推论1对于正整数n, 正是因为这个原因,函数又称为阶乘函数 性质3互余宗量定理 r(z)r(1-z) 这个公式的证明见后面的第8.4节 推论2r(1/2) 只要在上面的性质3中代入z=1/2,并且注意r(1/2)>0因为被积函数值恒为正)即可得到 此结果 推论3r函数在全平面无零点 证因为π/sinπ2≠0,所以r(z)r(1-2)≠0,这样,如果在z=20点有r(20)=0,则 必有r(1-20)=∞,这只能发生在1-20=-n(亦即20=n+1),n=0,1,2,……时.但此时 r(x0)=r(n+1)=n!,与所设矛盾.因此r函数在全平面无零点,口 图83中给出了r(x)(x为实数)的图形.它从实数范围直观地表现出这个推论以及r函数的 奇点分布 图8.3自变量取实数时的r函数值 性质4倍乘公式 r(2)=2 2(+) 这个公式的证明也见8.4节
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 5 ✝ ❜❝ 1 rs✈✇✔ n ✪ Γ (n) = (n − 1)!. ✈ ✛ ❃✦✜✢❞❃✪ Γ ✓✔❋✥✦❡❢✓✔✳ ✠✡ 3 ❣❤✐✮ ✙✱ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz . ✜✢❥ ➼✕❤ ✐❶➺❝ ✕ ✧ 8.4 ❦✳ ❜❝ 2 Γ (1/2) = √ π ✳ ♠❑ ❉ ②❝✕➆❧ 3 ✬❥☛ z = 1/2 ✪❫❴♠✉ Γ (1/2) >0 (❃✦❬✣✓✔♥♦✦✈ ) ➚❢➀➍ ⑥ ➩õ✳ ❜❝ 3 Γ ✓✔❉❛❜❝●♣ ⑧✳ ☞ ❃✦ π/sin πz 6= 0 ✪■❏ Γ (z) Γ (1 − z) 6= 0 ✳ ✜❹✪➥ õ ❉ z = z0 ⑧ ⑩ Γ (z0) = 0 ✪q r⑩ Γ (1 − z0) = ∞ ✳ ✜♠➨➞s❉ 1 − z0 = −n (t➚ z0 = n + 1) ✪ n = 0, 1, 2, · · · ❩✳ù⑥❩ Γ (z0) = Γ (n + 1) = n! ✪✉■✈✇①✳ ❃ ⑥ Γ ✓✔❉❛❜❝●♣ ⑧✳ ❷ 8.3 ✬② ➝③ Γ(x)(x ✦ ↔✔) ✕❷④✳ ❆➜ ↔✔⑤ ➢î⑥⑦❦⑧ ➝ ✜✢⑨❚❏⑩ Γ ✓✔✕ ❶ ⑧ ✤❷ ✳ ❸ 8.3 ❸ ❹❺❻❼❽❾❿ Γ ➀ ❽➁ ✠✡ 4 ➂ ❢❥➼ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ z + 1 2 . ✜✢❥ ➼✕❤ ✐➅ ❶ 8.4 ❦✳
性质5r函数的渐近展开,即 Stirling公式:当|2|→∞,|argx<π时,有 r()x231/2e-豇1++~1 571 12z288z251840232488320 Inr(a) 11m2=2+1n(27)+ 122-36023126025-168027 在物理中更常用的结果是 Inn!nInn-
§8.2 Γ ✄☎➇✁✂✄☎ ✆ 6 ✝ ✠✡ 5 Γ ✓✔✕➃➄óô✪ ➚ Stirling ❥ ➼➯❨ |z| → ∞ ✪ | arg z| < π ❩ ✪⑩ Γ (z) ∼ z z−1/2 e −z √ 2π n 1 + 1 12z + 1 288z 2 − 139 51840z 3 − 571 2488320z 4 + · · ·o , ln Γ (z) ∼ z − 1 2 ln z − z + 1 2 ln(2π) + 1 12z − 1 360z 3 + 1 1260z 5 − 1 1680z 7 + · · · . ❉➅✱ ✬➆ ✗✘✕➩õ✛ ln n! ∼ n ln n − n