(D)无法确定 11.设矩阵A=(a1a2,a3,a4)经行初等变换变为矩阵B=(1,B2,B3,B4),且a1,a2,a3线性无关 性相关,则().(2016年北京交通大学) (A)4不能由,B2,B3线性表示 (B)B4可由1,B2,B3线性表示,但表示法不唯 (C)B4可由B1,B2,3线性表示,且表示法唯 (D)64能否由1,B2,B3线性表示不能确定 12.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性相关的是().(2010年北京科技大学 (A)a1+a2,a2+a3,a3+a1 (B)a1,a1+a2,a1+a2+a (C)a1+a2,a2+a3,a3-a1 (D)a1+a2,2a1+a3,3a3+a1 3.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性相关的是().(2011年北京科技大学) (A)a1+a2,a2+a3,a3+a1 (B)a1,a1+a2,a1+a2+a (C)a1-a2,a2-a3,a3-a1 (D)a1+a2,2a1+a 14.设a为n维线性空间v上线性变换,则() A.a可逆的充分必要条件是Ima=V B Im d+ ker df=t C. dim Im s+dim ker df=n D.Ims∩kera={0} 15.设为n维线性空间v上线性变换,W1,W2,Wn为V的1维子空间,且为a的不变子空间 如果V=W1+W2+…+Wn,则一定存在V中一个基,使得a在此基下矩阵为( A.对角矩阵;B.反对称矩阵;C.可逆矩阵;D.对称矩阵 6.设V为n维线性空间,a1,a2,…,an;B1,B2,…,Bn∈V且[a1;,a2,…,an]=B1,B2…,Bn]A其 中A为n阶方阵,下列结论正确的有()
(A)r; (B)r + 1; (C)r + 2; (D)Ã{(½. 11. › A = (α1, α2, α3, α4)²1– CÜCè› B = (β1, β2, β3, β4), Öα1, α2, α3Ç5Ã', α1, α2, α3, α4Ç 5É', K( ). (2016cÆœåÆ) (A)β4ÿUdβ1, β2, β3Ç5L´; (B)β4ådβ1, β2, β3Ç5L´, L´{ÿçò; (C)β4ådβ1, β2, β3Ç5L´, ÖL´{çò; (D)β4Uƒdβ1, β2, β3Ç5L´ÿU(½. 12. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|•Ç5É'¥( ). (2010cÆâEåÆ) (A)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1; (B)α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3; (C)α1 + α2, α2 + α3, α3 − α1; (D)α1 + α2, 2α1 + α3, 3α3 + α1. 13. ï˛|α1, α2, α3Ç5Ã', Keï˛|•Ç5É'¥( ). (2011cÆâEåÆ) (A)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1; (B)α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3; (C)α1 − α2, α2 − α3, α3 − α1; (D)α1 + α2, 2α1 + α3, 3α3 + α1. 14. A è n ëÇ5òm V ˛Ç5CÜ, K£ ) A. A å_ø©7á^á¥Im A = V ; B. Im A + ker A = V ; C. dim Im A + dim ker A = n ; D. Im A ∩ ker A = {0} . 15. A è n ëÇ5òm V ˛Ç5CÜ, W1, W2, · · · , Wn è V 1ëfòm, Öè A ÿCfòm, XJ V = W1 + W2 + · · · + Wn, Kò½3 V •òáƒ, ¶ A 3dƒe› è( ) A. È› ; B. áÈ°› ; C. å_› ; D. È°› . 16. V è n ëÇ5òm, α1, α2, · · · , αn; β1, β2, · · · , βn ∈ V, Ö [α1, α2, · · · , αn] = [β1, β2, · · · , βn] A Ÿ • A è n ê , e(ÿ(k ( ) 6 厦门大学《高等代数》
