第6章保形映照 本章从几何方面讨论解析函数的性质复变函数w=f()将z平面上的点集D映照或 变换为w平面上的点集G=f(D),因此几何上复变函数也称为复映照,解析函数称为解析映 照.通过解析映照常常可以把比较复杂的区域变换为比较简单的区域,从而使问题得到简 化 本章从解析函数的导数的几何意义引出保形映照的概念,着重讨论常用的分式线性函 数所构成的保形映照的特性 6.1导数的几何意义及保形映照的概念 6.1.1曲线的切向量 设C为平面上的一条简单光滑曲线,参数方程为:x=x(),y=y(1)(a≤t≤B).曲线C 上对应于参数t的点的切线向量为:{x(t),y()} 在复平面上,曲线C可表示为 从而二()=x(1)+()表示曲线C上x()点的切线向量,angx(1)表示C在x()处的切线 向量的幅角 6.1.2导数的几何意义 设w=f(=)是区域D内的解析函数,a∈D,10=f(-0)且f(=0)≠0.考虑D内过=0的 一条简单光滑曲线C (r)=x(t)+iy(t)(a≤t≤B,=(0)==0) 显然,函数w=f(z)把简单光滑曲线C映照成过w=f(z0)的一条简单曲线r w=f(z(t)(a≤t≤B) 因为()=f(()=(),可见r也是一条光滑曲线它在点v的切线与实轴的夹角是 arg(f(=0)2(0)=argf(=0)+arg(t0) 于是有 argf(=0)=arg(f(-0)-()-arg(0) 故argf(=0)表示:曲线C在点的切线在w=f()的映照下转动的角度即曲线C在 f()的映照下在0处的转动角这一数值与曲线C的形状及方向无关 设在D内过=还有一条简单光滑曲线C1:z=z1(1).函数w=f()把它映照成为一条简 单光滑曲线I1:w=f(=1(1),同样的,C1及在=0及1处切线与实轴的夹角分别是 arg=()5 argL((Lo))=(o)]=argf (=o)+arg=(o) argtf(=1()(4)-agf(=()x(=agx(n)-agz(4), 等式的左端为r与在处切线的夹角也就是r与T1的夹角;等式的右端为C与C1 在二0处切线的夹角,也就是曲线C与C1的夹角因此上式说明:用解析函数w=f(=)
第 6 章 保形映照 本章从几何方面讨论解析函数的性质.复变函数 w fz = ( )将 平面上的点集 映照或 变换为 平面上的点集 ,因此几何上复变函数也称为复映照，解析函数称为解析映 照.通过解析映照常常可以把比较复杂的区域变换为比较简单的区域，从而使问题得到简 化.. z D w G fD = ( ) 本章从解析函数的导数的几何意义引出保形映照的概念，着重讨论常用的分式线性函 数所构成的保形映照的特性. 6.1 导数的几何意义及保形映照的概念 6.1.1 曲线的切向量 设C 为平面上的一条简单光滑曲线，参数方程为：x = x t( ) ，y yt = ( ) (α ≤ ≤t β ).曲线C 上对应于参数t 的点的切线向量为： ' ' { ( ), ( )} x t yt . 在复平面上，曲线 可表示为 C z t x t iy t () () () = + . 从而 '' ' z () () () t x t iy t = + 表示曲线C 上 点的切线向量， z t( ) ' arg ( ) z t 表示 C 在 处的切线 向量的幅角. z t( ) 6.1.2 导数的几何意义 设 是区域 内的解析函数， w fz = ( ) D 0 z D ∈ ， 0 0 w fz = ( ) 且 ' 0 f z() 0 ≠ .考虑 内过 的 一条简单光滑曲线 ： D 0 z C z t x t iy t () () () = + (α ≤ t ≤ β ， 0 zt z ( ) = 0 ). 显然，函数w=f(z)把简单光滑曲线C映照成过w0=f(z0)的一条简单曲线Γ： w=f(z(t)) (α≤t≤β). 因为 w t f zt z t ''' ( ) ( ( )) ( ) = ，可见Γ 也是一条光滑曲线.