教案第三章守恒定律 =3.7×10°m/s,a=4033(此处讲解一下云雾室照片)。 例题：如图所示，设炮车以仰角q发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m,炮弹的 出口速度为，求炮车的反冲速度V。炮车与地 面间的摩擦力不计。 解：把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在 竖直方向上的外力有重力G和地面支持力N 而且G=-N,在发射过程中G=-N并不成立 (想一想为什么？)，系统所受的外力矢量和不 为零，所以这一系统的总动量不守恒。经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ū，按速度变换定理为：u=v+了 它的水平分量为：4，=vcos0-V 于是，炮弹在水平方向的动量为mvcos q-八，而炮车在水平方向的动量为MW。根据动量 守恒定理有： -MW+mvcos0-V）=0 由此得炮车的反冲速度为： V-mMcos0 S3系统内质量移动问题The systems with variable mass 1.火箭运动的微分方程 火箭在飞行中由于燃料而排出气体，使其质量发生流动，是质点系动量定理和动量守 恒定律应用的实际例子，是变质量的动力学问题。 设火箭在1时刻总质量为M,速度为，在1到1+的时间内，在质量为dm的燃料变 成气体，并以相对箭体为u的速度向后喷出，而火箭质量减为M-dm,速度增加为+， 则1时刻和1+山时刻系统的总动量分别为： P(t)=Mv P(t+dt)=(M-dmv+dv)+dmv+dv-u) 43
教案 第三章 守恒定律 43 v m s He 3.7 10 / 5 = ， 40 33 ＝ （此处讲解一下云雾室照片）。 例题：如图所示,设炮车以仰角 q 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为 M 和 m，炮弹的 出口速度为 v，求炮车的反冲速度 V。炮车与地 面间的摩擦力不计。 解：把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在 竖直方向上的外力有重力 G 和地面支持力 N , 而且 G = −N ，在发射过程中 G = −N 并不成立 （想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不 为零，所以这一系统的总动量不守恒。经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 u ，按速度变换定理为: u = v +V 它的水平分量为: ux = v cos −V 于是，炮弹在水平方向的动量为 m(vcos q-V)，而炮车在水平方向的动量为-MV。根据动量 守恒定理有: − MV +m(vcos −V) = 0 由此得炮车的反冲速度为: v cos m M m V + = §3 系统内质量移动问题 The systems with variable mass 1．火箭运动的微分方程 火箭在飞行中由于燃料而排出气体，使其质量发生流动，是质点系动量定理和动量守 恒定律应用的实际例子，是变质量的动力学问题。 设火箭在 t 时刻总质量为 M，速度为 v，在 t 到 t+dt 的时间内，在质量为 dm 的燃料变 成气体，并以相对箭体为 u 的速度向后喷出，而火箭质量减为 M-dm，速度增加为 v+dv， 则 t 时刻和 t+dt 时刻系统的总动量分别为： P(t) = Mv P(t + dt) = (M − dm)(v + dv)+ dm(v + dv −u) v m M o x
教案第三章守恒定律 略去小量dmd,可得系统动量的增量为 dP P(t+dt)-P(t)=May-udm 一般来讲，火箭所受外力为重力（万有引力）和空气阻力。设其合外力为F,则根据动量 定理得： F=dp d 由于单位时间内从火箭喷出气体得质量等于火箭减少得质量，即： -d dt d 有=w会兴送程就去持了个 山为发动机得推力，移项后为 d F一告-密健货为 dt dt 这就是火箭运动的微分方程。可见要获得较大的推力，必须有较大的喷气速度和喷气流量。 典型数值如下： u-2.94×103m/s, dt 产生的推力为4.06×107N 2.火箭运动的速度公式 在重力场中，忽略空气阻力，且记为g不变，则由其微分方程得： -儿告 M=v-Yo -g-whM 三+u血7-3（在重力场中，w可 若火箭飞行于星际空间，则无外力作用。同理可得： 44
