试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为 05-4 06-5 (2008年南开大学) 5.(20分)设V为4维实线性空间,E1,E2,E3,E4为一组基,已知V上线性变换T在基=1,∈2,E3,E4下的 矩阵为 (1)试求出T的特征偵与特征向量 (2)试分别求出T的核kerT与象ImT的维数与一组基.(2011年南开大学) 6.设P为数域,定义n(n≥3)级方阵A为 00 010∴.00 001∴00 000..10 (1)设Pmxn中全体与A可交换的矩阵所组成的集合为C(A),证明C(A)是Pnxn的一个子空间 (2)试求出C(A)的维数与一组基.(2012年南开大学) 27.在P4中,已知V=L(a1,a2,a3),V=L(B1,B2).其中 a1=(,1-12),a2=(2,-1,3.0),a3=0.-3,5,-4),12=(,.,2,1),2=(4-3,31y 求Ⅵ+V和ⅵ∩v2的维数与一组基.(2014年南开大学) 0-2 28.已知V是一个3维线性空间,线性变换a在一组基E1,E2,3下的矩阵为A=01-2,在另一 00-1 组基n,n2n下的矩阵为B=05-4.求基a123到基nnn3的过渡矩阵P.(2016年 南开大学) 9.设F4上两个线性空间 W1={x1,x2,x3,x小]r1+x2+2r3+2r4=0,x1+2x2+3x3+3r4=0,x∈F FI 求W1∩W2和W+W2的基与维数.(2010年上海大学)
£¶ V ò|ƒ¶ T 3Tƒe› è 1 2 −2 0 5 −4 0 6 −5 . (2008cHmåÆ) 25. (20 ©) V è4 ë¢Ç5òm, ε1, ε2, ε3, ε4 èò|ƒ, ÆV ˛Ç5CÜT 3ƒε1, ε2, ε3, ε4 e › è 0 0 −1 −1 0 1 2 2 0 −1 −1 0 0 0 0 1 (1) £¶— T AFÜAï˛. (2) £©O¶— T ÿker T ÜñIm T ëÍÜò|ƒ. (2011 cHmåÆ) 26. P èÍç, ½¬ n(n ≥ 3) ?ê A è A = 1 0 0 · · · 0 n 0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 0 0 0 0 · · · 0 1 (1) P n×n • NÜ A åÜ› §|§8‹è C(A), y² C(A) ¥ P n×n òáfòm. (2) £¶— C(A) ëÍÜò|ƒ. (2012cHmåÆ) 27. 3 P 4 •, Æ V1 = L(α1, α2, α3), V2 = L(β1, β2). Ÿ• α1 = (1, 1, −1, 2)0 , α2 = (2, −1, 3, 0)0 , α3 = (0, −3, 5, −4)0 , β1 = (1, 2, 2, 1)0 , β2 = (4, −3, 3, 1)0 . ¶ V1 + V2 ⁄ V1 ∩ V2 ëÍÜò|ƒ. (2014cHmåÆ) 28. Æ V ¥òá3ëÇ5òm, Ç5CÜ A 3ò|ƒ ε1, ε2, ε3 e› è A = 1 0 −2 0 1 −2 0 0 −1 , 3,ò |ƒ η1, η2, η3 e› è B = 1 2 −2 0 5 −4 0 6 −5 , ¶ƒ ε1, ε2, ε3 ƒ η1, η2, η3 Lfi› P . (2016c HmåÆ) 29. F 4 ˛¸áÇ5òm W1 = {[x1, x2, x3, x4] |x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 0, x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 = 0, xi ∈ F} W2 = {[x1, x2, x3, x4] |3x1 + 4x2 + 5x3 + x4 = 0, xi ∈ F} ¶ W1 ∩ W2 ⁄ W1 + W2 ƒÜëÍ. (2010c˛°åÆ) 11 厦门大学《高等代数》