它在点 w0 的切线与实轴的夹角是 '' ' ' 0 0 0 0 arg( ( ) ( )) arg ( ) arg ( ) f z zt f z zt = + ， 于是有 ' '' 0 00 arg ( ) arg( ( ) ( )) arg ( ) ' 0 f z f z zt z = − t . 故 ' 0 arg ( ) f z 表示：曲线 在 点的切线在 C 0 z w fz = ( )的映照下转动的角度即曲线C 在 w fz = ( )的映照下在 z0 处的转动角.这一数值与曲线C 的形状及方向无关. 设在 内过 还有一条简单光滑曲线 ： D 0 z C1 1 z zt = ( ) .函数 w fz = ( )把它映照成为一条简 单光滑曲线 ：Γ1 1 w fzt = ( ( )) ，同样的， 及C1 Γ1在 及 处切线与实轴的夹角分别是 0 z w0 ' 1 0 arg ( ) z t 与 '' ' ' 10 10 0 10 arg[ ( ( )) ( )] arg ( ) arg ( ) f zt zt f z zt = + . 于是 ' ' '' ' ' 10 10 0 0 10 0 arg[ ( ( )) ( )] arg[ ( ( )) ( )] arg ( ) arg ( ) f z t z t f zt z t z t z t − =− ， 等式的左端为Γ 与 在 处切线的夹角也就是 Γ1 w0 Γ 与Γ1的夹角；等式的右端为C 与 在 处切线的夹角，也就是曲线 与 的夹角.因此上式说明：用解析函数 C1 0 z C C1 w f = (z)
(f()≠0)作映照时,曲线间的夹角的大小及方向保持不变这一性质称为解析映照的保角 性. 下面再说明解析函数导数的模的几何意义,由导数的定义 ∫(=。)|=lim J(=)-f(=0) 因而f(=0)可以近似表示比值 (=)-f(=0) 在w=f()所作映照下,|z-=01及 f()-f(=0)分别表示二平面上向量z-及w平面向量f(x)-f(=0)的长度.当|=-=0|较小 时,|f(x)-f(=0)近似表示经过映照后,1f(x)-f(=)关于|-=01的伸缩倍数,而且这 倍数与向量x-=0的方向无关.因此我们把|∫(=0)|称为映照在点=0的伸缩率 6.1.3保形映照的概念 现在用几何直观来说明解析映照的意义 设w=f()是在D内解析的函数,=∈D,m0=f(=),∫(=0)≠0,则w=f(z)把=0的 小邻域内任一小三角形映照为含w的一个区域内的曲边三角形.这两个三角形对应角相 等,对应边近似地成比例因此这两个三角形近似地是相似形.另外,w=f()还把半径充分 小的圆|二-=}r近似地映照成圆|-mHf(二a)|r 由以上分析,称解析函数w=f()(∫(xa)≠0)所确定的映照为保形映照,也称为共形 映照或保角映射.这种映照的特点是把z平面上的区域变换为w平面上的区域,在实施变换 的每一点上具有保角性 6.2分式线性函数及其映照性质 6.2.1分式线性函数 线性函数是复变函数论及其应用中经常用到的工具,在保形映照的一般理论以及某些 简单区域的保形映照中都要应用到它 定义6.1形如 (6.1) 的函数称为分式线性函数其中ad-bc≠0,a,b,c及d是复常数 由于ad-bc≠0,所以=如-bc≠0,从而函数(6.1)不恒等于常数 dz(c+d 函数(6.1)的反函数为 (6.2) 因为(-d)(-a)-bc=ad-bc≠0,所以函数(6.2)亦为分式线性函数 显然,当c=0时,函数(6.1)为z平面的解析函数,函数(6.2)为w平面的解析函数且 两个函数的导数均恒不为零当c≠0时,函数(6.1)在=平面上除去d外处处解析且导数
