第二讲球对称分布X~Nn(0, In) =xl
1 第二讲 球对称分布 𝐱~𝑁𝑛 0,𝐼𝑛 ⇒ 𝐱 𝐱 ~𝑈(𝑆 𝑛−1 )
Recap心人类生活在3维空间，只能看到2维；人类难以相像或用语言描述4维及以上空间数学语言（多变量微积分）提供了研究高维空间的工具：心高维几何体上赋予均匀概率分布等价于通常的黎曼积分：几何体上的概率α几何体的体积心当概率计算过于复杂或无法计算时，可采用蒙特卡洛抽样方法进行实验。通过蒙特卡洛实验或概率分布公式，得到了高维球的如下性质：球体的体积大多集中于球表面附近；球体表面积大多集中于赤道附近；n-2维投影-* U(sn-1)→ U(Bn-2)U(S2)）的1维投影均匀分布U(S4)的3维投影均匀分布2
2 人类生活在3维空间，只能看到2维； 人类难以相像或用语言描述4维及以上空间； 数学语言（多变量微积分）提供了研究高维空间的工具； 高维几何体上赋予均匀概率分布等价于通常的黎曼积分： 几何体上的概率 ∝ 几何体的体积 当概率计算过于复杂或无法计算时，可采用蒙特卡洛抽样方法 进行实验。 Recap 通过蒙特卡洛实验或概率分布公式，得到了高维球的如下性质： 球体的体积大多集中于球表面附近； 球体表面积大多集中于赤道附近； 𝑛 − 2维投影 𝑈 𝑆 2 的1维投影均匀分布 𝑈 𝑆 4 的3维投影均匀分布 𝑈 𝑆 𝑛−1 𝑈(𝐵 𝑛−2 )
sn-1上均匀随机点的2维投影点多的地方表示弯曲度较大光线照射时，边缘弯曲处不反光，光线暗淡U(S2)的2维边界处暗淡，中心明亮投影(n = 3)这是现实世界的球。4维球的球面在人类看来U(S3)的2维（即2维投影）处处平坦，投影(n = 4)感觉不到弯曲。圆盘。100维球的球面中心向远离U(S99)的2维我们的方向凹陷（边界处投影(n= 100)明亮，中间暗淡）。碗
3 𝑈 𝑆 2 的2维 投影(𝑛 = 3) 边界处暗淡, 中心明亮， 这是现实世界的球。 4维球的球面在人类看来 （即2维投影）处处平坦， 感觉不到弯曲。圆盘。 100维球的球面中心向远离 我们的方向凹陷（边界处 明亮，中间暗淡）。碗。 𝑈 𝑆 3 的2维 投影(𝑛 = 4) 𝑈 𝑆 99 的2维 投影(𝑛 = 100) 点多的地方表示弯曲度较大. 光线照射时，边缘弯曲处不反光，光线暗淡 𝑆 𝑛−1上均匀随机点的2维投影
贝特朗悸论贝特朗悸论（BertrandParadox）是概率论中一个有趣的现象。对贝特朗同一个几何概率问题，法国数学家JosephBertrand（1822-1900）悖论给出了几个都看似合理但互相冲突的概率计算结果。问题的根源在于对几何体（弦）的概率理解不同，对单位圆内的“随机性或均匀性”做了不同的假设。贝特朗悸论问题通常如下描述：随机选取二维平面上单位圆的一条弦，其长度大于圆内接等边三角形边长V3的概率是多少通常“随机选取”是“均匀、等概率地选取”的意思。比如在圆内“随机选取一个点”实际上是假设选取的点在服从单位圆内的均匀分布。但“随机选取一条弦”的含义不明确，这里选取的是几何体，是点的集合，不同的理解可导致三个不同的计算结果，参见：·苏淳，冯群强（2020）概率论，P29https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)
4 贝特朗悖论 贝特朗悖论(Bertrand Paradox)是概率论中一个有趣的现象。对 同一个几何概率问题，法国数学家Joseph Bertrand（1822-1900） 给出了几个都看似合理但互相冲突的概率计算结果。问题的根源 在于对几何体（弦）的概率理解不同，对单位圆内的“随机性或 均匀性” 做了不同的假设。 贝特朗悖论问题通常如下描述：随机选取二维平面上单位圆的 一条弦，其长度大于 圆内接等边三角形边长 3 的概率是多少？ 通常“随机选取” 是“均匀、等概率地选取”的意思。比如在圆内 “随机选取一个点”实际上是假设选取的点在服从单位圆内的均匀分 布。 但“随机选取一条弦”的含义不明确，这里选取的是几何体，是 点的集合，不同的理解可导致三个不同的计算结果 , 参见： • 苏淳,冯群强 (2020) 概率论，P29. • https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)。 贝特朗 悖论
单位圆内任意一点的极坐标表示：(x1, x2) = (rcos(0),rsin(0)),0 < r ≤1,0 < ≤ 2元下面叙述贝特朗俘论问题的三种解法。解法1：在圆周上随机地选取两个点构成一个短弧，若弧的长度大于2/3，则对应的弦长大于V3。总弧长为2元，故所求概率为2㎡/3=1/3.2元(x1,x2)V3评注：解法1将随机性局限于圆周上，实际上假设了“选取的弦的两个端点服从圆周上的均匀分布”，这等价于（为什么？）“一个端点固定，另一个端点均匀地分布于圆周”：(x1, x2) = (rcos(0),rsin(0)) ~U(s1),这等价于0~U(0,2元), r = 15
5 3 解法1：在圆周上随机地选取两个点构成一个短弧，若弧的长度大于 2𝜋/3，则对应的弦长大于 3。总弧长为2𝜋，故所求概率为2𝜋/3 2𝜋 = 1/3. 评注：解法1将随机性局限于圆周上，实际上假设了“选取的弦的两个 端点服从圆周上的均匀分布”，这等价于（为什么？）“一个端点固 定，另一个端点均匀地分布于圆周”： 𝑥1, 𝑥2 = 𝑟cos 𝜃 , 𝑟sin 𝜃 ~𝑈(𝑆 1 ), 这等价于 𝜃~𝑈(0,2𝜋)，𝑟 ≡ 1 单位圆内任意一点的极坐标表示: 𝑥1, 𝑥2 = 𝑟cos 𝜃 , 𝑟sin 𝜃 , 0 < 𝑟 ≤ 1, 0 < 𝜃 ≤ 2𝜋 下面叙述贝特朗悖论问题的三种解法。 𝑥1, 𝑥2