沈阳师范大学：《电动力学》课程教学资源（教案）第四章 电磁波的传播

s4.2电磁波在介质界面上的反射和折射教学目标：1.理解电磁波在理想介质界面上遵循的反射、折射定律和菲涅尔公式；2.会利用电磁场边值关系推导反射、折射定律和菲涅尔公式：3.发展利用场方程和边值关系解决实际电磁波传播问题的思想；4.了解电磁波的反射和折射在实际工程中的重大应用如光缆等。课程思政：激发爱国情怀，民族自信心，自豪感，电磁波的传播是实际社会生产生活中的重要问题，物理师范生应深入进行理论学习、深刻理解技术应用和发展，提升责任感和使命感。教学时长：2学时教学重点：反射和折射定律、菲涅耳公式。教学难点：利用电磁场边值关系推导反射和折射规律。教学方法：讲授法、讨论法、演示法。教学内容：电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象（如光入射到水面、玻璃面)。反射、折射定律有两个方面的问题1.入射角、反射角和折射角之间的关系问题；2.入射波、反射波和折射波振幅和位相的变化关系。反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论导出反、折射定律，间接证明麦氏方程的正确性

§4.2 电磁波在介质界面上的反射和折射 教学目标： 1.理解电磁波在理想介质界面上遵循的反射、折射定律和菲涅尔 公式； 2.会利用电磁场边值关系推导反射、折射定律和菲涅尔公式； 3.发展利用场方程和边值关系解决实际电磁波传播问题的思想； 4.了解电磁波的反射和折射在实际工程中的重大应用如光缆等。 课程思政：激发爱国情怀，民族自信心，自豪感，电磁波的传播是实 际社会生产生活中的重要问题，物理师范生应深入进行理论学习、深 刻理解技术应用和发展，提升责任感和使命感。 教学时长：2学时 教学重点：反射和折射定律、菲涅耳公式。 教学难点：利用电磁场边值关系推导反射和折射规律。 教学方法：讲授法、讨论法、演示法。 教学内容： 电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象(如光入射到 水面、玻璃面)。 反射、折射定律有两个方面的问题： 1.入射角、反射角和折射角之间的关系问题； 2.入射波、反射波和折射波振幅和位相的变化关系。 反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场理论 导出反、折射定律，间接证明麦氏方程的正确性

一、反射和折射定律由电磁场的边值关系nx(E, -E)=0nx(H,-H)=dn.(D,-D)=0n.(B,-B)=0对于绝缘介质α==0，故[nx(E, -E))=0[nx(H, -H,)=0（1）仅讨论单色平面电磁波入射问题反射、折射电磁波也为平面电磁波，设z<0为介质①，=>0为介质②，平面电磁波由①→②，介质分界面设为无限大平面，法线为n:①→②。（2）设入射、反射和折射电磁波的电场强度分别为E、E'和E"，波失分别为k、k和k"，它们与轴夹角分别为e、e'和e"，则有：E=E,e(k-an)E'= Eve(es-a)E"-Ege-an)下面讨论t=t.时刻的情况。（3）波矢量分量间的关系：[k=k=k'[k,=k,=k,’并且k、和k"在同一个平面内（k、k和k一般不相同）。证明：

一、反射和折射定律 由电磁场的边值关系 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 n E E n H H n D D n B B    − =  − = −=  − = 对于绝缘介质  = = 0 ，故 ( ) ( )     − =  − = 0 0 2 1 2 1 n H H n E E       （1）仅讨论单色平面电磁波入射问题 反射、折射电磁波也为平面电磁波，设 z  0 为介质①，z  0 为 介质②，平面电磁波由 ① → ② ，介质分界面设为无限大平面，法线 为 n :  ① → ②。 （2）设入射、反射和折射电磁波的电场强度分别为 E  、E  和 E  ，波 矢分别为 k  、k   和 k   ，它们与轴夹角分别为  、 和   ，则有： ( ) ( )  ( )      =   =  =  −  −  − i k x t i k x t i k x t E E e E E e E E e                0 0 0 下面讨论 0 t = t 时刻的情况。 （3）波矢量分量间的关系：    =  =  =  =  y y y x x x k k k k k k ， 并且 k  、k   和 k   在同一个平面内（ z k 、 z k 和 z k  一般不相同）。 证明：

由n×(E,-E)=0,且E,=E"，E,=E+E所以 nx(E+E)=nxE",即nx(Bgekx +Blex*)=nxEgen*。在界面上=0，x、任意，nxEekky)+nxBep)=nxEge(e+s)两边除以e)，得xBel(-)x-(-)+xge(-)(-5)=x两边对x求偏导得[()e(k-)+k-xE=-[( -)e(-段)(-5)x则有(k -k)nxE=-(k -k)(nxE)el(-k)+(y-)因为x，y任意，要使上式成立，只有k=k，k=k。同理，可以证明k,=k,=k,。设入射波在x-2平面，因为k,=0，必有k'=k=0，反射、折射波矢也在x-z平面。（4）波矢与=轴夹角之间的关系对于z=0，有k,=0；k,=ksin,k'=k'sin"，k"=k"sine"设v、v为平面电磁波在两种介质中的相速，且k=k'=-，"=VV2因为k=k，故0=0'反射定律k=k'ksin=k'sinの