A.当a1,a2,…,an为v的基时,B1,B2,…,Bn为V的基 B.当B1,B2,…,Bn为V的基时,a1,a2,……,an为V的基; C.当B1,B2,…,Bn为V的基,且A可逆时,a1,a2,…,an为V的基; D.只有当a1,a2,…,an为V的基,且A可逆时,B1,B2,…,Bn为V的基 三计算题 1.向量组 a1=(1,1,-1,0,2),a2=(0,1,1,1,-1),a3=(-1,0,2,1,-3),a4=(1,-1,-3,-2,4) 求出它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2009年北京工业大学 2.向量组 a1=(1,-1,0,2),a2=(1,1,1,-1),a3=(1,3,2,-4),a4=(5,1,3,1) 求出它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2010年北京工业大学 3.向量组 a1=(0,1,-1,1),a2=(1,-1,0,-1),a3=(2 (7 (1)求此向量组的秩; (2)求出它的一个极大线性无关组 (3)在(2)的基础上,把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2011年北京工业大学) 4.在R4中设a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),B1=(2,-1,0,1),B2=(1,-1,3,7).W=L(a1,a2)为a1,a2生 成的子空间,V=L(B1,B2)为1,B2生成的子空间.(2017年北京工业大学) (1)求W+V的维数与一组基; (2)求W∩v的维数与一组基 5.求以下向量组的秩 a1=(1,-1,2,1,0),a2=(2,-2,4,-2,0),a3=(3,0,6,-1,1),a4=(0,3,0,0,1) 再求出它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大线性无关组线性表出.(2011年北京交通大 学) 6.已知 7
A. α1, α2, · · · , αn è V ƒû, β1, β2, · · · , βn è V ƒ; B. β1, β2, · · · , βn è V ƒû , α1, α2, · · · , αn è V ƒ; C. β1, β2, · · · , βn è V ƒ, Ö A å_û, α1, α2, · · · , αn è V ƒ; D. êk α1, α2, · · · , αn è V ƒ, Ö A å_û, β1, β2, · · · , βn è V ƒ. n.OéK 1. ï˛| α1 = (1, 1, −1, 0, 2)0 , α2 = (0, 1, 1, 1, −1)0 , α3 = (−1, 0, 2, 1, −3)0 , α4 = (1, −1, −3, −2, 4)0 ¶—ßòá4åÇ5Ã'|, ørŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2009cÆÛíåÆ) 2. ï˛| α1 = (1, −1, 0, 2)0 , α2 = (1, 1, 1, −1)0 , α3 = (1, 3, 2, −4)0 , α4 = (5, 1, 3, 1)0 ¶—ßòá4åÇ5Ã'|, ørŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2010cÆÛíåÆ) 3. ï˛| α1 = (0, 1, −1, 1)0 , α2 = (1, −1, 0, −1)0 , α3 = (2, −1, −1, −1)0 , α4 = (7, −4, −3, −4)0 (1)¶dï˛|ù; (2)¶—ßòá4åÇ5Ã'|; (3)3(2)ƒ:˛, rŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2011cÆÛíåÆ) 4. 