❃①✂②r ❖✂③✁➡✂✪✂✫ Y ß✁❴t P ➹✁þ A ✻ B. ✏ ➹✁þ A ❴ a P✂P❋ á ➹✁þ B ❴ b P✂P❋✁❆ ❂ yij ➓ ö✁✐➹✁þ A ß❄ i P✂P❋ á ➹✁þ B ß❄ j P✂P❋ ❦ s✁rßr ❖✂③✁➡✂❅✁➡✁û❆ í yij ➇ ❣✁❯✁➜ yij = µ + αi + βj + eij , i = 1, · · · , a, j = 1, · · · , b, (1.2.3) ❖✂❆ µ ④✁➜✂❇❋✁❃á αi ➜ ➹✁þ A ß❄ i P✂P❋ ß✁⑤✁⑥✁á βj ➜ ➹✁þ B ß❄ j P✂P ❋ ß✁⑤✁⑥✁á eij ➜✂❈✂❉✂❊✂✟❆⑥⑤✂⑦⑨ 1.2.1, ⑩✁❶✂⑧➝✂❱✂❲❂ ❳ á ➷✁➬ (1.2.3) ↕ ➇✁➈ ❨✂⑨ (1.2.2) ß✂❞✂❛❆ ❖✁P☎⑩✝❶✂❷✂✼✂❸✂❹✂❺ ❆ ❈✺❉✺❻✺❼✺✏➉ ➷✑➬✑↕✑❫✑❴✺❞✺❛ (1.2.3). ➜✑❷✑➚✺❽✺❙✑❯✺✛✡✺✭➄✺❾✺❿Ð➎✑ß✑⑨ ▼ ❆ ✬✂✏✁◗❾✂❿Ð➎✝➢✝➀✂➁✂❦✂✠✁⑩✁❶✂✜✁❵✂➂☎➃✝➄✁❵✁á↔✐✁❨✂➅✂➆✌❵✂➇❉✂➈á➉✓✁❶✂➊✁ÿ ➋➍➌✎✌➎➈➚☛➎➋ ⑧☛➏✌ê☛✠☛➐☛➑✌➔☛➒✌ß☛➄✌❵❆ ✛ ✡✌➇✌➈➙✌❖☛✜✌❵✌ÿ☛➄✌❵☛➇✌ß☛➓☛➔✂→ ➣P☛●✌➔☛➒☛↔☛↕✌✐✌♥õß☛➙☛➛✁á ❐ ❲✂➜☛➝✂➞☛➟➄❽ Ð➎✁ß☛➠✂✠☛➔✂➡☛➢✂✩➳◗✂❣❆ ➜
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§1.2 ❼❾❽❾❿❾➀❾➁❾➂ · 9 · ❷✂➤✂✷✁❖✁◗✂➥✂➦✁á➉✛✡✓✁➙Ð➎ ➄ß✂➠✂✠✁❣⑨❚✂➧ÿ✂➨✌á➉➩✁➵ 5 ➨✁á ❞❀✁◗✁ÿ✂➨✂➠ ✠☛➔☛➡☛➢☛✩✌é✌ê✌Ý✌◗☛❣❆ ✐ Ð➎✂✏➉ ➢✲á↔➙✌❖✁❵✌ÿ✂➨✁➛✌➜✂❻✂❼ (block). ❪☛➫☛➭✌➙☛❀ ◗✂❻✂❼✁❣⑨❚✂➧➫✁ÿ✁ß✂➨✁á↔➛✁➜✂✎✁➎✂✘✂❤❆ ✚❴✂✜✁❵✁ÿ✂➄✂❖✁❵Ô ü✵ý✌á q✂➯✇✁➙✂❀ P✂❻✂❼✁❣⑨✜✁P✂✎✁➎✂✘✂❤❆ ❈✂❉✂❻✂❼✂✏➉Ô ï✁á↔✐✂❀✁P✂❻✂❼✝➢✲á➉❀✁❵✁ÿ✂➄✁❵✌✐✂✸✁◗ P✂✘✂❤✂❡✂❢✁❲✂❈✂❉✁ß❆❭❚✁➄ yij ➓ ö❄ j P✂❻✂❼✁❵❄ i ❵✁ÿ✂➄✁ß✂♣✁P✂✎✁➎✂✘✂❤✁ß✁ÿ ➄ r➡✁á✎í yij ✇✁❴ (1.2.3) ❣✁❯✂❛❆ ❖✁❦ αi ✇✁❲❄ i ❵✁ÿ✂➄ (✱◗✂❙ , treatment) ß✌⑤✌⑥. βj ❲ ❄ j P☛❻☛❼✌ß✌⑤✌⑥❆ ➹➸☛❈✂❉☛❻✂❼☛✏➉ ➷✌➬✁✇✁❲✌◗✁Pt ✙✵❣❢➷✁➬❆ ✐✂✎✁➎✂✏➉ ➢✵á➉❻✂❼✁❲✁◗✁P✂➜✂➲Ô