戴维·希尔伯特(1862—1943)裁维·希尔伯特为不变量论、数论、几何、分析和逻辑引入了新方法·并提出了23个影响20世纪数学研究方向的难题。（图片由奥夫纳姆·冯·施密特·戈特金，艾米利美·塞格雷视党档案提供）新世纪的数学难题戴维·希尔伯特（DavidHilbert）是20世纪数学发展的核心人物，研究领域涉及6个学科，整整影响了一个世纪的数学发展方向。他的有限基底定理（finitebasistheorem）使不变量论从一门计算学变成了一门代数学。他的数论报告为下一代的代数数论设下了议程。他发展的21个几何定理为这个古典学科提供了新方法。他提出的无限维希尔伯特空间（infinite-dimensionalHilbertspace）在分析和数学物理中扮演重要的角色。希尔伯特计划（Hilbertprogram）为数学的所有领域建立了严格的基准。他在1900年的一次国际会议上提出的23个希尔伯特难题
2现代数学刺激广泛的、贯穿整个20世纪的数学研究。早年希尔伯特1862年1月23日出生于一个靠近波罗的海的东普鲁七小镇，他是家中长子，还有一个第弟，交亲奥托·希尔伯特是郡法官，母亲玛利亚·慧莱斯·埃特曼出身商家，受过教育。一年后，戴维的父亲接受了城法写的命，便举家前往邻近的首都柯尼希堡（现在俄罗斯的加里宁格勒）。18701879年，希尔伯特在弗莱得瑞奇斯克尔格（Friedrichskolleg）学校，柯尼希堡的一家私立学校上学，他在那里学习德语、希腊语、拉丁语、历史、文法和数学。他在数学上出类拔萃，可以毫不费力地掌握这个学科并时常向他的老师解释一些问题。在威廉会馆（WilhelmGymnasium）他完成了最后一年的高中学习，并通过了德国的高考（Arbitur）。1880年，希尔伯特进入柯尼希堡大学，全身心攻读数学。经过1881年在海德堡大学的春季学期后，他又回到柯尼希堡大学继续学业。1883年，他遇到了18岁的数学系学生赫尔曼·闵可夫斯基（HermannMinkowski）。赫尔曼·闵可夫斯基是柯尼希堡人，在1880年初凭借将正整数写为5个完全平方数之和的工作，赢得了一项由法国科学院主办的国际数学竞赛的大奖。每天下年约5点钟，希尔伯特、闵可夫斯基和一个比希尔伯特大3岁的教师一阿道夫·胡尔维兹（AdolfHurwitz），便会相约，他们边散步边广泛讨论数学奇思。这3个人后来成为一生至交，或作为合作者进行课题研究或潜在地影响彼此的工作。不变量论1884年，希尔佰特完成了课程，开始了一项长达9年的关于代数形式和不变量论的课题研究。他在费德兰得·冯·林德曼（FerdinandvonLindemann）的指导下做博士研究，以一篇题为《关于特殊二元形式特别是球面函数的不变量特性》(On invariant properties of special binary forms, in particular the sphericalfunctions）的论文拿到学位。在这之后，他在利匹兹（Leipzig）跟随德国最杰出的数学家之一菲利克斯·克莱因（FelixKelin）学习了一个学期。他的另一个学期在巴黎跟随两个法国顶尖的数学家查尔斯·埃尔米特（CharlesHermite）和亨利·庞加莱（HenriPoincare)学习。在这段额外学习的末期，希尔伯特发表了一篇关于不变
戴维·希尔伯特3量论的文章，并为了他的大学教授任教资格做了一次关于周期函数的演讲，这是在德国大学教书所需的额外条件。1886年秋天，他接到一个在柯尼希堡大学的职位，虽准许他在这里教书，但仍需直接从学生手里收钱以维生。1888年，希尔伯特解决了一个不变量论里的公开难题，即戈登（Gordan）问题，通过证明一条从那之后被称为希尔伯特基定理（Hilbertbasistheorem）。此前2o年，保罗·戈登（PaulGondan）一直是这个领域的带头人，证明了二元形式无穷集合存在着有限的基（二元形式是指含有两个变量并且每项次数相同的多项式）。希尔佰特证明，对含任意多变量的类似多项式都可以写成有限个基的和。1890年他发表在《数学年报》（Annalsofmathematics）的“关于代数形式”一文（Onthetheoryofalgebraicforms）引起了争议，因为它只证明了有限基的存在却没有给出构造方法。尽管戈登为此期刊审阅了该文，批评他的证明与其说是数学不如说是神学，但期刊主克莱因支持了希尔伯特文章的刊发。两年后，希尔伯特给出证明如何为任意无限形式系列构造有限基元，克莱因评价他对此问题的解决方案是这个期刊有史以来刊发的代数工作中最重要的一项。在同一篇文章中，希尔伯特为他的基本定理给出第个证明，他还证明了另一个不变量论中的重要结论，即零集合定理（zerosettheorem）。这条定理给出，如果一个多项式P与一个已知理想中的所有多项式在同一点上同为零，那么力的某次方一定会属于这个理想。这个重要结论成了代数儿何的基石，代数儿何这条分支主要研究多项式方程的根希尔伯特的关于戈登问题的论文为不变量论这一学科引人了新的技巧，使其研究重点由长的计算问题转向更成体系的代数证明。他的新方法解决了不变量论领域最前沿的问题，并使他成为这一领域最重要的研究者。1893年，希尔伯特为在芝加哥召开的国际数学大会写了一-篇文章，总结了不变量论的历史和发展状况。在成功解决了不变量论的重要问题之后，他将接下来5年的注意力转向了数学的另领域一一代数数论。代数数论国际上对希尔伯特在不变量论领域研究的认可使他的职业生涯更加顺利，充满了新的机遇。他的出色工作为他在1892年赢得了K大学副教授的职位，次年又快速晋升为正教授。1892年10月，希尔伯特与柯尼希堡一个商人的女儿凯茜
