数 理 1、从CTFT经CTFS到DFS 着考处 对连续时间信号非周期信号x2(t)作周期T的周期开拓 可以得到周期为T的连续时间周期信号x(1,即 xn(O)=x(0)*D()=x()*∑6(-r1) (62.1) 现对周期信号x(1)施行等间隔7的抽样,则样值信号x、()可写成 ()=xn()()=xn()∑6(t-n7) ∑(n)(-m7) (622) n=-0 式中,(m)=x(n7),称(m)为样值序列
1、从CTFT经CTFS到DFS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) () () () () ( ) ( ) (6.2.1) ( ) ( ) () () () () ( ) ()( a T T aT a r a r T s s TT T n xt T T x t x t x t t x t t rT x t rT xt T x t x t x t t x t t nT x n δ δ δ δ δ +∞ =−∞ +∞ =−∞ +∞ =−∞ =∗ =∗ − = − == − = ∑ ∑ ∑ 对连续时间信号非周期信号 作周期 的周期开拓， 可以得到周期为 的连续时间周期信号 ，即 现对周期信号 施行等间隔 的抽样，则样值信号 可写成 0 ) (6.2.2) () ( ) () n T t nT x n x nT x n +∞ =−∞ − = ∑ 式中， ，称 为样值序列。
数 理 着考处 若T=N7(N为正整数),考虑到式(62.1),则 式(62.2)中的样值序列(n)可表示成 x (n)=x,(nT)=2x(nT-rNT x(m)*∑6(n-rN)=x(m)*δ(m)(623) 式中,x(m)=x(m7) 式(62.3)表明,当1=N时,对周期信号xn(t) 施行等间隔T的抽样,则样值序列(m)=x(n7)是周期 为N的周期序列,并且(n)是x(m)=xn(m7)作N点周期开 拓的结果
0 0 0 0 0 6.2.1 6.2.2 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.2.3) () ( ) 6.2.3 ( ) () ( ) T a r N r a T T T NT N x n x n x nT x nT rNT x n n rN x n n x n x nT T NT x t T x n x nT N δ δ +∞ =−∞ +∞ =−∞ = == − = ∗ −= ∗ = = = ∑ ∑ 若 （ 为正整数），考虑到式（ ），则 式（ ）中的样值序列 可表示成 式中， 式（ ）表明，当 时，对周期信号 施行等间隔 的抽样，则样值序列 是周期 为 的周期序 () () ( ) a 列，并且 是 x n x n x nT N = 作 点周期开 拓的结果
数 理 着考处 由式(247)知道,周期信号x2(t)可展成傅里叶 级数(CTFS),即 x(1)=x2(1)*n(t)=∑X(kg20)ey (624) 由式(24.8)知道,周期信号x()傅里叶级数的 系数或周期信号的频谱为 +∞ o+70 X(k0) x,(re J/store ()eodt(625)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4.7 ( ) () () () ( ) (6.2.4) 2.4.8 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) (6.2.5) T jk t T aT k T t T jk jk t a T t x t x t x t t Xk e x t X k x e d x t e dt T T τ δ τ τ +∞ Ω =−∞ +∞ + − Ω − Ω −∞ =∗ = Ω Ω = = ∑ ∫ ∫ CTFS 由式（ ）知道，周期信号 可展成傅里叶 级数（ ），即 由式（ ）知道，周期信号 傅里叶级数的 系数或周期信号的频谱为
数 理 着考处 考虑到式(624),并注意到=N,则式(622)中的样值 序列x(n还可表示成 (n)=x1(n7)=x()mn=∑X(k9203Mm=∑X(me2 j2zmnT/To -00 n=-0 ∑X(mng2k 2mn ∑∑X(k+rN20k 2z(k+rN)n/N m=-0 =-0 ∑{∑NI(k+rN)glet N ∑X(kw-DFS[(k) N 式中 2I/N, W=e yzm
0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2( ) 0 0 0 0 6.2.4 6.2.2 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) [( ) ] 1 { [( ) ]} jk nT j mnT T T Tt n T k m N j mn N j k rN n N m r k k r T NT x n x n x nT x t X k e X m e Xm e X k rN e NX k rN N π π π +∞ +∞ Ω = =−∞ =−∞ +∞ +∞ − + =−∞ =−∞ = +∞ = =−∞ = == =Ω= Ω = Ω = +Ω = +Ω ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 考虑到式（ ），并注意到 ，则式（ ）中的样值 序 列 还可表示成 0 0 1 0 1 0 2 0 1 ( ) = [ ( )] (6.2.6) 2 N jkn N nk N k j N j N e X kW X k N NW e e ω π ω ω π − − − = − − = = == ∑ ∑ IDFS 式中，
数 理 着考处 考虑到式(62.5)及式(246),并再次注意到T=MT,则式(626中 的X(k)可表示成 R(6)=∑Nk+AN2=N∫2x1(=团 N N--)T =2x1()a(-m)=∫2∑x,(m)e ∑(m)~∫x28(-m)M=∑0)W)=D627 式(626)称为周期序列(n)的傅里叶级数(DFS)式,也称为频谱X(k)的 逆变换公式,式(62.7)称为周期序列(n)的傅里叶级数式的系数计算公式,也 称为周期序列(n)的频谱X(k)的计算公式
0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 0 0 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 0 2 2 6.2.5 2.4.6 6.2.6 ( ) 1 ( ) [( ) ] [ ( ) ] 1 () ] () [ T T j k rN t T T r r T j k rN t T N T jk t jr T NT T T T T r T NT X k X k NX k rN N x t e dt T N x t e dt x t e e T T π π π +∞ +∞ − −+Ω − =−∞ =−∞ +∞ − − − + − − − − =−∞ = = + Ω= = = ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ 考虑到式（ ）及式（ ），并再次注意到 ，则式（ ）中 的 可表示成 0 0 0 1 1 2 2 () () 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2 0 ] ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] (6.2.7) 6.2. t T r NT NT jk t jk nT NT NT T T T T n n N jkn N T N nk T N T n n dt x t e t nT dt x nT e t nT dt x nT e t nT dt x n W x n π π π δ δ δ +∞ =−∞ +∞ +∞ − − − − − − =−∞ =−∞ +∞ − − − − =−∞ = = − = − = − = = ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∫ DFS 式（ 6 () () 6.2.7 ( ) () () x n X k x n xn X k DFS ）称为周期序列 的傅里叶级数（ ）式，也称为频谱 的 逆变换公式，式（ ）称为周期序列 的傅里叶级数式的系数计算公式，也 称为周期序列 的频谱 的计算公式