3R4•α1 = (1, 2, 1, 0), α2 = (−1, 1, 1, 1), β1 = (2, −1, 0, 1), β2 = (1, −1, 3, 7). W = L(α1, α2)èα1, α2) §fòm, V = L(β1, β2)èβ1, β2)§fòm. (2017cÆÛíåÆ) (1)¶W + V ëÍÜò|ƒ; (2)¶W ∩ V ëÍÜò|ƒ. 5. ¶±eï˛|ù: α1 = (1, −1, 2, 1, 0)0 , α2 = (2, −2, 4, −2, 0)0 , α3 = (3, 0, 6, −1, 1)0 , α4 = (0, 3, 0, 0, 1)0 2¶—ßòá4åÇ5Ã'|, ørŸ{ï˛^d4åÇ5Ã'|Ç5L—. (2011cÆœå Æ) 6. Æ α1 = 1 0 3 , α2 = 1 −1 a , α3 = 2 a + 1 1 , β = 1 1 b + 2 . 7 厦门大学《高等代数》
(1)a,b为何值时,B不能被a1,a2,a3线性表出? (2)a,b为何值时,B可由a1,a2,a3线性表出且表示法不唯一;此时写出其一般表达式.(2012年北京交 通大学 7.已知a1=(1,0,2,3),a2=(1,1,3,5),a1=(1,-1,a+2,1),a4=(1,2,4,a+8)及B=(1,1,b+3,5) (1)a,b为何值时,B不能表示成a1,a2,a3,a4的线性组合? (2)a,b为何值时,B可由a1,a2,a3,a4唯一线性表示并写出该表示式?.(2010年北京科技大学) 8.设V=4,V1=L(a1,a2,a3),V=L(B1,B2).其中a1=(1,2,-1,-3,a2=(-1,-1,2,1),a3= (-1,-3,0,5),B1=(-1,0,4,-2),B2=(0,5,9,-14).求 (1)v的维数与一组基; (2)V2的维数与一组基 (3)V1+V2的维数与一组基; (4)v∩V的维数与一组基.(2012年北京科技大学) 9.已知a1,a2,a3和B1,B2,B3都是向量空间v的一组基,且设(1,B2,B3)=(a1,a2,a3)A. (1)已知A=100,求一个三级排列1,1213,使得1,02a3:a1,B2a3a,a2,Aa3也是V的一组 01 基. (2)证明:在任何矩阵下,都可以找到一个三级排列i1,i2,i3,使得B1,a2,a3;a1,B2,a3;a1,a2,B3也 是V的一组基.(2016年北京科技大学 (1,-1,1),a3=(2,3,-1),B1=(1,1,1),B2=(1,2,3),B3=(2,0,1),证明 a1,a2,a3及1,B2,B3均是三维行空间的基,并求出a1,a2,a3到B1,B2,B3的过渡矩阵.(2015年北京师范 大学 11.给定R4的两个子空间 V={(x1,x2,x3,x4)12x1-x2+4x3-3x4=0,x1+x3-x4=0} V2={(x1,x2,x3,x4)|3x1+x2 0,7x1+7 分别求ⅵ+V,V∩V2的一个基和维数.(2012年大连理工大学) 12.设向量a1=(-1,-2,-1,0),a2=(1,-1,-1,-1),B1=(-2,10,-1,B2=(-1,1,-3,-7),记a1,a2生 成的子空间为L(a1,a2),B1,B2生成的子空间为L(B1,B2),求这两个子空间的交L(a1,a2)∩L(B1,B2)的 维数和一组基(请给出必要的计算步骤)(2013年湖南大学) 13.设a1,a2,…,an是n维线性空间v的一组基,B1=a1,B2=a1+a2,…,Bn=a1+a2+…+an是V的 组基,又若a∈V在前一组基下的坐标为(mn,n-1,…,2,1)2,求a在后一组基下的坐标(2014年湖 南大学)
(1)a, bè¤äû, βÿUα1, α2, α3 Ç5L—? (2)a, bè¤äû, βådα1, α2, α3Ç5L—ÖL´{ÿçò; dû—ŸòÑLà™. (2012cÆ œåÆ) 7. Æα1 = (1, 0, 2, 3)0 , α2 = (1, 1, 3, 5)0 , α1 = (1, −1, a + 2, 1)0 , α4 = (1, 2, 4, a + 8)09β = (1, 1, b + 3, 5)0 . (1)a, bè¤äû, βÿUL´§α1, α2, α3, α4Ç5|‹? (2)a, bè¤äû, βådα1, α2, α3, α4çòÇ5L´ø—TL´™? . (2010cÆâEåÆ) 8. V = R4 , V1 = L(α1, α2, α3), V2 = L(β1, β2). Ÿ•α1 = (1, 2, −1, −3), α2 = (−1, −1, 2, 1), α3 = (−1, −3, 0, 5), β1 = (−1, 0, 4, −2), β2 = (0, 5, 9, −14). ¶ (1)V1ëÍÜò|ƒ; (2)V2ëÍÜò|ƒ; (3)V1 + V2ëÍÜò|ƒ; (4)V1 ∩ V2ëÍÜò|ƒ. (2012cÆâEåÆ) 9. Æα1, α2, α3⁄β1, β2, β3—¥ï˛òmV ò|ƒ, Ö(β1, β2, β3) = (α1, α2, α3)A. (1)ÆA = 0 1 1 1 0 0 0 1 , ¶òán?