其中M-m是f在[a,bl上的振幅，从而w, ≤ M - m, i =1,2,..,n.于是Eo,Ar, -Eo,Ar' + Eo'Ar"68(b-a) +(M -m)2(b-a)2(M - m)=8.返回前页后页
前页 后页 返回 , 1,2, , . i − = M m i n 于是 = + i i i i i i x x x ( ) 2( ) ( ) 2( ) M m M m b a b a − − − + − = . 其中 是 在 上的振幅 从而 M m f a b − [ , ]
若f在[a,b]上有界，且只有有限多个不连续点，此时可用第三种方法证明f可积定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）若f在[a,b]l上有界，且只有有限多个间断点，则f 在[a,b] 上可积证不妨设f在[a,bl上只有一个间断点，且为bVε>0,取S'满足80<S<<(b-a),2(M -m)后页返回前页
前页 后页 返回 0, 取 满足 0 ( ). 2( ) b a M m − − 定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积） 若 f a b 在 上 [ , ] 有界,且只有有限多个不连续点， 此时可用第三种方法证明 f 可积. f 在 [a, b] 上可积. 证 不妨设 f a b 在 上 [ , ] 只有一个间断点,且为 b. 若 在 上有界，且只有有限多个间断点，则 f a b [ , ]
其中M 与m分别为f 在[a,bl上的上确界与下确界.设 f 在[b-8',b]上的振幅为の,则88o'S'<≤(M-m)2(M -m) 2由于f在[a,b-s'l上连续，则存在分割T':a= x <x,<...<xn-1 =b-8',使c-2Zo,Ar后页返回前页
前页 后页 返回 界 设 在 上的振幅为 则 . [ , ] , f b b − . 2( ) 2 ( ) = − − M m M m : . , = 0 1 1 = − T a x x xn− b 使 . 2 T i i x 由于 在 上连续, f a b [ , ] − 则存在分割 其中 M m f a b 与 分别为 在[ , ]上的上确界与下确
令 T :a=x,<x, <...<x, =b, 则Zo,x,-Zo,Ar, +a's'TT!88Z8+22由可积准则,f 在[a,bl上可积例2证明黎曼函数P-( p,q 互素),，x=9R(x)=90，x=0,1及(0,1)中的无理数后页返回前页
前页 后页 返回 令 : . , T a = x0 x1 xn = b 则 T i xi = + T i xi . 2 2 + = 由可积准则, f a b 在[ , ] . 上可积 例2 证明黎曼函数 1 , ( , ), ( ) 0 , 0, 1 (0, 1) p x p q R x q q x = = = 互素 及 中的无理数
在[0, 1] 上可积,且 [’ R(x)dx =0.18的有理数 r= 卫证 Vε>0,在[0,1]中满足2q1只有有限多个,设它们为{，r2,…,r}.对[0,1]作分割T:0=x,<x, <...<x, =1,使|[「中含(斤，的小区间至多有2k个，记为4．因此这些小区间长度之和为前页后页返回
前页 后页 返回 在[0, 1] 上可积,且 1 0 R x x ( )d 0. = 证 1 0, [0,1] q 2 在 中满足 的有理数 p r q = 只有有限多个,设它们为 1 2 { , , , }. [0,1] k r r r 对 作 分割 0 1 : 0 1, T x x x = = n . 2 T k 使 1 2 { , , , } T r r r 中含 k 的小区间至多有 2k 个,记为 . i 因此这些小区间长度之和为