6现代数学公理化组的第-个难题，需要证明连续性假设（continuumhypothesis），其引出的成果撼动了整个数学的基础。连续性假设，由俄罗斯数学家养治·康托（GeorgCantor）于1879年提出，他断言每个实数的无穷子集都是或者可数的无穷集，如正整数集，或者包含连续的基数，如实数全集。厄恩斯特·朗美罗（ErnstZermello）、伯特兰·罗素（BertrandRussell）、库尔特·哥德尔（KurtGodel)都对这-问题的不同方面作出卓越责献。美国数学家保罗·科恩（PaulCohen）于1963年显示这个假设无法用其他集合论的公理证明。尽管问题的答案与希尔伯特的预期很不相同，却圆满达成了他想要激起广泛数学研究的初衷，包括质疑基础的假设。希尔伯特的第七个难题，最具体的问题之一，代数数论方面，达成了希尔伯特的另一个目标，即被解决之后引出新的问题。这个问题需要证明任一α形式的表送式都是超越数，如果Q和6同是代数数（即整系数多项式方程的根），并且b是无理数（不能表达为两整数之商）。这种形式的数包括2/，即希尔伯特数。1934年，俄罗斯数学家亚历山大·格尔方德（AleksandrGelfond）提供了满意的证明，而后此问题被称为格尔方德定理。拓展原初问题的疆域，数学家想要知道如果α与b都是超越数，那么α是否为超越数。这个更具有普遍性的问题在原初问题解决70多年后仍持续激励着数学家们为之奋斗。这23个希尔伯特难题不仅是一些艰涩难题的集合，在他精心措辞的讲稿里，希尔伯特解释了每个问题之所以作为一个重要的数学议题呈现在这里的原因。他认为每个同题的解决都会产生一个照亮特殊领域和相关概念的理论，他坚持众多绝妙问题的存在正是数学学科健康发展的证据。国际数学界作出热烈回应，欣然接受了希尔伯特具有远见卓识的难题。分析和理论物理希尔伯特与他的同事们一起致力于这23个难题，专注于最后的一组难题，分析成为他1902一1912年的研究重点。希尔伯特待1904年对迪拉克法则（Dirchletprinciple)所做的推广帮助第20道难题取得进展，这道难题需要寻求为一些指定值在给定数域边界建立函数并使得它的导数在数域内部满足一个给定的偏微分方程的原理。1905年，他提供了关于满足两个特殊临界值的线性微分方程的存在性的第21道难题的不完全解法。希尔伯特在变分法方面做了广泛研究，这是一个寻求
戴维·希尔伯特7满足一系列微分方程并使一个相关表达式值最小的函数的分支。他在这一领域的工作对所有难题中最具广泛性的一个，即需要大量运用变分技巧的23题作出贡献。希尔伯特对分析最重要的贡献便是无限维向量空间，现在叫做希尔伯特空间。那此包含无穷个满足一定收敛判别准则的函数集合使他的上作涉及积分方程，即包含未知函数及其积分形式的方程。在1912年出版的《线性积分方程的代数学原理》（Principlesofthealgebraictheoryoflinearintegralequtions）一书中希尔伯特总结了1904一1910年的工作。由于他的数论报告已在15年前做出.这部论著为很多数学家开拓新的研究辐域。希尔伯特在分析方面的工作，与他的23个难题以及在不变量论、数论、儿何上的成就，巩固了他作为世界最顶尖数学家的地位。1910年，匈牙利科学院授予他“波尔约奖”（BolyaiPrize）。这项以匈牙利几何学家雅诺什·波尔约（JanosBolyai)命名的奖项，表彰希尔伯特在数学领域产生的巨大影响。在授奖致辞中，科学院高度评价了希尔伯特思想的深刻性、方法的原创性及逻辑证明的严谨性，这些都成为希尔伯特具有影响力工作的卓越特质。由于希尔伯特空间在物理现象分析方面的独特作用，希尔伯特的后续研究深人数学物理。他对量子力学、气体动理论、放射理论都作出了贡献。