第三章静磁场本章主要研究静磁场的一些求解方法。由于静磁场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入势函数来求解。因此，本章首先引进静磁场的矢势函数和标势函数，讨论失势和标势适用范围。然后将静电势方程的求解方法如分离变量法推广应用到静磁场情况。重点静磁场的矢势和标势。恒定电流激发静磁场。电磁性质方程：B=HH +HM对于均匀线性介质B=μuH 。s3.1失势及其微分方程教学目标：1.理解并掌握静磁场势；2.会推导矢势满足的泊松方程和边值关系；3.初步具有应用场方程和边界条件求解静磁场的思想；课程思政：世界是物质的，磁场也是一种客观存在的物质。教学时长：2学时教学重点：静磁场矢势的引入，泊松方程和边值关系。教学难点：静磁场矢势的计算。教学方法：类比法、讲授法、讨论法、演示法
第三章 静磁场 本章主要研究静磁场的一些求解方法。由于静磁场的基本方程是 矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入势函数来求解。因此， 本章首先引进静磁场的矢势函数和标势函数，讨论矢势和标势适用范 围。然后将静电势方程的求解方法如分离变量法推广应用到静磁场情 况。重点静磁场的矢势和标势。 恒定电流激发静磁场。 电磁性质方程： B H M = + 0 0 对于均匀线性介质 B H = 。 §3.1 矢势及其微分方程 教学目标： 1.理解并掌握静磁场矢势； 2.会推导矢势满足的泊松方程和边值关系； 3.初步具有应用场方程和边界条件求解静磁场的思想； 课程思政：世界是物质的，磁场也是一种客观存在的物质。 教学时长：2学时 教学重点：静磁场矢势的引入，泊松方程和边值关系。 教学难点：静磁场矢势的计算。 教学方法：类比法、讲授法、讨论法、演示法
教学内容：一、稳恒电流磁场的势1.静磁场的基本方程稳恒电流磁场（静磁场）：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。特点：电荷为匀速运动，J与t无关，故H、B与t无关。基本方程：[VxH=-jIV.B=0边值关系：[nx(H, -H,)=α（一般α=0）[nx(B2-B)=0本节仅讨论B=，即不存在铁磁介质。在这里静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。实际上建立一个与电荷一起运动的参照系，在这个参照系中，稳恒磁场转化为静电场。故电场和磁场是电磁场的不同侧面。2.矢势A（1）矢势的引入：静电场为有源无旋场，电场线永不闭合，故V×E=0=Vβ=-E，一标势（电势）。稳恒电流磁场为有旋无源场，磁感线总闭合，不能直接引入标势。因为V×B=0，可令B=VxA
教学内容： 一、稳恒电流磁场的矢势 1.静磁场的基本方程 稳恒电流磁场（静磁场）：传导电流（即运动电荷）产生的不随 时间变化的磁场。 特点：电荷为匀速运动， J 与 t 无关，故 H 、B 与 t 无关。 基本方程： = = B 0 H J 边值关系： − = − = ( ) 0 ( ) 2 1 2 1 n B B n H H 本节仅讨论 B H = ，即不存在铁磁介质。在这里静电场和磁场可 以分离，不发生直接联系。 实际上建立一个与电荷一起运动的参照系，在这个参照系中，稳 恒磁场转化为静电场。故电场和磁场是电磁场的不同侧面。 2.矢势 A （1）矢势的引入： 静电场为有源无旋场，电场线永不闭合，故 E E = 0 = − ， ——标势（电势）。 稳恒电流磁场为有旋无源场，磁感线总闭合，不能直接引入标势。 因为 B = 0 ，可令 B A = （一般 = 0 ）
显然V.V×A)=0总成立。A称为磁场的失势。（2）A的物理意义由J,B.d = J,(V×A).ds - fA.di其中S为回路，L为边界的任一曲面。物理意义：A·di=JB·dsA沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为界的任一曲面的磁通量。而每点A无直接物理意义（3）A的不唯一性已知A，可唯一确定B=V×A，但对于同一个B，令A=A+Vy显然V×A=V×A+V×(V)=V×A=B由此可见B并不对应唯一的A。若对A的散度给予限制，则可使A的任意性减少。取V.A=0称为库仑规范条件。采用规范条件后，由于A的散度和旋度都确定了，A就唯一确定了。注意也可采用库仑规范条件之外的其它规范条件。二、矢势A满足的泊松方程和边值关系1.泊松方程