0.设F2×2的两组基分别为 0 Q1= 00 00 01 B1 BA 34 46 (1)求基B1,B2,B3,B4到基a1,a2,a3,a4的过渡矩阵; (2)设 分别求?在这两个基下坐标向量.(2010年上海大学 31.设E1,E2,E3,E4是4维线性空间V的一组基,一线性变换a在这组基下的矩阵为 1021 12 求a的核的基与值域的基.(2011年上海大学) 25252 =37373 37388 49494 AX=0的解空间v,BX=0的解空间V2,求V∩v,V+V的一组基.(2012年上海大学) 求此向量组的极大无关组,并将 其它向量用此向量组的极大无关组表示出来.(2013年上海大学) 34.A为n阶方阵,其秩为l,若矩阵方程AX=B(B为n×1阶向量)有解.求其所有解张成的线性空 间的维数.(2011年上海交通大学) 35.设Cnxn是复数域上n阶方阵构成的线性空间,给定自然数1,2,…,n的一个排列i1,i2,…,in, 入在Cx内定义线性变换x如下 df(a1,02, 其中ak是n维列向量.1≤k≤n 1.给出x的n个线性无关的特征向量 2.若取排列234n1,证明:对应的矩阵可对角化 36.设V为所有n阶实对称方阵组成的实线性空间,计算v的维数.(2010年首都师范大学)
30. F 2×2 ¸|ƒ©Oè α1 = " 1 0 0 0 # , α2 = " 0 1 0 0 # , α3 = " 0 0 1 0 # , α4 = " 0 0 0 1 # β1 = " 1 1 1 1 # , β2 = " 1 2 2 4 # , β3 = " 2 3 4 6 # , β4 = " 3 4 4 7 # . (1) ¶ƒ β1, β2, β3, β4 ƒ α1, α2, α3, α4 Lfi› ; (2) γ = " a b c d # , ©O¶ γ 3˘¸áƒeãIï˛. (2010 c˛°åÆ) 31. ε1, ε2, ε3, ε4 ¥4ëÇ5òm V ò|ƒ, òÇ5CÜ A 3˘|ƒe› è 1 0 2 1 −1 2 1 3 2 2 7 6 2 −2 1 −2 ¶ A ÿƒÜäçƒ. (2011c˛°åÆ) 32. A = 1 2 1 2 1 2 5 2 5 2 3 7 3 8 8 , B = 1 3 3 3 1 3 7 3 7 3 4 9 4 9 4 AX = 0 )òm V1, BX = 0 )òm V2, ¶ V1 ∩ V2, V1 + V2 ò|ƒ. (2012c˛°åÆ) 33. α1 = 1 1 1 1 , α2 = 2 2 1 2 , α3 = 3 3 2 3 , α4 = 2 0 1 1 , α5 = 3 1 1 2 , ¶dï˛|4åÃ'|, øÚ Ÿßï˛^dï˛|4åÃ'|L´—5. (2013c˛°åÆ) 34. A è n ê ,Ÿùè l, e› êß AX = β(β èn × 1 ï˛) k). ¶Ÿ§k)‹§Ç5ò mëÍ. (2011c˛°œåÆ) 35. C n×n ¥EÍç˛ n ê §Ç5òm, â½g,Í 1, 2, · · · , n òḠi1, i2, · · · , in, 3 C n×n S½¬Ç5CÜ A Xe: A (α1, α2, · · · , αn) = (αi1 , αi2 , · · · , αin ) Ÿ• αk ¥ n ëï˛. 1 ≤ k ≤ n . 1. â— A n áÇ5Ã'Aï˛. 2. e¸2 3 4 n 1, y²: A ÈA› åÈz. 36. V è§k n ¢È°ê |§¢Ç5òm, Oé V ëÍ. (2010cƒ—ìâåÆ) 12 厦门大学《高等代数》