4现代数学耶罗施结合。他集中精力于数论·并对一些已知定理用更优美的原理给出再证明，由此作为一个才华横溢的研究者，希尔伯特在这一领域声名鹊起。例如，1873年查尔斯·海默特证明e是一个超越数，超越即不能表示为一个整数系数的多项式方程的解。用相似的原理，1882年，林德受（Linderman）证明元也是一个超越数。1893年初，希尔伯特给出了一个关于e与元超越性质的更简洁、直接的证明。很快，他又发现两种蕴涵更高级思想的证明，即素理想分离法。在1893年的年度会议上，德国数学家协会（AssociationofGermanMathematicians）邀请希尔伯特和明可维斯基准备一篇报告，来总结数论的历史和发展状况。尽管明可维斯基没能完成这项计划中他的部分，但1897年希尔伯特还是以《关于代数数论领域的报告》（Reportonthetheoryofalgebraicnumberfields）为题提交了一份长达40o页的手稿。这篇详尽的报告大大超出了这项计划的原初目的。为了收录这个领域早先的研究成果，希尔伯特重新组织了学科的基本原理，为许多结论提供了新的证明，为一些逐步发展的思想，如类域理论和相对循环域（classfieldtheoryandrelativecyclicfields）奠定了基础工作。这篇专题论文后来简称为《数论报告》（NumberReport），决定了希尔伯特后来半个世纪数论的工作方向。随后的两年，希尔伯特发表了一系列主题丰富的数论文章，包括交换律（reciprocitylaw）和素点（primespots）。这些工作的最后一篇文章是他1898年的《关于相对阿贝尔场论》（Onthetheoryofrelativeabelianfields），刊发在《德国数学协会年度报告》（AnnualreportoftheAssociationofGermanMathematicians）上，他在此篇中简述了Class场论，阐明了这个学科全面发展所需的概念和原理：为后来的数学家留下了丰富的研究课题。在这篇文章发表之后，他又将精力投入数学的其他领域。11年后，他重拾数论证明了华林定理（Waringtheorem）（1707年，英国数学家爱德华·华林（EdwardWaring）提出猜想：每个正整数都可以写成4个平方数，或9个立方数，或19个四次方数·...之和）。1909年，希尔伯特成功地证明对于每个正整数n，都有一个对应的正整数，使其能够被写作个n次方数之和。几何1885年，克莱因来到哥廷根大学，建设提升这所大学的数学系。克莱因吸引有能力的教师，引进每周研讨，建立数学图书馆。作为《数学年报》的主编，他广泛
戴维·希尔伯特5征集关于各类数学命题的文章并邀希尔伯特加入编辑队伍。1895年，希尔伯特离开柯尼希堡，接受了哥廷根（Gottingen）大学数学教师的工作，他在这个职位一直干了35年，真直至退休。在克莱因和希尔伯特的经营下，哥廷根成为最重要的数学研究国际中心。1913年，克莱因退休，希尔伯特和他以前的学生理查德·柯朗（RichardCourant）在哥廷根建立了数学所（MathematicalInstitution），成为日后其他许多国家类似研究机构的典范。在重定型不变量论和重组织代数数论之后，希尔伯特转向几何，在这里他完成了类似的再构建。在新机构的第三年，他讲授了一系列儿何课程，1899年结集出版为《几何基础》（FoundationsofGeometry）。在此书中，他以21个统一、完整、独立的基本公理，重新设定和导出了欧儿里德儿何的所有定理。“统一“意味着任意组合公理都不会产生矛盾。“完整”是指儿何学中所有定理都是这21条原理的推导结果。“独立”保证了不存在任何一条公理是其他公理的推导结果。希尔伯特坚持几何中所有概念的性质必须只能由公理导出；任何外来的观念都毫无意义。他明确指出，必须控制几何学的正当性，即使把桌、椅、土换为点、线、面也在所不借。希尔伯特的书在几何学上的影响胜过自《原本》以来的所有其他著作。《原本》是3世纪业历山天时期希腊数学家欧儿重德写的一本关手儿何和数论的经典著作。希尔伯特的论著对数学思想产生巨大影响，促进了数学所有分支的公理化。庞加莱（Poincare）评价这本书是在非欧式几何发现之后，重建欧式几何缺失部分的法典。希尔伯特的者作被翻译成了许多语言，并持续有新版本问世，英文第14版于1999年出版。20世纪的数学难题1900年在巴黎召开的第二届数学家大会上，希尔伯特进行了一次题为《数学难题》（Mathematicalproblems）的演讲，指出了1o个他认为影响下个世纪数学发展进程的核心问题。这篇被国际上多家数学期转载的演讲全文实际上包含了覆盖数学各个领域的23个难题：6个数学公理基础问题，6个代数数论问题，6个代数与几何问题和5个分析问题。这些问题中几乎没有一个是针对某一点的，绝大部分都代表整个研究活动。贯穿20世纪，当每一个希尔伯特难题被征服的时候，都会引起整个国际数学界的关注。德国数学家赫尔曼·外尔（HermannWeyl）称解决难题的人为数学家中的“荣誉阶级”（HonorClass）