Sin o ωo; 例1.7验证傅里叶核f(t) 与F(O)= 丌t 0其它 构成傅氏变换对 F(oe obd0“2 d e 丌t F()与f(t)构成傅氏变换对 2傅里叶变换的性质 (1)线性性质 F[c(1)+B()=aF[f()]+BF[g() (1.12) F[cF()+BG()]=aF[F(o)]+BF[G(o)(1.13) 其中,α,B是常数 例1.8已知F(O) 求F[F(OD月 (3+Oi)(4+3oi) 5 解 1/5 3+oi(4+3oi)4/3+oi3+oi e t≥0 4/3+oi t<0. 3+oi0,t<0. 故由线性性质得: e ≥0 (2)位移性质:
例 1.7 验证傅里叶核 t t tf π sin )( ω0 = 与 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ = . 0 ;|| 1 )( 0 其它 ω ω F ω 构成傅氏变换对. 解 Q t t F t t π sin de 2π 1 de)( 2π 1 i 0 i 0 0 ω ωω ω ω ω ω ω ∫ = ∫ = − ∞+ ∞− ∴F ω)( 与 f t)( 构成傅氏变换对. 2 傅里叶变换的性质 （1）线性性质： F αf t + βg t)]()([ =α F f t)]([ + β F g t)]([ , (1.12) F-1 αF ω + βG ω)]()([ =α F-1 F ω)]([ + β F-1 G ω)]([ (1.13) 其中, α ,β 是常数. 例 1.8 已知 i)34i)(3( 1 )( ωω ω ++ F = ，求F-1 F ω)]([ . 解 Q i3 51 i34 51 i)34i)(3( 1 ωω +ωω − + = ++ F-1 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − .0 ,0 ;0 ,e i34 1 3 4 t t t ω F-1 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − .0 ,0 ;0 ,e i3 1 3 t t t ω 故由线性性质得: F-1 [ ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − ≥ = − − ,0 .0 ;0 ,e 5 1 e 5 1 )( 3 3 4 t t F t t ω （2）位移性质: 11
E[f(t-10)=e-mo[f(t)], (1.14) FF(o-Oo=eo f(r), (1.15) 其中t和o是常数 证F[F(O-00) F(o-Ooeloda F(o-Ooeo-ooeloo'd(@-Oo 2π 10 F[F()] 式(1.14)可类似证之 例1.9已知F(O)= (B>0),求F[F(月 B+(+O0) 解∵F(O-O0) 十1O t≥0 F[F(O-o]=e[F(oI 0 t<0 -(B+iOo ) t≥0 ∴F[F(O)= t<0 例1.10证明 [f()sino0=[F(+oo)-F(-00) 证:f(D) sin oot=f(t)(e 21 f(te f(te 21 2 1 F(o-Oo)=ELf(redo. F(o+o=ff(oe- oo
F 0 i 0 e)]([ t ttf − ω =− F f t)]([ , (1.14) F-1 t F 0 i 0 e)]([ ω ωω =− f t)( , (1.15) 其中 0t 和ω0是常数. 证 F-1 ωω ωωω ω de)( 2π 1 )]([ i 0 0 t F ∫ F ∞+ ∞− =− − )d(ee)( 2π 1 0 i)i( 0 ωω 0 0 ωω ωωω = − − ∞+ − ∫ ∞− tt F t 0 i e ω = F-1 F ω)]([ . 式(1.14)可类似证之. 例 1.9 已知 )i( 1 )( ωωβ 0 ω ++ F = (β > 0)，求F-1 F ω)]([ . 解 Q ωβ ωω i 1 )( 0 + F =− F-1 t F 0 i 0 e)]([ ω ωω =− F-1 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − .0 ,0 ;0 ,e )]([ t t F βt ω ∴F-1 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = +− .0 ,0 ;0 ,e )]([ )i( 0 t t F ωβ t ω 例 1.10 证明 F )]()([ 2 i ]sin)([ ω0 Fttf 0 F −−+= ωωωω 0 . 证 Q )e(e i2 1 )(sin)( 0 0 ii 0 tt tfttf ω ω ω − = − t t tftf 0 0 i i e)( i2 1 e)( i2 1 ω − ω = − F ω ω0 )( =− F ]e)([ 0 i t tf ω ， F ω +ω0 )( =F ]e)([ 0 i t tf − ω 12