( )作映照时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变.这一性质称为解析映照的保角 性. ' f z() 0 ≠ 下面再说明解析函数导数的模的几何意义，由导数的定义： ' ( ) ( ) 0 | () f z | = 0 0 0 mz z f li z fz → z z − − | , ( ) ( ) 0 0 zz zfzf − − 因而 ' 0 | () f z 可以近似表示比值 .在 w fz = ( )所作映照下， 及0 | | z z − 0 | ( ) ( )| f z fz − 分别表示 平面上向量 z 0 z z − 及 平面向量 w 0 f () ( ) z fz − 的长度.当 较小 时， 0 | z z − | | ' ' 0 | () ( ) f z fz − 近似表示经过映照后， 0 | ( ) ( )| f z fz − 关于 0 | z z − | 的伸缩倍数，而且这一 倍数与向量 的方向无关.因此我们把 | 0 z z − ' 0 | () f z 称为映照在点 z0 的伸缩率. 6.1.3 保形映照的概念 现在用几何直观来说明解析映照的意义. 设 是在 内解析的函数， w fz = ( ) D 0 z D ∈ ， 0 0 w fz = ( ) ， ' 0 f z() 0 ≠ ，则 把 的 一小邻域内任一小三角形映照为含 的一个区域内的曲边三角形.这两个三角形对应角相 等，对应边近似地成比例.因此这两个三角形近似地是相似形.另外， w fz = ( ) 0 z w0 w fz = ( )还把半径充分 小的圆 近似地映照成圆 | | zz r − = 0 . ' 0 0 | || ( ) ww fz r − = | 由以上分析，称解析函数 w fz = ( ) ( ' 0 f z() 0 ≠ )所确定的映照为保形映照，也称为共形 映照或保角映射.这种映照的特点是把 平面上的区域变换为 平面上的区域，在实施变换 的每一点上具有保角性. z w 6.2 分式线性函数及其映照性质 6.2.1 分式线性函数 线性函数是复变函数论及其应用中经常用到的工具，在保形映照的一般理论以及某些 简单区域的保形映照中都要应用到它. 定义 6.1 形如 az b w cz d + = + (6.1) 的函数称为分式线性函数.其中 ad bc − ≠ 0 ， 及 abc , , d 是复常数. 由于 ，所以 ad bc − ≠ 0 ( )2 0 d ad bc dz cz d ω − = + ≠ ，从而函数(6.1)不恒等于常数. 函数(6.1)的反函数为 d b z c a ω ω − + = − ， (6.2) 因为( )( ) − −− = − ≠ d a bc ad bc 0 ，所以函数(6.2)亦为分式线性函数. 显然，当 时，函数(6.1)为 平面的解析函数，函数(6.2)为 平面的解析函数且 两个函数的导数均恒不为零.当 时，函数(6.1)在 平面上除去 c = 0 z w c ≠ 0 z d c − 外处处解析且导数
不为零;函数(6.2)在w平面上除去一外处处解析且导数不为零.从而由分式线性函数(6.1) 确定的映照在去掉z=--的区域内为保形映照.对函数(6.2)也有类似结论 在扩充的复平面上,当c=0时,我们视函数(6.1)及函数(6.2)分别把z=∞与w=∞映 照成w=∞与z 当c≠0时,我们视函数(6.1)把z=-—映照成w=∞,把z=∞映照成 P=.而函数(6.2)分别把=但与w=映照成z=m与:=-2.于是函数(.1)与函数(6.2) 在扩充z平面与扩充v平面之间确立了一一对应的映照 若f(=0)=∞,则t f()=0,规定若t=1把=的一个邻域保形映照为t=0的 个邻域,则称w=f()把z=z的一个邻域保形映照成w=∞的一个邻域对函数 Wp=a+b 取 c,则由1=c+d 在=点的解析性及 ≠0可知 c+d Oa十 的充分小邻域保形映照为t=-=0的一个邻域,于是函数(6.1)在扩充 平面与扩充γ平面之间建立了保形映照 般地,分式线性函数(6.1)可视为由下列四种简单函数复合而得: 1°=z+a,其中a为一复数 2°w=e",其中θ为一实数 3°w=r,其中r为一正实数; 实际上,当c=0时,函数(6.1)可表示为 当c≠0时,函数(6.1)可表示为 a+b a bc-ad c+d c 把z平面和w平面叠合在一起,我们讨论上述四种简单函数的映照性质 1°w=z+a 令二=x+,w=+n,a=a+ib,则有u=x+a,v=y+b.于是w=z+a确定了一个平 因为e"=cos+isin,z=|-l( casar=+ IsInarg=)所以 w"=e"z==|( cos(arg=+O)+isin(argz+O),w的模与z的模相同,而v的辐角是z的辐角加 θ,故w=e-确定了一个旋转