ß✂➳✂➵❆ ➜✁❷✁➫✂➸✂➺✁ß✂✽☛✾➑ ß✌ê✂③✁á➉✛✡ ➭✂➻✁◗✁P✁⑨✁▼❆ ✬✂✏✂✛✡➄ a ❵ ✂➼✂➽✂◗✂☞r ❖✁á ✚✐ Ô ü➥ý✁❖ a ❵ ✂➼ß✂➂ ➾✁❆ ➄ yij ➓ ö❄ i ❵ ✂➼✂➽✂ß❄ j ➒ r ❖✂③✁➡ , αi ➜❄ i ❵ ✂➼ß✁⑤✁⑥❆ ♣✂➚ yij ➇ ❣✁❯✁➜ : yij = µ + αi + eij , i = 1, · · · , a, j = 1, · · · , b. ❖✁❲✁◗✁P✂✘☎✙✵❣❢➷ ➬ ❆ ❐ ❲✁á ➵✂✧✂✛✡❲ ➄ b ➪✂✏✂➶✂➹✂➘✂❅➑✡ ß✂③✁➡✁á➴♣✂➚✁✇✁⑥♦ ➙✁❖ b ➪✂✏✂➶✁ß ✟✂➷✂➬✂➮✁❶✂➹❆ ❖✂❣ b ➪✂✏✂➶✁✇⑨ ❷✂❻✂❼✁á ❖✁❦ yij ✇ ➇➓ ö✁➜ (1.2.3) ß✂❞✂❛✁á➴❋ ➢ βj ❲ ❄ j ➪✂✏✂➶✁ß✁⑤✁⑥❆ ➱❲☎✃✝❽✁Ý✂❝✂❐➹ á✎÷✁÷✂✛✡↕✁➙✑➷✁➬ (1.2.3) ➛✁➜✂❈✂❉✂❻✂❼✂✏➉ ➷✁➬✁á ➯ ➙ αi ✻ βj ❣✁➺✂❒✁➛✁➜✂◗✂❙✁⑤✁⑥✻❻✂❼✁⑤✁⑥❆ ✐✁◗✁❘✁➨✁➩✂❮✁á❾❖t ❵✁⑤✁⑥q❲ õ● s ❰ ß ❆ ✛ ✡✂ÏÔ▼✂◆✂Ð✐✂◗✂❙✁⑤✁⑥✁Ý✁á↔♣✂❻✂❼✁❖✁P➹✁þß✁⑩✂Ñ✌á↔÷✁÷✁❲✁➜✁❷☛Ò✁ÿ✁❣ ➱✂❊✂✟❆✎➝❪✁á✎↕✁❴✁⑨✂❦✁á✎✐✁◗✂☞✂❏✂❑✝➢✵á❃❻✂❼✁⑤✁⑥✁↕➇✁Õ❲✂✛✡①✁➏✂➀✁ß❆ ✗ 1.2.3 ❫✁❴✂Ó✂■✁⑤✁⑥✁ßt ✙✵❣❢➷✁➬ ✐➽⑨ 1.2.2 ➢ á ➹➽þ A ✻ ➹➽þ B ß➽⑤➽⑥➽❫➽❴➇➽➴ ❆✎➹ ➜➽✐➽❣➽❯Ô❛ yij = µ + αi + βj + eij ➢✵á ➹✁þ A ß❄ i P✂P❋✻➹✁þ B ß❄ j P✂P❋ ◆ yij ß✂Õ✂✍✁❲ αi + βj , ➑❲✂❁ ❬➉P❋ ⑤✁⑥❉✻❆➥❐❲✁á➥✐✁◗✂☞Ð✂Ö❏✂❑✝➢✵á➥❖✁❵✁➨✁➩q ❇✁❲⑨✂× ß ❆ ⑨✁➵✁✐✁✈ ✎✁➎✝➢✵á ❚✁➹✁þ A ➓ ö✁✈✁❇⑥✁ß✂Ø✂✩✁á ➹✁þ B ➓ ö✁✈✁❇⑥✁ß Ù ❝✁á t ✼✁◆✁✈✁❇⑥✁ß✂③✁➡✁➘r➡ Y ß✂Õ✂✍✁◗✁❘q❫✁❴➇➽➴ ❆ ➵✂✧✁◆✂❀✁◗✁P P❋ ❼✂➏ (i, j) ➲ ➪ c ✇✂✎✁➎✁á✎❖✁❦✁◗✁P✂➏✂❙✁➷✁➬✁❲ yijk = µ + αi + βj + γij + eijk, i = 1, · · · , a, j = 1, · · · , b, k = 1, · · · , c, (1.2.4) ❖✂❆ γij ➛✁➜➹✁þ A ß❄ i P✂P❋✻➹✁þ B ß❄ j P✂P❋ ß✂Ó✂■✁⑤✁⑥❆ ➑ ß ➋✂✚ ➓☎Ú❷ ➹✁þ A ß❄ i