上海交通大学管理学院：《金融市场技术分析》课程PPT教学课件（金融衍生产品概论）第三讲 资产价格的动态过程

对数正态分布 收益率服从正态分布 股价非负△S/S服从N(△,o√△) 股价服从对数正态分布 hnS(t+△) 服从 N(=2 a2)△t+hS(t),a√△)

7 对数正态分布 • 收益率服从正态分布 – 股价非负 • 股价服从对数正态分布 S / S服从N(t, t) ) ln ( ), )) 2 1 (( ln ( ) 2 N t S t t S t t −  +  +     服从

ITO定理 若标的资产价格满足: dx=adt + bdw 则衍生资产价格满足: df =(a 1x202f ++b Of ax at 2 X2 )dt +bdw aX

8 ITO定理 dW X f dt b X f b t f X f df a f dX adt bdW X   +   +   +   = = + ) 2 1 ( 2 2 2 则衍生资产价格 满足： 若标的资产价格 满足：

ITO定理的证明 根据 Taylor展开式 △f=f(X+△x,t+△t)-f(X,t) of f △X+△t+ af △X2+ af △t2)+ af △X△t+ aX 2 aX 2 aXat af af 112 af aX at 2 aX2 )△t+bE√△t+o(△) aX 因为 dw=avdt dw= dt

9 ITO定理的证明 ) ( ) 2 1 ( ( ) 2 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t o t X f t b X f b t f X f a X t X t f t t f X X f t t f X X f f f X X t t f X t  +     +   +   +   =   +     +    +    +    +   =  = +  +  −   • 根据Taylor展开式 • 因为 dW = dt dW = dt 2 

对数正态分布的形式证明 根据ITO定理 2 of 1 af 1 0 as S aS 2 25 at =( 2 )at + odw 2

10 对数正态分布的形式证明 df dt dW t f S S f S S f f S =  −  + =   = −   =   = ) 2 1 ( , 0 1 , 1 ln 2 2 2 2 • 根据ITO定理