¸i1, i2, i3, ¶βi1, α2, α3; α1, βi2, α3; α1, α2, βi3 è¥V ò| ƒ. (2)y²: 3?¤› e, —å±Èòán?¸i1, i2, i3, ¶βi1, α2, α3; α1, βi2, α3; α1, α2, βi3 è ¥V ò|ƒ. (2016 cÆâEåÆ) 10. Æα1 = (−3, 1, −2), α2 = (1, −1, 1), α3 = (2, 3, −1), β1 = (1, 1, 1), β2 = (1, 2, 3), β3 = (2, 0, 1), y²: α1, α2, α39β1, β2, β3˛¥në1òmƒ, ø¶—α1, α2, α3β1, β2, β3Lfi› . (2015cÆìâ åÆ) 11. â½R 4¸áfòm, V1 = {(x1, x2, x3, x4) 0 |2x1 − x2 + 4x3 − 3x4 = 0, x1 + x3 − x4 = 0} V2 = {(x1, x2, x3, x4) 0 |3x1 + x2 + x3 = 0, 7x1 + 7x3 − 3x4 = 0} ©O¶V1 + V2, V1 ∩ V2òáƒ⁄ëÍ. (2012cåÎnÛåÆ) 12. ï˛α1 = (−1, −2, −1, 0), α2 = (1, −1, −1, −1), β1 = (−2, 1, 0, −1), β2 = (−1, 1, −3, −7), Pα1, α2) §fòmèL(α1, α2), β1, β2)§fòmèL(β1, β2), ¶˘¸áfòmL(α1, α2) ∩ L(β1, β2) ëÍ⁄ò|ƒ.(ûâ—7áOé⁄½) (2013c HåÆ) 13. α1, α2, · · · , αn¥nëÇ5òmV ò|ƒ, β1 = α1, β2 = α1 +α2, · · · , βn = α1 +α2 +· · ·+αn ¥V ò|ƒ, qeα ∈ V 3cò|ƒeãIè(n, n − 1, · · · , 2, 1)T , ¶α3ò|ƒeãI. (2014 c HåÆ) 8 厦门大学《高等代数》
4.设向量a1=(1,2,1,0),a2=(-1,1,1,1),B1=(2,-1,0,1),B2=(1,-1,37),求a1,a2生成的子空 间ⅴ与向量组B1,B2生成的子空间为W的交V∩w的基和维数(请给出必要的计算步骤)(2015年湖南 大学) a1=0),a2=(00);3=/11 00 10 是数域P上的线性空间V=P2x2的一组基 (1)求由基 00 00 到基a1,a2,a3,a4的过渡矩阵 (2)求B 34)在基aa2,a3,a4下的坐标(209湖南师范大学) 16.已知数域P上的矩阵 令S(4)={B∈P2xAB=0}.证明:S(4)是矩阵空间P2×3的一个子空间,并求(A)的维数和一组 基.(2011年湖南师范大学) 17.设R4中的向量组 1),a2=(0,1,1,2),a3=(1,2,2,3) 它们生成的子空间为V,向量组 B1=(1,-1,-1,-3),B2=(-1,1,1,1),B3=(3.-3.-3,-7), 它们生成的子空间为V.求子空间v+V和V∩V的基和维数.(2010年华东师范大学 18.假设空间Q(有理数域)内有 (x)=3,s(y)=z,a(2)=x+y, 求满足条件的变换a生成空间的维数(2017年华中科技大学)
14. ï˛α1 = (1, 2, 1, 0), α2 = (−1, 1, 1, 1), β1 = (2, −1, 0, 1), β2 = (1, −1, 3, 7), ¶α1, α2)§fò mV Üï˛|β1, β2)§fòmèWV ∩ Wƒ⁄ëÍ.(ûâ—7áOé⁄½) (2015c H åÆ) 15. α1 = 1 0 0 0 ! , α2 = 1 1 0 0 ! , α3 = 1 1 1 0 ! , α4 = 1 1 1 1 ! ¥ÍçP˛Ç5òmV = P 2×2ò|ƒ. (1)¶dƒ ε1 = 1 0 0 0 ! , ε2 = 0 1 0 0 ! , ε3 = 0 0 1 0 ! , ε4 = 0 0 0 1 ! ƒα1, α2, α3, α4Lfi› ; (2)¶β = 1 2 3 4 ! 