37.设V为7维实线性空间,WcV为4维线性子空间,记End(V)为v到自身的所有线性映射组成 的线性空间,令 M={f∈End(V)F(W)cW} 说明M是End(V)的线性子空间,并给出M的维数.(2012年首都师范大学 8.(15分)记M为2阶实方阵组成的线性空间,B b b3 bg)∈M.定义映射f:M→M为f(A) 1B-BA(vA∈M),验证f是线性映射,并写出f的基 01 00 00 00 01 下的矩阵(2014年首都师范大学) 9.设M2(F)是数域F上的2阶方阵组成的线性空间,设V是由如下的4个矩阵生成M2(F)的子空间: (1)求dmV并写出V的一组基 (2)设映射f:V→F为:f(4)=tr(4),其中tr(4)表示矩阵A的迹求 linker f并写出kerf的一组 基2011年四川大学) 40.设A是实数域上的m×n型矩阵,A的秩为r求线性空间V={X∈RAX=0}的维数,这里,A 表示A的转置(2013年四川大学 41.令a1,a2,…,an为数域P上的n维线性空间V的一组基,ⅵ1表示由a1+a2+…+an生成的子空间 以及 r;a|>r;=0,x;∈P (1)V为V的子空间 (2)V=V⊕V.(2015年湘潭大学) 2.设V是实数域上所有2×2矩阵构成的线性空间,求矩阵A在基 (2) 下 00)(00 的坐标.(2010年云南大学) 43.求向量组a1=(6,4,1,-1,2),a2=(1,0,2,3,-4),a3=(7,1,0,-1,3),a4=(1,4,-9,-16,22)的一个极 大无关组.(2013年云南大学) 44.设A是数域F上的n阶方阵,向量a满足(I-A)a1=0,i=1,2求证:若1≠h2,则F[4](a1+a2) F[Aa1F[]a2.(注:F[4]={f(4)alf(x)∈F[x]})(2014年中科大)
37. V è7ë¢Ç5òm, W ⊂ V è4ëÇ5fòm, PEnd( V ) è V g §kÇ5N|§ Ç5òm, - M = {f ∈ End(V )|F(W) ⊂ W} `² M ¥End( V )Ç5fòm, øâ— M ëÍ. (2012 cƒ—ìâåÆ) 38. (15 ©) PM è2 ¢ê |§Ç5òm, B = b1 b2 b3 b4 ! ∈ M. ½¬Nf : M → M èf(A) = AB − BA(∀A ∈ M), y f ¥Ç5N, ø— f ƒ ( 1 0 0 0 ! , 0 1 0 0 ! , 0 0 1 0 ! , 0 0 0 1 !) e› . (2014cƒ—ìâåÆ) 39. M2(F) ¥ÍçF˛2 ê |§Ç5òmßV¥dXe4á› )§M2(F) fòmµ A1 = −1 4 2 0! , A2 = 5 1 0 3! , A3 = 3 −2 −1 4 ! , A4 = −2 9 4 −5 ! . £1§¶dim Vø—Vò|ƒ. £2§Nf : V → F èµf(A) = tr(A) ߟ•tr(A) L´› A,.¶dimkerf ø—kerf ò| ƒ.(2011coAåÆ) 40. A¥¢Íç˛m × n .› ßAùèr.¶Ç5òmV = {X ∈ Rn|A0AX = 0} ëÍߢpßA0 L´A=ò.(2013coAåÆ) 41. -α1, α2, · · · , αn èÍçP˛nëÇ5òmVò|ƒßV1 L´dα1 + α2 + · · · + αn )§fòmß ±9 V2 = Xn i=1 xiαi | Xn i=1 xi = 0, xi ∈ P . y²µ £1§V2 èVfòm. £2§V = V1 LV2 .(2015câ åÆ) 42. V¥¢Í粧k2 × 2 › §Ç5òm߶› A3ƒ 1 1 1 1! , 0 −1 1 0 ! , 1 −1 0 0 ! , 1 0 0 0! e ãI. (2010c HåÆ) 43. ¶ï˛|α1 = (6, 4, 1, −1, 2), α2 = (1, 0, 2, 3, −4), α3 = (7, 1, 0, −1, 3), α4 = (1, 4, −9, −16, 22) òá4 åÃ'|. (2013c HåÆ) 44. A¥ÍçF˛n ê ßï˛αi ˜v(λiI−A) nαi = 0, i = 1, 2 .¶yµeλ1 6= λ2 ßKF[A](α1+α2) = F[A]α1 ⊕ F[A]α2 .£5µF[A] = {f(A)α|f(x) ∈ F[x]}.§(2014c•âå) 13 厦门大学《高等代数》