让一证 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形对角线AC 与BD相交于点O,AC⊥BD 求证:ABCD是菱形 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 . OA=OC 又∵AC⊥BD, BD是线段AC的垂直平分线 D BA=BC 四边形ABCD是菱形(菱形的定义)
A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证
归纳总结 菱形的判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是萎形 D D AC⊥BD B B □ABCD 菱形ABCD 几何语言描述: 在 MABCD中,AC⊥BD ABCD是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结
典例精析 例1如图,ABCD的两条对角线AC、BD相交于点 0, AB-5 40=4 B0=3 求证:四边形ABCD是菱形 证明:OA=4,OB=3AB=5, ∴AB2=O42+OB2, △AOB是直角三角形, 即AC⊥BD B 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点 O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D O 又∵四边形ABCD是平行四边形， 证明：∵ OA=4,OB=3,AB=5， 即AC⊥BD， ∴ AB2=OA2+OB2 ， ∴△AOB是直角三角形， 典例精析 ∴四边形ABCD是菱形
例2如图矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于点E、F求证:四边形AFCE是菱 进:四边形ABCD是矩形 ∴AE∥FC,∴.∠1=∠2 EF垂直平分AC .A0=OC 又∠AOE=∠COF, B F ∴△AOE≌△COF,∴EO=FO 四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱 形． A B C E D F O 1 2 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形
练一练 在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,若 添加一个条件使得四边形ABCD是菱形,则这个条 件可以是 (B) A.∠ABC=90° B.AC⊥BD C. AB=CD D.AB∥CD
练一练 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若 添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条 件可以是 （ ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B