由 n E E  − = ( 2 1 ) 0 ，且 E = E   2 ，E = E + E    1 所以 n  (E + E) = n  E      ， 即 ( ) ik x ik x ik x n E e E e n E e                +  =   0 0 0 。 在界面上 z = 0，x、y 任意， i(k x k y) i(k x k y) i(k x k y) x y x y x y n E e n E e n E e +  +   +   +   =   0 0 0       两边除以 i(k x k y ) x y e  +  ，得 0 [( ) ( ) ] 0 [( ) ( ) ] n E0 e n E e n E i k k x k k y i k k x k k y x x y y x x y y  +   =   −  − −   −  −  −        两边对 x 求偏导得 i k k e n E i k k x k k y x x x x y y   −   −  + −  [( ) ] [( ) ( ) ] 0 [( ) ( ) ] i[(k k )e ]n E i k k x k k y x x x x y y = −  −     −  +  −    则有 [( ) ( ) ] 0 0 ( ) ( )( ) i k k x k k y x x x x x x y y k k n E k k n E e  − +  − −   = −  −       因为 x，y 任意，要使上式成立，只有 x x k = k， x x k = k。 同理，可以证明 y y y k = k = k。 设入射波在 x − z 平面，因为 ky = 0 ，必有 k y = k y  = 0 ，反射、折射 波矢也在 x − z 平面。 （4）波矢与 z 轴夹角之间的关系 对于 z = 0，有 ky = 0 ； kx = k sin ，k = ksin  x ，k = ksin x 设 1 v 、 2 v 为平面电磁波在两种介质中的相速，且 1 v k k  =  = ， 2 v k   = 。 因为 x x k = k ，故 k sin = ksin k = k  =  反射定律

ksin=k"sing"sinE=nai="sing"2eV61n,所以折射定律n, sing= n, sing"相对折射率na,为6、6,的函数（取μ~μ）。二、振幅和位相的关系1.EI入射面（x--平面）E=EI(E,=0)假定：E1x-平面向外（沿e的反向），并设E'，E"与E同方向，则H、H、H"方向同时确定，由边界条件：nx[E"-(E+E')]=0nx[H"-(H+H)]=0可得E'= E, +E!H'= H, + H'@[E"=E+E'且②H"coso"-Hcosa-H'coso'又因为E1BVeEE即B=usE，而B=uH，所以有H=Vu代入②式，并考虑=，所以μ=μ，介质1用，介质2用，9=0"，则得到：③eEcoso-e,E'cos@=e,E"coso

k sin = ksin 1 2 21 1 2 1 1 2 2 2 1 sin sin n n n v v = =  = =          所以 sin = sin n1 n2 折射定律 相对折射率 n21 为 1  、 2  的函数（取    0 ）。 二、振幅和位相的关系 1．E ⊥  入射面（ x − z 平面） E = E⊥   ( 0) E|| =  假定： E ⊥ x − z  平面向外（沿 y e  的反向），并设 E  ，E  与 E  同方向， 则 H H H    、 、 方向同时确定，由边界条件：      − +  =   − +  = [ ( )] 0 [ ( )] 0 n H H H n E E E         可得 t t t t t t H H H E E E  = +   = +  且      = −    = +  H θ H θ H θ E E E cos cos cos ② ① 又因为  1 = B E 即 B =  E ，而 B = H ，所以有 H E   = ， 代入②式，并考虑    0 ，所以 1   2   0 ，介质 1 用 1  ，介质 2 用 1  ，  =  ，则得到：  cos −  cos =  cos 1E 1E 2 E ③

由①、③联立解出Ei-e,coso-e,coso"sin(0-9")sin(0+0")Eie,cose+e,coso"<I>26,cosoEl-2cos sin"Ee,coso+e,coso"sin(0+0")sin (利用sing"V612.E1入射面（E=EE=0）假设HI入射面，H，H"与H方向相同；E与入射面平行。由边值关系可得：[H+H'= H"E"cos"-EcosQ-E'coso同样方法可以解出El -Ve, coso-Je, coso"_ tg(0 -0")Eue,coso+e,coso"tg(0+0")<II>2/6,cos02cossin"E=[E,e,cos0+/e,cos0"sin(0+0")cos(0-0")3.E在任意方向，则E可以分解为E=E，+E，。EI与EI、E"满足<I>式，E,与E"、E满足<I>式，<I>、<I>式为入射、反射和折射波电场的振幅关系即菲涅尔公式。4.位相关系分析（1）e<62，从光疏煤质到光密煤质因为si%=J，所以o>0"，则si(0+0)>0, si(0-0)>0,sine"-V6并且0+0"<元

由 ①、③联立解出 <Ⅰ>        +   = +  =  +  −  = − +  −  =  ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ sin( ) 2cos sin cos cos 2 cos sin( ) sin( ) cos cos cos cos 1 2 1 1 2 1 2                       E E E E （利用      = sin sin 1 2 ） 2．E∥ ⊥  入射面（ E = E E⊥ = 0    ∥， ） 假设 H ⊥ 入射面  ，H H    ，  与 H  方向相同； E  与入射面平行。 由边值关系可得：      = −   +  =  E cos E cos E cos H H H 同样方法可以解出 <Ⅱ>        +  −   = +  =  +  −  = +  −  =  sin( ) cos( ) 2cos sin cos cos 2 cos ( ) ( ) cos cos cos cos 2 1 1 2 1 2 1                         ∥ ∥ ∥ ∥ E E tg tg E E 3．E  在任意方向，则 E  可以分解为 E E E∥    = ⊥ + 。 E⊥  与 ⊥ E  、 ⊥ E  满足<Ⅰ>式， E∥  与 E∥   、E∥   满足<Ⅱ>式，<Ⅰ>、<Ⅱ>式 为入射、反射和折射波电场的振幅关系即菲涅尔公式。 4．位相关系分析 （1） 1 2    ，从光疏煤质到光密煤质 因为 1 2 sin sin     =  ，所以    ，则 sin( +)  0，sin( −)  0， 并且 0   +  