常见的有三种方法，下面分别作出介绍一，从而第一种方法:每个 0<b-a20,Ax2A,=6.b-aili1例如,在[a,bl上一致连续的f,便属于这种情形定理9.4（连续必可积）若f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上可积.证f在[a,b]上连续,从而在[a,b]上一致连续.于前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 Δ Δ . n n i i i i i x x b a = = = − 常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 每个 b a i − 第一种方法: ，从而 例如 在 上一致连续的 ,便属于这种情形 , [ , ] . a b f 定理9.4（连续必可积） 若 f a b 在 上 [ , ] 连续，则 f a b 在 上 [ , ] 可积. 证 f a b 在 上 [ , ] 连续,从而 在 上 [ , ] a b 一致连续.于
是Vε>0, 38>0, Vx',x"[a,b], 若|x'-x"|<8,则0)--因此当[a,b] 上的分割 T满足|T|<时,O; = M, - m;=supif(x')- f(x"), x',x"e[xi-1,x,l)8b-a"2CZAx,=8.从而w,Ax,<bi-1i后页返回前页
前页 后页 返回 f x f x ( ) ( ) . b a − − i = Mi − mi 1 sup{ ( ) ( ) , [ , ] } i i f x f x x x x x ， − = − , b − a 从而 1 1 Δ Δ . n n i i i i i x x b a = = = − 因此当 [ , ] a b T T 上的分割 满足 时, 是 0, 0, , [ , ], x x a b 若 则 x x −
若亡の,有界,即日M,对任意分割，第二种方法：i-120,SM,则当TI<&时,M2OANSTI2O&M =8.Mi-1i-1例如,f 在[a,bl上单调时,有Zw, ≤[f(b) - f(a),i1从而可证f在[a,bl上可积后页返回前页
前页 后页 返回 例如 在 上单调时,有 , [ , ] f a b 1 ( ) ( ) , n i i f b f a = − 1 , , , n i i M = 第二种方法: 若 有界 即 对任意分割 1 1 Δ || || . n n i i i i i x T M M = = = || || , T M 则当 时 1 , n i i M = 从而可证 f a b 在[ , ]上可积
定理9.5（单调必可积）若f 是[a,bl上的单调函数,则f在[a,bl上可积证不妨设「是非常值的增函数，则对任意分割T : a=Xo <xi<...<xn =b,O; = f(x,)- f(x,-), i =1,2,...,n,Z0, -(f(x)- f(xi-1)- (b)- 1(a).于是i=1 i18,则因此,若T<f(b)-f(a)后页返回前页
前页 后页 返回 定理9.5（单调必可积） 若 是 上的单调函数,则 在 上可积. f a b f a b [ , ] [ , ] 证 不妨设 f 是非常值的增函数，则对任意分割 0 1 : . , T a x x x b = = n 1 ( ) ( ), 1,2, , , i i i = − = f x f x i n − 于是 ( 1 ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n i i i i i f x f x f b f a − = = = − = − 因此,若 , ( ) ( ) T f b f a 则 −
20,Ax,sT1-20i-1i=18(f(b)- f(a) =6.f(b)- f(a)第三种方法：若のAr,Ax+のAx在Eo,Ar; 中,80:L2(b-a)而在oAr中，8Z4x2(M - m)后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 Δ n n i i i i i x T = = ( ( ) ( )) . ( ) ( ) − = − f b f a f b f a Δ , i i 在 x 中 而在 i i Δx 中， , 2(b a) i − , 2(M m) xi − Δ Δ Δ , i i i i i i 第三种方法: 若 x x x = +