不为零；函数(6.2)在 w 平面上除去 c a 外处处解析且导数不为零.从而由分式线性函数(6.1) 确定的映照在去掉 d z c = − 的区域内为保形映照.对函数(6.2)也有类似结论. 在扩充的复平面上，当c = 0 时，我们视函数(6.1)及函数(6.2)分别把 z = ∞ 与 w = ∞ 映 照成 与 ；当 w = ∞ z = ∞ c ≠ 0时，我们视函数(6.1)把 d z c = − 映照成 w = ∞ ，把 映照成 z = ∞ a w c = .而函数(6.2)分别把 a w c = 与 w = ∞ 映照成 z = ∞ 与 d z c = − .于是函数(6.1)与函数(6.2) 在扩充 平面与扩充 z w 平面之间确立了一一对应的映照. 若 ，则 0 f z( ) = ∞ ( ) 0 0 1 t 0 f z = = .规定若 ( ) 1 t f z = 把 0 z z = 的一个邻域保形映照为 的 一个邻域，则称 把 的一个邻域保形映照成 t = 0 w fz = ( ) 0 z z = w = ∞ 的一个邻域.对函数 az b w cz d + = + ，取 0 d z c = − ，则由 1 cz d ω az b + = + 在 点的解析性及 0 z 0 1 0 ω z z = = ， 0 1 0 z z ω = ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≠ ⎝ ⎠ 可知 1 cz d ω az b + = + 把 0 d z c = − 的充分小邻域保形映照为 1 t ω = =0 的一个邻域，于是函数(6.1)在扩充 平面与扩充 平面之间建立了保形映照. z w 一般地，分式线性函数(6.1)可视为由下列四种简单函数复合而得： 1° w z = +α ， 其中 a 为一复数； 2° i w ez θ = ，其中θ 为一实数； 3° w rz = ， 其中 r 为一正实数； 4° 1 w z = . 实际上，当c = 0 时，函数(6.1)可表示为 az b a b w z dd a + ⎛ ⎞ = =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 当c ≠ 0时，函数(6.1)可表示为 2 az b a bc ad w cz d c d c z c + − = =+ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ . 把 平面和 z w 平面叠合在一起，我们讨论上述四种简单函数的映照性质. 1° w z = +α . 令 z = +x iy , w u iv = + ,α = + a ib ，则有u xa = + , v yb = + .于是 w z = +α 确定了一个平 移. 2° i w ez θ = . 因为 cos sin i e i θ = + θ θ ， z z zi z = + | | (cosarg sin arg ) 所以 | | (cos(arg ) sin(arg )) i w ez z z i z θ = = ++ + θ θ ， 的模与 的模相同，而 的辐角是 的辐角加 w z w z θ ，故 i w ez θ = 确定了一个旋转. 3° w rz =
