数 理 22、利用周期冲激序列的傅里叶级数导出 着考处 由式(33.36)知,周期冲激序列δ(m)可展成傅里叶级数,即 (n)=∑O(n-rN) Inkom (6.28) N N 由于周期为N的周期序列x(m)可表示成样值序列x(m)作N点周期 开拓。考虑到式(6.2.8),则有 (n)=x(n)*(n)=∑x(m)6(n-m)=∑x(m)∑em) n=-00 x(m)e imtOo ∑X(Kx (629)
2、利用周期冲激序列的傅里叶级数导出 0 1 1 0 0 3.3.36 ( ) 1 1 ( ) ( ) (6.2.8) ( ) ( ) 6.2.8 () () () ( ) ( ) ( ) N N N jnk nk N N r kk N N m m n n n rN e W N N N xn xn N xn xn n xm n m xm ω δ δ δ δ δ +∞ − − − =−∞ = = +∞ =−∞ =− = −= = = ∗ = −= ∑ ∑∑ ∑ 由式（ ）知，周期冲激序列 可展成傅里叶级数，即 由于周期为 的周期序列 可表示成样值序列 作 点周期 开拓。考虑到式（ ），则有 0 0 0 1 ( ) 0 1 1 0 0 1 1 1 [ ( ) ] ( ) (6.2.9) N jn mk k N N jnk jmk nk N km k e N e xme X kW N N ω ω ω +∞ − − ∞ = − +∞ − − − = =−∞ = = = ∑ ∑ ∑∑ ∑
数 理 着考处 式中 X(k)=X(e)=∑x(m n=-00 ∑∑x(n+ We v(ntrwk2r r=-0n=0 ∑[∑x(n+rN)k r=-00 ∑[x(n)*(n)emk n=0 ∑(n)W (6,2.10)
0 0 0 1 2 ( ) 0 1 2 0 1 0 1 0 () ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) (6.2.10) jk jmk m N j n rN k N r n N jnk N n r N jnk N n N nk N n X k X e xme x n rN e x n rN e xn n e x nW ω ω π π ω δ +∞ − =−∞ +∞ − − + =−∞ = − +∞ − = =−∞ − − = − = = = = + = + = ∗ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 式中
数 理 23、从DTFT的频域抽样导出DFS 着考处 对时域样值序列x(n)舶频谱X(e),在频域上以等 间隔ω进行抽样,则频域样值序列X(k)可表示成 X(k)=X(e°)o=k0o ∑x(n)l-=∑x(m)e n=-00 n=-00 ∑∑x(m+rN)emAk r=-0n=0 ∑[∑x(n+rN)em n=0r=-00 ∑x(n)*(n)e ∑(n)W (6.2.11)
3、从DTFT的频域抽样导出DFS 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 1 0 1 0 () ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] j j jnk jmk k n m N j n rN k r n N jnk n r N jnk N n xn X e X k Xk Xe xne xme x n rN e x n rN e xn n e ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω δ +∞ +∞ − − = =−∞ =−∞ +∞ − − + =−∞ = − +∞ − = =−∞ − − = == = = + = + = ∗ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 对时域样值序列 的频谱 ，在频域上以等 间隔 进行抽样，则频域样值序列 可表示成 1 0 ( ) (6.2.11) N nk N n x nW − = ∑
数 理 着考处 考虑到式(628),则式(6,2.11)中的周期序列(n)可表示成 (m)2=x(n)*S(n)=∑x(m)6(n-m)=∑xm) j(n-m)koo n=-00 n=-00 ∑[∑x(m)m1m=∑ X(e! N n=-00 N (6.2.12) N ∑X(k)WK 式(62.1)表明,在频域上,对序列x(n)的频谱X(e)以o 丌 进行等间隔抽样,则时域上的序列x(n)将按周期N开拓成周期序列x(n)
0 00 00 1 ( ) 0 1 1 0 0 6.2.8 6.2.11 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 1 1 [ () ] ( ) 1 ( ) N jn mk N N m mk N N jmk jnk jk jnk km k nk N x n xn xn n xm n m xm e N xme e X e e N N X kW N ω ω ω ω ω δ δ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ = − +∞ − − = =−∞ = − = ∗ = −= = = = ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ 考 虑 到 式 （ ），则 式 （ ） 中 的 周 期 序 列 可 表 示 成 1 0 0 (6.2.12) 2 6.2.11 ( ) ( ) ( ) ( ) N k j xn X e N x n N xn ω π ω − = = ∑ 式（ ）表明，在频域上，对序列 的频谱 以 进行等间隔抽样，则时域上的序列 将按周期 开拓成周期序列
数 理 着考处 讨论: 若x(m)是n定义在0到M-1点的有限长序列, 即满足x(mn)=x(m)R/(m),则有 (n)=x(n)*Sx(n)=x(n)RM(n)*2S(n-rN 厂=-00 ∑x(n-rN)R/(n-rN) 6.2.13 当且仅当M≤N时,由式(62.13)可得 f(m)R(n)=∑x(n-rN)R(n-rN)R、(n) =-00 x(nR(n(n=x(nRy(n (6.2.14
() 0 1 () () () () () () () () ( ) ( ) ( ) (6.2.13) 6.2.13 () () ( ) M N M r M r N M r xn n M xn xnR n x n x n n x n R n n rN x n rN R n rN M N x n R n x n rN R δ δ +∞ =−∞ +∞ =−∞ +∞ =−∞ − = =∗ = ∗ − =− − ≤ = − ∑ ∑ ∑ 讨论： 若 是 定义在 到 点的有限长序列， 即满足 ，则有 当且仅当 时，由式（ ）可得 ( ) () () () () () () ( ) (6.2.14) N MN M n rN R n xnR nR n xnR n x n − = = =