P✂P❋✻➹✁þ B ß❄ j P✂P❋ ◆ yij ß✂✖✂➏✂Õ✂✍✁á ➯✁q❲ αi ✻ βj ß✂Û✂✘✁♥➽ á✸♣✁❲✁➭➋ ❷✁◗✁P✂Ü✁❣❆ ➜✁❷✂Ý✂❝✂✞✁➚✂Þ✂ß✁áà✛✡➙ αi ➛✁➜➹✁þ A ß❄ i P✂P❋ ßÏ⑤✁⑥✁á õ❙✁➛ βj ➜ ➹✁þ B ß❄ j P✂P❋ ßÏ⑤✁⑥❆ ✐✁➷✁➬ (1.2.4) ➢✵á❾◆➹✁þ A ✻ B ß✂❀✁❵✂P❋ ❼✂➏ (i, j), ➲ ➪ò ❅✂✇✁➅➳❲ c, ❖✂❣✁ß✁➷✁➬✁➛✁➜❋✂á➷✁➬ (balanced model). ✐ Ð✂Ö✎✁➎✝➢✵áâ✃✝❽✁❵✁❵ñ✁ò❐ ➹ á ⑨✁➵✂✎✁➎✂✼✂ã➋ ✎✁➎✁á❃✎✁➎✁P✂ä (å✂æ) ç✂è✁á✎➘s✁r✂é✂ê♣✂ë✂ì✁◆✂❀✁❵✂P❋ ❼✺➏ ①✂í✂î✁ßò ❅✁➅✁➆✁P✁➅q ♥✂●✁á✎❖✁❦✁➛✁◆✁⑥✁➷✁➬✁➜➲❋✂áß (unbalanced model)
.10.平和误模型在致广1.2.4有满分推(three-wayclassification)表示进OA给交常式称，中有A,B,C有身诸，存或的计术数分别口a,b,c非间”变在V常式存程换都黑有也均效有，表行身，由的奢次值可分此变关Yijk=μ+ai+B,++eijkl,i=1,...,a,j=1,...,b,k=1,...,c,-1,...,d.依依分别，身诸A的布计术，身诸B的计术学身诸C的排学11似拆似为台根数都d.k效有，熊童术的换种计术道归(i,j,K),称表示、适公在客或递也为实肉台数术”酱常式计术道归j,)称表示nijk，存重在客英变立对为术的重”适与称蚕半量中，有错种半计”半计(latinsquaredesign)，存可以表在H描华芳想资变单粉有满分推装示“所谓数赖）形的存的痪化想”似名为如似想且否用赖他某种赖只换？示”n中换懒矩？似用退化着想描英，进公$t福想目业的，积E公为”个似个变化著想原这变化著想常，ADBcABCDBCABACCDABcABDABC里分别，有学起原化著想为原具1.2.1上逼添123A(1)B(2)C(3)上1B(4)C(5)4(6)2逼A(8)3C(7)B(9)甲里依依常，用有1只有 身诸甲的可以且矩有诸的称2两在原化著想依身A,B,分别、有，身计术,乙的计术，中换的赖单适公似”专，常表121令”（）用装的有计术下，具对矩出9近在资何似以的归(,)：，3=1,2,3)(A,B,C)的1.2.1归是数描描线描性法何数依身诸甲的k23 =下(2,3)= A“用Yijku,表雾晟录设资进重,也用i，β，学分别表，身诸甲7i,,k计术沿的效有，与资录录设与