教案 第三章 守恒定律 44 略去小量 dmdt ，可得系统动量的增量为 dP = P(t + dt)− P(t) = Mdv −udm 一般来讲，火箭所受外力为重力（万有引力）和空气阻力。设其合外力为 F，则根据动量 定理得： dt dm u dt dv M dt dP F = = − 由于单位时间内从火箭喷出气体得质量等于火箭减少得质量，即： dt dM dt dm = − ∴有 dt dM u dt dv F = M + （这样就去掉了小 m） dt dM u 为发动机得推力，移项后为 dt dv M dt dM F − u = （注意 dt dM 为负值） 这就是火箭运动的微分方程。可见要获得较大的推力，必须有较大的喷气速度和喷气流量。 典型数值如下： u 2.94 10 m/s 3 = ， kg s dt dM dt dm 1.38 10 / 4 = − = 产生的推力为 4.06×107N。 2．火箭运动的速度公式 在重力场中，忽略空气阻力，且记为 g 不变，则由其微分方程得： dt dv M dt dM − Mg − u = − − = M M v v t dv M dM gdt u 0 0 0 0 0 ln v v M M − gt − u = − gt M M v = v + u − 0 0 ln （在重力场中，v0=0） 若火箭飞行于星际空间，则无外力作用。同理可得：
教案第三章守恒定律 =Yo+uh Mo M 称为火箭得质量比。可见yx和丛，液氧和液氢的M可达到4.1k如s。但燃烧 M M 温度达到4000℃C,这给材料选取带来了困难。目前 。可做到15，在这种情况下，单级 M 火箭的末速度可达到11km/s。实际上由于重力和空气阻力的影响，只能达到7km/s,还 小于第一宇宙速度7.9km/s。因此用单级火箭还不能把卫星送入轨道。 为了得到较大的速度，就需要多级火箭。设各级火箭的质量比和喷气速度分别为 N,N2…Nn,4,42…4n。则有 v=uI N y2-y1=2hN2 V-V-=u I N 最终达到的速度为：”。=∑4hN, 由于技术上的原因，现在一般为三级。 美国“阿波罗”登月飞船“土星五号”的数据为： u=2.9km/s,N=16 u2=4 km/s; =14 us=4 km/s; Ns=12 末速度=28kms(理论值) 起飞质量约：2.8×10kg 高约85m 起飞推力：3.4×107N。 我国长征三号火箭： 三级火箭，全长43.35m,起飞质量2.02×10kg,起飞推力2.74×10N。 45
教案 第三章 守恒定律 45 M M v v u 0 0 = + ln M M 0 称为火箭得质量比。可见 v u 和 M M 0 ，液氧和液氢的 u 可达到 4.1 kms-1。但燃烧 温度达到 4000 C，这给材料选取带来了困难。目前 M M 0 可做到 15，在这种情况下，单级 火箭的末速度可达到 11 km/s。实际上由于重力和空气阻力的影响，只能达到 7 km/s，还 小于第一宇宙速度 7.9 km/s。因此用单级火箭还不能把卫星送入轨道。 为了得到较大的速度，就需要多级火箭。设各级火箭的质量比和喷气速度分别为 N1 N2 Nn u1 u2 un , , , 。则有： 1 1 1 v = u ln N 2 1 2 2 v − v = u ln N n n un Nn v − v −1 = ln 最终达到的速度为： = = n i n ui Ni v 1 ln 由于技术上的原因，现在一般为三级。 美国“阿波罗”登月飞船“土星五号”的数据为： u1=2.9 km/s; N1=16 u2=4 km/s; N2=14 u3=4 km/s; N3=12 末速度 v3=28 km/s（理论值） 起飞质量约：2.8×106 kg 高约 85 m 起飞推力：3.4×107 N。 我国长征三号火箭： 三级火箭，全长 43.35 m，起飞质量 2.02×105 kg，起飞推力 2.74×107N