由①得,V(x+1)2+y2·√(x-1)2+y2=√(x+1)2+y2+V(x-1)2+y2=4③ 联立②、③可得,√(x+1)2+y2=y(x-1)2+y2=2 x=0,y=±√3,显然满足H点的轨迹方程+y=1, 故存在点H(0,±3),使1 成等差数列。 HP PO|HQI 类型5求相关量的取值范围 例12.给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的线1与C相交于A、B两点,且 FB=AAF∈[49],求1在y轴上截的变化范围。 思路:设A、B两点的坐标,将向量间的共线关系转化为坐标关系,再求出1在y轴上的减距,利用 函数的单调性求其变化范围。 解:设A(x1y1),B(x2,y2),由FB=元AF得,(x2-1,y2)=(1-x1,-y1),即 1=A(1-x1) 由②得, y2=4x,y2=4x2,x2=2x1③。联①、③得,x2=。 而λ>0,∴B(A,2√4),或B(,-2√),当直线1垂直于x轴时,A=1,不符合题意。 因此直线1的方程为(-1)y=2A(x-1)或(2-1)y=-2A(x-1) 2√,2√元2 直线1在y轴上的截距为或 由 知 在x∈[4,9]上递减的, 元-1-1√+1√2-14-1 2√44 所以 4-1332-14 于是直线l在y轴上截距的变化围是 例13.双山线C =1(a>0.b>0的右顶点为A,x轴上存在一点Q(2a,0),若C上有在 点P使P⊥PQ,求离心率的取值范闱
解:∵PA⊥PQ.P点的轨迹方程为x-3a+ 即y2=-x2+3ax-2a2(x≠a且x≠2a)。由 消去y得 y2=-x2+3ax-2a (x2+3ax-2a2)-a2b2=0Ba2+b2)x2-3ax+2n4-a2b2=0 (x-alla2+b2kx-a2a2-b2=0,x+a,x a(2a2-b2)a(3a2 P在双曲线x a2b1的石支上,…x>a.、(3-1>a,解得1e< 例14.A,B是抛物线y2=2Dx(p>0)上的两点,满足OA⊥OB(O为坐标原点),求证:(1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值:(2)直线AB经过一“定点。 分析:(1)设A(x2,y),B(x2,y2),则y2=2px,y2=2pr2→(vy2)2=4p2x1x2 又由OA⊥OB→O4·OB=0→xx2+y1y2=0→x1x2=4P2,yy2=-4p2 (2)y2-y2=2p(x1-x1)→K=当-y=2p x1 y1+y2 2 2 直线AB的方棵为y-y 2p (x-x1)→y pr V, t y3 Vi+V2 V1+ y2 2p yf-2px,+yy, 2, (x-2p),故直线过定点(2D,0)。 V1+y y1+y2 几+y2 式5:面积问题 例15.已知椭圆C:+2=1(a>b>0)的离心率为。,短轴个端点到右焦点的距离为v3。 (I)求椭圆C的方程 (Ⅱ)设直线1与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线1的距离为,求△AOB面积的最大值。 2
解:(I)设椭圆的半焦距为c,依题意c√6 ,∴b=1,∴所求椭圆方程为 (Ⅱ)设x,y),B(x,y2)。(1)当AB⊥x轴时,|A=√3。(2)当AB与x轴不垂直时, 设直线AB的方程为y=kx+m。由已知_ 得 把y=kx+m代入椭圆方稈,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, 6/m x1+x2 3(m2-1) 3k JAB=(1+k')(x2 3k2+ x)=(1+k2) (3k2+1)23k2+1 12(k2+1)3k2+1-m)=3(k2+1)9k2+13+9k+6k+19k+F+6 12k 12 (3k2+1)2 3 (3k2+1) (k≠0)≤3+ 当且仅当9k2k=±y时等号成立。当k=0时,|AB=√3, 综上所述AB ∴当AB最大时,△AOB面积取最大值S=×AB nax 例16.已知椭圆C:x+y=1a>b>0的离心率为6,短轴个端点到右焦点的距离为√3(1)求椭 员C的方程;()设直线1与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线1的距离为一,求△AOB面积的 最大值. 解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意a-3:b=1,∴所求椭圆方程为x+y2=1 (Ⅱ)设4(x,y1),B(x,y2).(1)当AB⊥x轴时,AB=3.(2)当AB与x轴不垂直时
设直线AB的方程为y=kx+m.由已知 得m2=-(k+1) 1+k22 把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, +x232+112÷3(m2 AB=(1+k2)(x2-x)2=(+k2) 36k2m212(m2-1) 3k2+1 (3k2+1)23k2+1 12(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)9k2+1) (3k2+1)2 (3k2+1) 12k2 (≠0)≤3+12 4 +6k2+1 9k2++6 2×3+6 k2 当R仪当93F2即k=±Q时等号成立.当k=0时,148=√3,综上所述ABl=2 当|AB最人时,△AOB面积取最人值S=×1AB4x3= 例17.已知椭网+2=1的左、石焦点分别为F,F2.过F的直线交椭网于B,D两点,过F的 直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(1)设P点的坐标为(x0),证明:少<1: (Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值 解:(1)椭圆的半焦距c=3-2=1,由AC⊥BD知点P在以线段FF2为直径的圆h,故x2+y2=1, 所以,2+7“×y=<1.(Ⅱ)(i)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1), 代入椭圆方程 1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x,n),D(x,y2),则 6k2 3k2+2 3k2-6 BD=√+k-x|=√u+)(+x)-4 43(k2+1) 3k2+2