1915年他与阿尔伯特·爱因斯（AberEinstein）保持每日通明信片，当时爱因斯坦在哥廷根大学物理系，这两个人各自独立地完成了广义相对论的场方程。1924年，柯朗出版了他的《数学物理方法》（MethodsofMathematicalPhysics），希尔伯特作为共同作者出现，他在此为各种物理学理论建立了严格的数学基础。这本者作及柯朗手1937年出版的同名第二卷书从希尔伯特的讲稿和论文中波取了许多营养。数学的基本原理与无限20世纪20年代希尔伯特将他的注意力转向了数学的基本原理。他开始建立一系列的公理，使得由此出发可以逻辑地导出数学的全部内容。“希尔伯特计划”（Hilbertprogram）假设的基础，正如通常所知，是每个数学声明都是可证真伪的。希尔伯特1926年发表在《数学年报》上的论文《关于无限》（Ontheinfinite）和《没有人能超越康托为我们创造的天堂》（NooneshallexpelusfromtheparadisethaCantorhascreatedforus），显示在他尝试证明数学是一个免受矛盾困扰的学科
8现代数学时，希尔伯特对康托处理无穷量时所用技巧的严重依赖。在1928年出版的他与威廉·阿克曼（WilhelmAckermann）合著的《数学逻辑原理》（PrinciplesofMathematicalLogic）一书中希尔伯特进一步解释了这层关联。哥德尔在1931年证明了不完备定理（incompletenesstheorem）一一每个公理化的数学体系，包括命题都不能证明其真伪，使得希尔伯特的计划成为不可能的事情。在职业生涯始终，希尔伯特都对康托的无限思想抱以极大兴趣。早在1891年，在一篇发表在《数学年报》上的名为《关于直线到平面区域的连续映射》（Onthecontinuousmappingofalineintoaplanarregion）的文章中，他宣称一条-一维曲线可以与一个二维平面区域包含相同多的点。他提出了一个构造曲线的方法，使其填满一个正方形内所有的点。首先画一个包含正方形三条边的正U形折线，再以四个边长更短的U形折线替代它。在每一步他都做相似的替换，手是产生了4倍手先前数量的基本U形（他声称这个曲线系列的极限形式便是一种穿过正方形所有点的分形图形）。5152希尔伯特的空间填充曲线穿过一个正方形内部所有的点。，按以下方式来构筑这个曲线，首先画一个包含正方形三条边的正U形折线，再以4个边长更短的U形折线替代它。在每一步都做相似的替换，于是产生了4倍于先前数量的基本U形。希尔伯特曲线即是无限多步之后的极限形式在与其他数学家关于这个极限思想的讨论中，希尔伯特提出，如果一个旅馆有无限的房间号1，2，3，那么它将面临一些矛盾。他解释说，即便所有的房间都住满旅客，旅馆的经理还是可以再腾出一间空房，只要他将所有的房客都顺次移到下一间客房。对于每个正整数n，他将n号客房的客人移入n十1号房的解决方案，确保了空出第一间房给新客人。如果个人到达，经理可以将客人从号房移到尺十1号房。进一步设想，希尔伯特提出，如果一列载有无数位旅客的火车到达，经理可以让现有的房客从n号房间搬到2n号，空出所有的奇数号房间安排新客人。他甚至建议如果有无数列这样的列车到达，经理可以让已有住客从n号房间搬到
戴维·希尔伯特9第2号，空出第33”，3”，号房间给第一列火车的客人，第5，5”.5”，·号房间给第二列火车，第7，72，73，....…号房间给第三列火车，以此类推，每个新的质数对应一列新的火车（“希尔伯特旅馆”，可以叫做一个矛盾的情景设置，为康托集合论中无穷量的运算法则提供了一个可感知的例子）。战争与退休1930年，希尔伯特68岁，已是法定的退休年龄，他发表了关于不变量论的告别演讲，听众席上挤满了教授和学生，与之形成鲜明对比的是，1891一1892年在K的冬季学年，只有一个学生报名来听他的复函数论。