显然w与z的辐角相同,而模为z的模的r倍,故w=r确定了一个以原点为心的相似 映照 例如:平面上以0,22为顶点的长方形,经过保形映照 v=2(1+i)2+(2-1), 变换成w平面上以2-i,3,i,1+2i为顶点的长方形,其变换过程如图6.2 在讨论=-的映照性质之前,我们先引进一个定义,设已给圆C:|z-=0=R (0<R<+∞),若有限点及z2在过=0的同一射线上,并且|1--0=2-=0=R2,那么我们说1 及z2是关于圆C的对称点,我们还称=与∞对称 映照w=-可视为下列两个映照复合而成 显然,w=三确定关于实轴的对称映照,而=将映照为三,其辐角与:相同 arg==-arg==arg= 模1=H上=1,即有1=1==1,从而,=关于单位圆|=1对称故=由关于单位圆对 称的映照x1=和关于实轴的对称映照w=叠合而得 6.2.2分式线性函数的映照性质 下面讨论一般分式线性函数的映照性质.约定把扩充复平面上任一直线看成半径为无 穷大的圆 定理6.1在扩充复平面上,分式线性函数把圆映照成为圆.(分式线性函数的保圆性) 证明上一段已知分式线性函数所确定的映照,是由平移、旋转、相似映照及函数v=1 所确定的映照组成的,前三种映照显然把圆映照成为圆,因而只须证明w=-也把圆映照成 为圆 圆的一般方程为 a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a=0时蜕化为直线).(6.3) 若令:=x+y,则有x2+y2=三,x=,y=三,代入式(6.3)中即得圆的复数表示 Bx+B+d=0,(6.4)
显然 与 的辐角相同，而模为 的模的 倍，故 w z z r w rz = 确定了一个以原点为心的相似 映照. 例如： 平面上以 ， z 0 2 1 ， ，i 1 2 + i 为顶点的长方形，经过保形映照 w iz = + +− 2(1 ) (2 )i ， 变换成 w 平面上以 ， 2 − i 3 , ,i 1+ 2i 为顶点的长方形，其变换过程如图 6.2. 4° 1 w z = . 在讨论 1 w z = 的映照性质之前，我们先引进一个定义，设已给圆 ：C 0 | | zz R − = ( 0 < < +∞ R ),若有限点 z1及 在过 的同一射线上，并且 2 z 0 z 2 1 02 0 | || | z − zz z R − = ，那么我们说 及 是关于圆 的对称点，我们还称 与∞对称. 1z 2 z C 0 z 映照 1 w z = 可视为下列两个映照复合而成： 1 1 z z = ， w z = 1 . 显然， w z = 1 确定关于实轴的对称映照，而 1 1 z z = 将 映照为 ，其辐角与 z z1 z 相同： 1 arg arg arg z =− =z z ， 模 1 1 1 | || | | | z z z = = ，即有 ，从而 | || | 1 z z 1 = z ， 关于单位圆 1z | |1 z = 对称.故 1 w z = 由关于单位圆对 称的映照 1 1 z z = 和关于实轴的对称映照 w z = 1 叠合而得. 6.2.2 分式线性函数的映照性质 下面讨论一般分式线性函数的映照性质.约定把扩充复平面上任一直线看成半径为无 穷大的圆. 定理 6.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映照成为圆.(分式线性函数的保圆性) 证明 上一段已知分式线性函数所确定的映照，是由平移、旋转、相似映照及函数 1 w z = 所确定的映照组成的，前三种映照显然把圆映照成为圆，因而只须证明 1 w z = 也把圆映照成 为圆. 圆的一般方程为 2 2 a x y bx cy d ( ) + + + += 0 ( a = 0 时蜕化为直线). (6.3) 若令 z = +x iy ，则有 2 2 x + = y zz ， 2 z z x + = ， 2 z z y i − = ，代入式(6.3)中即得圆的复数表示： azz z z d + + += β β 0 ， (6.4)