显然 = （ A） 0 总成立。 A 称为磁场的矢势。 （2） A 的物理意义 由 = = S S L B dS A dS A dl ( ) 其中 S 为回路，L 为边界的任一曲面。 物理意义： = L S A dl B dS A 沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为界的任一曲面的 磁通量。而每点 A 无直接物理意义 （3） A 的不唯一性 已知 A ，可唯一确定 B A = ，但对于同一个 B ，令 A A = + 显然 = + = = A A ( ) A B 由此可见 B 并不对应唯一的 A 。 若对 A 的散度给予限制，则可使 A 的任意性减少。 取 A = 0 称为库仑规范条件。 采用规范条件后，由于 A 的散度和旋度都确定了， A 就唯一确定 了。注意也可采用库仑规范条件之外的其它规范条件。 二、矢势 A 满足的泊松方程和边值关系 1．泊松方程
在均匀各向同性线性介质中，B= μH,VxH-j,将B=V×A代入可得B_I×B=I×(V×A)=I[v(V.A)-VA=jVxBLL在V.A=0的条件下V?A=-Wj此即矢势A满足的泊松方程。直角坐标系中分量方程：VA=-UJ,, i=x,,z说明：1）恒稳电流磁场矢势A满足矢量泊松方程；@=-2）与静电场中形式相同，A也要选取参考点。S2．泊松方程的特解A ="[()dv"(i= 1,2,3)4元1A=(dv"p(x)dv（：4元JV4元JVrr已知J(x)，可直接用特解求A，但若j与磁场相互制约，则必须求解失量泊松方程。3.A的边值关系A2t = AuA2n = Atn
在均匀各向同性线性介质中， B H = ， H J = ， 将 B A = 代入可得 B A A A J B = = = [( ) − ] = 1 ( ) 1 1 2 在 A = 0 的条件下 A J = − 2 此即矢势 A 满足的泊松方程。 直角坐标系中分量方程： 2 = − A J i i ，i = x, y,z 说明： 1）恒稳电流磁场矢势 A 满足矢量泊松方程； 2）与静电场中 = − 2 形式相同， A 也要选取参考点。 2．泊松方程的特解 = = V i i i r J x dV A ( 1,2,3) ( ) 4 = V r J x dV A ( ) 4 （ = V r (x )dV 4 1 ） 已知 J (x ) ，可直接用特解求 A ，但若 J 与磁 场相互制约，则必须求解矢量泊松方程。 3． A 的边值关系 A2t = A1t A A 2 1 n n = r x x V V ／ Ｐ
4矢量泊松方程解的唯一性定理给定V内传导电流j和V边界S上的A,或B,，则V内稳恒电流磁场由V?A=-和边界条件唯一确定。[例1]无穷长直载流导线载流为I，求磁场的矢势和磁感应强度。解：建立如图所示柱坐标系，由A(3) = 0[ J(3)dv4元取电流微元，则IdzA=H4元/R+22取Ro点的矢势值为零，则A=-olinRe2元R。显然B=V×A=Le。2元R由此可见，对于这种简单对称性问题直接求势并不方便，反而利用场方程直接求磁感应强度B更为方便。故通常不适合直接求B的情况再去求解相对复杂的A。[例2]设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，有电流I沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。12解：建立柱坐标系。设x<0空间磁感应强度为B，x>0空间0I.磁感应强度为B，均满足恒定磁场基本方程：V.B=0,VxH=0边界条件为
4．矢量泊松方程解的唯一性定理 给定 V 内传导电流 J 和 V 边界 S 上的 At 或 Bt ，则 V 内稳恒电 流磁场由 A J = − 2 和边界条件唯一确定。 [例 1]无穷长直载流导线载流为 I，求磁场的矢势和磁感应强度。 解：建立如图所示柱坐标系，由 0 ( ') ' ( ) 4 V J x dV A x r = 取电流微元，则 0 2 2 d 4 z L I z A R z = + 取 R0 点的矢势值为零，则 0 0 ln 2 z I R A e R = − 显然 0 2 z I B A e R = = 。 由此可见，对于这种简单对称性问题直接求矢势并不方便，反 而利用场方程直接求磁感应强度 B 更为方便。故通常不适合直接求 B 的情况再去求解相对复杂的 A 。 [例 2]设 x < 0 半空间充满磁导率为 μ 的均匀介质，x >0 空间为真空， 有电流 I 沿 z 轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。 解：建立柱坐标系。 设 x < 0 空间磁感应强度为 B1，x >0 空间 磁感应强度为 B2，均满足恒定磁场基本方程： = B 0， = H 0 边界条件为