在整个职业生准中，他一共指导了69个学生的博士论文。维尔，希尔伯特的学生和继他之后的哥廷根大学数学研究所所长，将他比作“多彩的吹笛人”（PiedPiper），吸引了这么多年轻天真的头脑来畅游数学之源流。不论在教师还是学生中间，他都深受欢迎，绕开紧文练节，他自由地和这两个团体交往。在会议和讲座上，他与年轻教师并肩而坐。在聚会上，同他们的妻子尽情舞蹈。偶尔，他还会穿着冰鞋或骑着自行车来到会场。他邀请来访者到家里，捏着小段粉笔，在后院墙上一块18英尺长的黑板上尝试解决难题。信仰坚定而言行坦诚，希尔伯特在整个职业生涯中不停传递着自已的想法。1914年他因拒绝在《对文化世界的宣言》签名而触怒当局，这是一份为德国开脱第次世界大战中所有战争暴行的文件。1917年，正当德法两国的战士在战场上斯杀之时，他在《数学年报》上发表了一篇让告来纪念法国数学家哥斯顿·达布（GastonDarboux）。他支持女数学家艾米·诺特（EmmyNoether）来哥廷根供职，在一次敦师会议上，他说，既然这单是一座大学而不是澡堂，就不存在性别间题。在20世纪30年代早期，阿道夫：希特勤要将所有的犹太教师赶出德国大学校园的决定儿乎摧毁了国际项尖的数学研究中心一一哥廷根大学数学所。1935年，当纳释教育部长向希尔伯特询问哥廷根的数学研究状况时，希尔伯特回答说这里已经没有一个数学家了在20世纪30年代，希尔伯特和他的同事只出版了数量有限的研究图书。1932年，希尔佰特与斯蒂芬·科恩-沃什（StefenCohn-Vossen）一起出版了《几何与想象》（Geometryandthelmagination），一部关于儿何曲线和曲面的描述性总结。与保罗·伯奈斯（PaulBernays）一起分别在1934年和1939年出版了两卷者
10现代数学作《数学基础》（FoundationsofMathematics）讨论数学的公理化问题。库兰特（Courant）承担了数学物理方面的两卷.科恩一沃什和伯内兹所奢部分则是基于20世纪20年代早期希尔伯特的讲稳，并且把他的名学列在合著者中，尽管他们儿乎承担了所有的写作工作。这3本合著书均被翻译成了多种语言，在全世界广泛流传。在1932-1935年间，希尔伯特收集了数论、代数和分析方面的论文，结集出版为3卷的《收编本》（CollectedWorks）。在希尔伯特生命的最后几年里，因一次在哥廷根大街上摔伤而导致胳膊骨折，严重限制了他的日常活动。他逝世于1943年2月14日。由于是战争期间，只有12人参加了在他家中的葬礼。结语戴维·希尔伯特以他的研究和远见卓识的23个难题对数学的各个领域产生了深远的影响。他解决戈登问题和建立有限基元定理所用的原理使不变量论由一个计算学科变成一个代数学科。他的《数论报告》决定了下一代代数数论工作者的研究方向。他关于儿何基础的书主导了那个领域后来半个世纪的研究途径。在分析和数学物理方面，他引入的无限维希尔佰特空间占有重要一席。尽管试图将一切数学公理化的希尔伯特计划没有达到它的终极目标，但他在数学逻辑方面的工作使这一学科的许多分支得到深人发展。23个希尔伯特难题能否成功解决，是他对共事者们提出的挑战，正如希尔伯特所期盼的那样，这一挑战广泛刺激了整个20世纪数学研究进程。扩展阅读汤姆斯·德鲁克（Drucker，Thomas），《大卫·希尔伯特（18621943，）德国数学家》，摘自罗宾·V.杨主编的《从古至今的著名数学家》，第244-247页，底特律Mich：Gale出版社，1988。一部简明但资料翔实的希尔伯特小传及其著作。汉斯·弗罗伊登塔尔（Freudenthal，Hans），大卫·希尔伯特》《科学传记辞典》6卷本，查尔斯·C.吉尔斯皮主编，第388--395页，纽约：Scribner出版社，1972。百科全书式的传记，包括其数学文献的细节