S2牛顿－莱布尼茨公式显然，按定义计算定积分非常困难须寻找新的途径计算定积分.在本节中介绍牛顿一莱布尼茨公式，从而建立了定积分与不定积分之问的联系，大大简化了定积分的计算。前页后页返回
前页 后页 返回 显然, 按定义计算定积分非常困难, §2 牛顿－莱布尼茨公式 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式,从而建立了 定积分与不定积分之间的联系,大大简 化了定积分的计算. 返回
定理9.1（牛顿一莱布尼茨公式）函数f在[a,bl上满足条件：(i) f 在[a, bl 上连续(ii) f 在[a,bl 上有原函数F则(1)f 在[a,bl 上可积；(2) I"f(x)dx= F(x),= F(b)- F(a).返回前页后页
前页 后页 返回 定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件: (i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F, 则 (1) f 在 [a, b] 上可积; (2) f (x)dx F(x) F(b) F(a). b a b a = = −
S3可积条件判别一个函数f(x)在[a,bl上是否可积，就是判别极限亡F(5)4x,是否存在.在实际应用中,limIT→0i=1直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函承数的可积性.为此，先证明有界性是可积的必要条件而非充分条件，再给出可积准则，并以此证明连续性是可积的充分条件而非必要条件。前页后页返回
前页 后页 返回 判别一个函数f (x)在[a, b]上是否可积,就是判别 §3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 → = 0 1 lim ( ) n i i T i 极限 f x 是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身 函数的可积性.为此, 先证明有界性是可积的必要 条件而非充分条件,再给出可积准则,并以此证明 连续性是可积的充分条件而非必要条件. 返回
定理9.1（可积必有界）若函数f在[a,bl上可积，则f在la,bl上必有界证设6f(x)dx = J.由定义,对ε=1>0,38>0,只要T<8,无论T与 5; =[xi-1, x,I (i=1,2,…,n) 如何选取,都有nEf(5,)Ax, -J <1,i=1于是后页返回前页
前页 后页 返回 定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [a,b] 上可积，则 f 在 [a,b] 上必有界. 证 设 f (x)dx J. b a = 由定义, 对 = 1 0 0 , , T , T 只要 无论 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J , = − 于是 1 [ , ] ( 1,2, , ) , i i i 与 如何选取 都有 = x x i n −
Z(5,)4x, ≤0/+1- M.i=1倘若 f(x)在[a,bl上无界，则必有k,使得 f(x)在[x-1,x,]上无界.令Ef(5,)Ax;G=i+k故必存在E[x-1,x,],满足M+G[()>AXk后页返回前页
前页 后页 返回 −1 [ , ] . k k x x 上无界 令 ( )Δ , i i i k G f x = 故必存在 满足 k k k x x −1 , , 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J M . = + = ( ) . k k M G f x + 倘若 在 上无界， f x a b ( ) [ , ] 则必有 k ,使得 在 f x( )