例9-6 设系统状态方程为 01 X X 2-3 试求状态方程的解
36 例9-6 x 2 3 0 1 x − − = 设系统状态方程为 试求状态方程的解
解 用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 (SI-A) 2s+3 (sl-A)-1 adj(SI-A s+3 =A(s+1(s+2)-2 s+3 (s+1)s+2)(+1)s+2)s+1s+2s+1s+2 2 2 (s+1s+2)(+1)s+2)」Ls+1s+2s+1s+2 37
37 解： + + + − + + + − + − + + − + = + + + + − + + + + + = − + + + = − − − = + − − = − s 2 2 s 1 1 s 2 2 s 1 2 s 2 1 s 1 1 s 2 1 s 1 2 (s 1)(s 2) s (s 1)(s 2) 2 (s 1)(s 2) 1 (s 1)(s 2) s 3 2 s s 3 1 (s 1)(s 2) 1 sI A adj(sI A) (sI A) 2 s 3 s 1 (sI A) 1 用拉氏变换求解。先求出矩阵指数
将上式进行拉氏反变换 2e 2t 2t e e e=L[(s-A)] 2e + 2e -2t Qe 2t e+ 状态方程之解为 x(t)=eAx(0)= 2e-e 2「x1(0 2e +2e -e+2e 21x2
38 状态方程之解为 − + − + − − = − = − − − − − − − − − − t 2t t 2t t 2t t 2t At 1 1 2e 2e e 2e 2e e e e e L [(sI A) ] − + − + − − = = − − − − − − − − x (0) x (0) 2e 2e e 2e 2e e e e x(t) e x(0) 2 1 t 2t t 2t t 2t t 2t At 将上式进行拉氏反变换
x1() x2() x1(0)=1 图9-9系统的瞬态解(a)与相轨迹(b)
39 图9-9 系统的瞬态解（a）与相轨迹（b）
2非齐次状态方程的解 非齐次方程 x(t)=Ax(t)+B()(9-53) 改写为 元(t)-Ax(t)=B(t at 用e 左乘等式两边 e[x(t)-Ax(t=le x(t=e Bu(t) dt (9-54)
40 改写为 x (t) − Ax(t) = Bu(t) 用 左乘等式两边 At e − 2 非齐次状态方程的解 非齐次方程 x (t) = Ax(t) + Bu(t) （9-53） [ ( ) ( )] [e x(t)] e Bu(t) dt d e x t Ax t −A t −A t −A t − = = （9-54）