@第三章系统辨识与参数估计 e (k C(a 噪声模型 ARMA 控制模型 D(g u(k) v() b(g A(q 图31 CARMA模型 在任意时刻,只要已知该时刻及其之前的输入 在任意时刻,只要已知该时刻之前的输出、噪声; 则模型输出y(k)与未知参数a、b;、c;、d成线性关系,且误差为该时刻的白噪声 自适应控制系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院孙棣华
自适应控制 – 系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院 孙棣华 图3.1 CARMA模型 在任意时刻，只要已知该时刻及其之前的输入； 在任意时刻，只要已知该时刻之前的输出、噪声； 则模型输出y(k)与未知参数ai、 bi 、 ci 、 di成线性关系，且误差为该时刻的白噪声。 第三章 系统辨识与参数估计
@第三章系统辨识与参数估计 33线性差分方程模型的最小二乘法 331最小二乘法原理 个数学模型的未知参数应按下述原则进行选择:各实测值与模型计算值之差的平方乘以 度量其精度的数值后,所得的和值应最小 例如 y(t)=(1)01+2(t)2+…+gn(D)n (3.12) y():观测值 0=(61,2,…,On):未知参数向量 q()=[1(t),91(t)…,n():由其它变量决定的已知函数或可观测的 自适应控制系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院孙棣华
自适应控制 – 系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院 孙棣华 3.3 线性差分方程模型的最小二乘法 3.3.1 最小二乘法原理 一个数学模型的未知参数应按下述原则进行选择：各实测值与模型计算值之差的平方乘以 度量其精度的数值后，所得的和值应最小。 例如： (3.12) y(t)：观测值； ：未知参数向量 ； ： 由其它变量决定的已知函数或可观测的. n n y(t) = 1 (t)1 + 2 (t) 2 ++ (t) (t) T = ( , , , ) 1 2 n T = ( ) [ ( ), ( ), , ( )] 1 1 t t t t n T = 第三章 系统辨识与参数估计
@第三章系统辨识与参数估计 成对的观测值{[y()(i)i=1,2,…,t}可以由试验得到。 例31模型y(k)=-a(k-1)+bl(k-2)+E(k) 实测数据a(k)|-1011020010010991010001002001 y(k)0001-10305025013107054073036 1.03=-0.0la-101b+(1) 则 0.5=1.03a+1.02b+E(2) 0.36=0.73a+001b+6(8) 最小二乘法估计就是以E(1)+E(2)+…+E(8)最小为目标函数由方程组求未知参数a、 b的估计值 自适应控制系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院孙棣华
自适应控制 – 系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院 孙棣华 -1.01 1.02 0.01 -0.01 0.99 1.01 -0.99 0.01 -0.02 0.01 0 0.01 -1.03 0.5 0.25 0.13 1.07 0.54 -0.73 -0.36 成对的观测值 可以由试验得到。 例 3.1 模型 实测数据 则 最小二乘法估计就是以 最小为目标函数由方程组求未知参数a、 b的估计值。 {[ y(i),(i)], i =1,2, ,t} -1.01 1.02 0.01 -0.01 0.99 1.01 -0.99 0.01 -0.02 0.01 0 0.01 -1.03 0.5 0.25 0.13 1.07 0.54 -0.73 -0.36 u(k) y(k) y(k) = −ay(k −1) + bu(k − 2) + (k) − = + + = + + − = − − + 0.36 0.73 0.01 (8) 0.5 1.03 1.02 (2) 1.03 0.01 1.01 (1) a b a b a b (1) (2) (8) 2 2 2 + ++ 第三章 系统辨识与参数估计
@第三章系统辨识与参数估计 参数估计时,(3.12)可以改写为 y(1)=q(t)+E(t) E(t)=y(t)-y() 引入残差 E(t)=y(t)-(t)=y(1)-(1)6 Y(t)=[y(1),y(2),…,y() 且 E(t)=[E(1),E(2),…,E(t) 最小二乘误差可表示为: V(6,t)= 2(0)=2(-y(=2EE=2 (3.13) 式中 E=r-r=r-e Φ=[q(1)(2)…,q() (t)=Φb+E(t) 自适应控制系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院孙棣华
自适应控制 – 系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院 孙棣华 参数估计时，（3.12）可以改写为 引入残差 且 最小二乘误差可表示为： （3.13） 式中 ( ) ˆ y(t) (t) t T = + = − = ( ) ( ) ˆ( ) ˆ ˆ( ) ( ) t y t y t y t t T (t) y(t) y ˆ(t) y(t) (t) T = − = − ( ) [ (1), (2), , ( )] ( ) [ (1), (2), , ( )] E t t Y t y y y t = = 2 1 2 1 2 2 1 2 1 [ ( ) ( ) ] 2 1 ( ) 2 1 V( ,t) i y i t E E E T t i T t i = = − = = = = E = Y −Y ˆ = Y − T T T T = [ (1), (2), , (t)] Y(t) = + E(t) 第三章 系统辨识与参数估计
@第三章系统辨识与参数估计 当④1存在时,=ΦY,此时参数向量O的解是精确的 使最小二乘误差(313)式最小的参数θ满足ΦΦθ=ΦY,如果矩阵ΦΦ非奇异, 则此最小值是唯一的,θ由下式给出。 0=(ΦΦ)ΦY 证明:由(313) 2=EE=(Y-Φ6)(Y-Φ0)=YY-yΦ-0ΦY+0ΦΦ0(3.15) 由于矩阵ΦΦ非负定(等价于ΦΦ非奇异),所以Ⅴ有一最小值 自适应控制系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院孙棣华
自适应控制 – 系统辨识与参数估计 重庆大学自动化学院 孙棣华 当 存在时， ，此时参数向量 的解是精确的。 使最小二乘误差（3.13）式最小的参数 满足 ，如果矩阵 非奇异， 则此最小值是唯一的， 由下式给出。 证明：由 (3.13) (3.15) 由于矩阵 非负定（等价于 非奇异），所以 V 有一最小值： −1 Y −1 = ˆ Y T T ˆ = T ˆ Y T T = −1 ( ) ˆ = = − − = − − + T T T T T T T T 2V E E (Y ) (Y ) Y Y Y Y T T 第三章 系统辨识与参数估计