其中abcd是实常数,B=1(b+1)是复常数将=1代入式(6.4得 doo+ Bo+Bo+a=0 dx2+y2)+bm-c+a=0(m=+) 表示w平面上的圆(d=0时,表示一条直线),故w=-将圆映照成圆. 设分式线性函数(6.1)把扩充z平面上的圆C映照成扩充w平面上的圆C,C与C分 别把扩充z平面及扩充w平面分成不相交的两部分,从而函数(6.1)把z平面上以C为边界 的两部分,分别映照为w平面上以C为边界的两部分.那么,C的“内部”究竟映照成C的 内部”还是映照成C的“外部”呢?这可由不在圆上的任一点的映照来确定.如若圆C及C 的半径都是有限的,而函数(6.1)在C的内部有极点,那么它把圆C的内部映照成为圆C的 外部(因为它把极点映照为w平面上的无穷远点):反之若函数(6.1)的极点(z=--)在C的 外部,那么它把圆C的内部映照成圆C的内部 定理6.1说明分式线性函数把扩充z平面上的圆映照成为扩充w平面上的圆,那么在 扩充z平面及扩充w平面上分别取定一圆C及C,是否可以找到一个分式线性函数,它把 映照成C? 定理62对于扩充二平面上任意三个不同的点,x23以及扩充v平面上任意三个不 同的点,2,m3,在唯一的分式线性函数,把z1,z2,3分别映照成n,m2,n3 证分两种情形 给定各点都是有限点 设所求分式线性函数为 b 则由 =+b (k=1,2,3),(6.5) 算出w-1,w-w2,n-1,w3-2消去a,b,c,d即得 )3-01 (6.6) 由式(6.6)即可解出所求的分式线性函数,又求此函数时,只要求它满足式(6.5),所 以它是把x1,23分别映照成w1,2,W3的唯一的分式线性函数 2°给定各点中含无穷远点 不妨设2=∞,其它点为有限点,将w3=∞换成任一有限点3,我们仍可得出式(6.6) 再令n3→∞,即得
其中 是实常数， abcd ,,, 1 ( 2 β = +b ic)是复常数. 将 1 z ω = 代入式(6.4)得 d a ωω βω βω + + += 0 , 即 2 2 d u v bu cv a ( ) + + − += 0 ( w u iv = + ) 表示 平面上的圆( 时,表示一条直线)，故 w d = 0 1 w z = 将圆映照成圆. 设分式线性函数(6.1)把扩充 平面上的圆 映照成扩充 平面上的圆 ， 与 分 别把扩充 平面及扩充 平面分成不相交的两部分，从而函数(6.1)把 平面上以 为边界 的两部分，分别映照为 平面上以 为边界的两部分.那么，C 的“内部”究竟映照成 的 “内部”还是映照成 的“外部”呢?这可由不在圆上的任一点的映照来确定.如若圆 及 的半径都是有限的，而函数(6.1)在 的内部有极点，那么它把圆 的内部映照成为圆 的 外部(因为它把极点映照为 平面上的无穷远点)；反之若函数(6.1)的极点( z C w ' C C ' C z w z C w ' C ' C ' C C ' C C C ' C w d z c = − )在 的 外部，那么它把圆 的内部映照成圆 的内部. C C ' C 定理 6.1 说明分式线性函数把扩充 平面上的圆映照成为扩充 平面上的圆，那么在 扩充 平面及扩充 平面上分别取定一圆C 及 ，是否可以找到一个分式线性函数，它把C 映照成 ? z w z w ' C ' C 定理 6.2 对于扩充 平面上任意三个不同的点 以及扩充 平面上任意三个不 同的点 ,在唯一的分式线性函数，把 分别映照成 . z 123 zz z , , w 123 www , , 123 zz z , , 123 www , , 证 分两种情形 1° 给定各点都是有限点 设所求分式线性函数为 az b w cz d + = + ， 则由 k k k az b w cz d + = + (k=1，2，3)， (6.5) 算出 w ww ww ww w −− − − 1 23 13 ,, , 2 消去 即得 abcd ,,, 2 1 ωω ω ω − − ∶ 23 13 ωω ω ω − − = 2 1 zz zz − − ∶ 23 13 zz zz − − . (6.6) 由式(6.6)即可解出所求的分式线性函数，又求此函数时，只要求它满足式(6.5)，所 以它是把 分别映照成 zz z 123 , , www 123 , , 的唯一的分式线性函数. 2° 给定各点中含无穷远点. 不妨设 ，其它点为有限点，将 w3 = ∞ w3 = ∞ 换成任一有限点 ，我们仍可得出式(6.6)， 再令 ，即得 ' w3 ' w3 → ∞ 2 1 ωω ω ω − − = 2 1 zz zz − − ∶ 23 13 zz zz − −