3ƒα1, α2, α3, α4eãI. (2009c HìâåÆ) 16. ÆÍçP˛› A = 1 −1 1 −1 1 −1 . -S(A) = {B ∈ P 2×3 |AB = 0}. y²: S(A)¥› òmP 2×3òáfòm, ø¶S(A)ëÍ⁄ò| ƒ. (2011c HìâåÆ) 17. R 4•ï˛| α1 = (1, 0, 0, −1), α2 = (0, 1, 1, 2), α3 = (1, 2, 2, 3), ßÇ)§fòmèV1, ï˛| β1 = (1, −1, −1, −3), β2 = (−1, 1, 1, 1), β3 = (3. − 3, −3, −7), ßÇ)§fòmèV2. ¶fòmV1 + V2⁄V1 ∩ V2 ƒ⁄ëÍ. (2010cu¿ìâåÆ) 18. bòm Q (knÍç)Sk A (x) = y, A (y) = z, A (z) = x + y, ¶˜v^áCÜ A )§òmëÍ.(2017cu•âEåÆ) 9 厦门大学《高等代数》
19.(20分)设R表示实数域,V=M3(R)表示所有3×3实矩阵构成的向量空间.对给定的 A∈M3(R),定义V上的线性变换a:V→V为 a(B)=AB-BA,对任意的B∈M3(R) 设 000 010 002 求的特征值和相应的特征子空间;并求此时a的极小多项式(2010年华中师范大学) 22-2 20.已知3维列向量(2,0,1)是3级实对称矩阵A=25b的特征向量 26a (1)求a,b的值 (2)求正交矩阵P使得P-1AP为对角矩阵,并给出这个对角矩阵.(2010年兰州大学) 21.设=(1,1,2)是实对称矩阵 223 的一个特征向量 (1)求a,b的值 (2)求正交矩阵T使得T-1AT为对角矩阵.(2016年兰州大学) 设 线性方程组Ax=b有解但是不唯 (1)求a的值 (2)求正交矩阵T使得T-14T为对角矩阵.(2017年兰州大学) a11a12a13 23.(20分)设三维线性空间v上的线性变换a在基1,=2,3下的矩阵为A=a21a22a23 a31a32a33 (1)求a在基E3,E2,E1下的矩阵 (2)求在基1,k,E3下的矩阵,其中k∈P且k≠0 (3)求a在基1+E2,E2,E3下的矩阵.(2011年南京师范大学) 24.设V为数域P上的3维线性空间,已知V上的线性变换T在基E1,E2,E3下的矩阵为 01-2 00-1
19. ( 20 ©) R L´¢Íç, V = M3(R) L´§k 3 × 3 ¢› §ï˛òm. Èâ½ A ∈ M3(R), ½¬ V ˛Ç5CÜ A : V → V è A (B) = AB − BA, È?øB ∈ M3(R) A = 0 0 0 0 1 0 0 0 2 ¶ A Aä⁄ÉAAfòm; ø¶dû A 4ıë™.(2010cu•ìâåÆ) 20. Æ3 ëï˛ (2, 0, 1)T ¥3 ?¢È°› A = 2 2 −2 2 5 b −2 b a Aï˛. (1) ¶ a, b ä; (2) ¶› P ¶ P −1AP èÈ› , øâ—˘áÈ› . (2010c=²åÆ) 21. ξ = (1, 1, 2)T ¥¢È°› A = a b 2 b 0 2 2 2 3 òáAï˛. (1) ¶ a, b ä. (2) ¶› T ¶ T −1AT èÈ› . (2016c=²åÆ) 22. A = 1 1 a 1 a 1 a 1 1 , b = (1, 1, −2)T , Ç5êß| Ax = b k)¥ÿçò. (1) ¶ a ä; (2) ¶› T ¶ T −1AT èÈ› . (2017c=²åÆ) 23. (20 ©) nëÇ5òmV ˛Ç5CÜA 3ƒε1, ε2, ε3 e› èA = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 . (1) ¶ A 3ƒ ε3, ε2, ε1 e› ; (2) ¶ A 3ƒ ε1, kε2, ε3 e› , Ÿ• k ∈ P Ö k 6= 0 ; (3) ¶ A 3ƒ ε1 + ε2, ε2, ε3 e› . (2011cHÆìâåÆ) 24. V èÍç P ˛3ëÇ5òm, Æ V ˛Ç5CÜ T 3ƒ ε1, ε2, ε3 e› è 1 0 −2 0 1 −2 0 0 −1 10 厦门大学《高等代数》