· 10 · ❩❭❬❭❪ ➁ ➂❴❫❴❵ ✗ 1.2.4 ✜☎✙✵❣❢ (three-way classification) ➷✁➬ ❷✂✼q➝✂ï✂ð✁á ➵✂✧✂✎✁➎✝➢✵❴ A, B, C ✜✁P➹✁þá ➑✡ ß✂P❋ ➅✁❣✁➺✁➜ a, b, c. ➵✂✧➑✡❉✁ð➳♥✁❴✂Ó✂■✁⑤✁⑥✁á❃♣✂➚➹➠✁➡✁ßò ❅✁û➇ ❣✁❯✁➜ yijkl = µ+αi+βj+γk+eijkl , i = 1, · · · , a, j = 1, · · · , b, k = 1, · · · , c, l = 1, · · · , d, ❖✂❆ αi , βj ✻ γk ❣✁➺✁❲➹✁þ A ß❄ i P✂P❋ á ➹✁þ B ß❄ j P✂P❋✻➹✁þ C ß ❄ k P✂P❋ ßÏ⑤✁⑥✁á✎◆✂❽✂❀✁❵✂P❋ ❼✺➏ (i, j, k), ✎✁➎✂➲➪ ✇✁➅➳❲ d, ✱➷✁➬✁❲ ❋☛áß ❆ ➵☛✧✌◆☛P❋ ❼☛➏ (i, j, k) ✎✌➎☛➲➪ ✇✌➅✌➜ nijk, ➑✡✌qÓ ♥☛●✌á❈í✌➷✌➬✌✇✁❲ ➲❋✂áß ❆ ✐✂✎✁➎✂✏➉ ➢✵á➥❴✁◗✁❵✂✏➉ ✄✝ñ✂ò✂✞✂✏➉ (latin square design), ➑➇✁➈ ➓ ö✁➜ ✜☎✙✵❣❢➷✁➬❆ ①✁②✂ñ✂ò✂✞✁á❃ó✁❲➄ n P✂ô✂õ (➘✁➅✂ô) ✕ ⑨ ß✁◗✁P✂✞✂➨❆ ➑ ß✂❀ ➊✂❀✂❥✂ö✂÷ n P✂ô✂õ✝➢✝❀✁P✂ô✂õ✁✃✂ø✁◗✺✇❆ ✃❯❽➝✺ù❲ ➄ñ✂òÔô✺õ✂✕✺❥✑❖✁❵✺✞✺➨ ß✁áú❽✁❲✁á✠➛✂❋✁➜✂ñ✂ò✂✞❆✠➄ã✂✕✂ñ✂ò✂✞✁ßq✁õô✂õ✁ß✁P✁➅✁á✠➛✁➜✂ñ✂ò❃✞✁ß✂û❆ ⑨ ➵✁á A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B D A B C ❣✁➺✁❲✂✜✂û✻❜✂û✂ñ✂ò✂✞❆ ü 1.2.1 ý❭þ❃ÿ 1 2 3 ý 1 A(1) B(2) C (3) þ 2 B(4) C (5) A(6) 3 C (7) A(8) B(9) ➄ ✜ÔûÔñÔò✞ ➇➽➈ ✔Ô✕Ô✜➹➽þßÔ✎➽➎❆ ⑨➽➵➽á✎➙❄ i ➊➽◆➽⑥Ô❽➹➽þ✂✁ ß❄ i P❋ á ❄ j ❥✑◆✑⑥✺❽➹▼☎✄➥ß❄ j P❋ á ➢ð ß✺ô✺õ A, B, C ❣✑➺✑◆✑⑥✺❽➹▼✝✆ ß✺✜✑P✺P❋✑❆ ❖✺❣✑á❃✛✡✇✺✕➋ 9 P✺✎✑➎✑á✎➵➓ 1.2.1. ✞ kij = k(i, j) ➓ ö ✃ ➓ 1.2.1 ✟✁◗✡✠✁❥✁ß☎✃☞☛✂➏ {(i, j) : i, j = 1, 2, 3} ✌✡☛✂➏ {A, B, C} ß✁◗✁◗➟✡✍á✎⑨✁➵ k23 = k(2, 3) = A. ❚✁➄ yijkij ➓ ö ➹✁þ✎✁ →✏✄✝→✑✆✁ß❄ i, j, kij P❋ ❮✁ßò ❅✁û✁á ➄ αi , βj ✻ γkij ❣✁➺➓ ö ➹✁þ✎✁ →✏✄✝→✑✆✁ß❄ i, j, kij P❋ ❮✁ß✁⑤✁⑥✁á✎✐q✁➶✐✂Ó