1.2傅里叶变换 1傅里叶变换的定义 2傅里叶变换的性质
1.2 傅里叶变换 1 傅里叶变换的定义 2 傅里叶变换的性质 6
1傅里叶变换的定义 定义1.2设∫().为定义在(-∞,+∞)上的函数,由傅里叶积分 F(o)of(oe-odt (1.2) 建立的从f()到F(O)的对应称作傅里叶变换(简称傅氏变换) 用字母F表达,即 ()=F[f(t) 积分 f(r)=F(oedo 2π 一0 建立的从F(O)到∫(1)的对应称作傅里叶逆变换,用字母F表达,即 f(0=F[F(O) f()称作F变换的像原函数,F()称作F变换的像函数 例1.4求钟形脉冲函数 f(o=Ee-B12 B>0) 的傅氏变换 解F(O)=Ef()=」f()edt B(1+)2 Er e 2p e 4pdt 若令z=t+1,则 2B BO 2p dt +∞ -βd二 e 2B 欲求之,作图1.2所示闭路曲线ABCD
1 傅里叶变换的定义 定义 1.2 设 f t)( 为定义在 −∞ + ∞),( 上的函数,由傅里叶积分 ∫ ∞+ ∞− − = ttfF t de)()( iω ω (1.2) 建立的从 f t)( 到F ω)( 的对应称作傅里叶变换（简称傅氏变换）, 用字母 F 表达,即 F ω)( = F[ f t)( ]. (1.3) 积分 ∫ ∞+ ∞− = ωω ω de)( 2π 1 )( i t Ftf 建立的从 F ω)( 到 f t)( 的对应称作傅里叶逆变换,用字母F-1表达,即 f t)( = F-1[F ω)( ]. f t)( 称作 F 变换的像原函数, F ω)( 称作 F 变换的像函数. 例 1.4 求钟形脉冲函数 2 )( t Eetf −β = β > )0( 的傅氏变换. 解 F ω)( = F[ f t)( ] ∫ +∞ −∞ − = ttf t de)( iω ∫ ∞+ ∞− −+− = E t t dee 4 ) 2 i ( 2 2 β ω β ω β . 若令 i 2β ω tz += ,则 ∫ ∫ +∞+ +∞− ∞+ − ∞− +− = i 2 i 2 ) 2 i ( de de 2 2 β ω β ω β β ω β t z z t . 欲求之,作图 1.2 所示闭路曲线 ABCD. 7
图1.2 e-Bx2 在复平面上处处解析,由柯西定理知对VR>0 edz=(+c++)ed==0 ABCD dz=o R→+00 ABCD R→>+oAB R→+aPCO2 又: lim el: dz=lim R dz d√B B B R+ lim 2Be b= dzl Im 2Be-p(R+ly)d y R→>+0 R R→>+∞ 04B BR < lim R→+02B R+- R→+交 B:dz=o 同理 R Im B=d==0 R→+∞R+ B=dz=lir R 2Be- d (1.10) R→+∞·R+ 2B 于是
图 1.2 Q 在复平面上处处解析,由柯西定理知对 2 e−β z ∀R >0, (de 0de) 2 2 +++= ∫∫∫∫∫ = − − z z DA z CDBCAB ABCD β z β ∴ 0delim 2 ∫ = − +∞→ z ABCD z R β 又Q z z R R z R AB z R delimdelim 2 2 ∫ ∫− − +∞→ − +∞→ = β β , π de 1 2 )( β β β β = = ∫ ∞+ ∞− − x x ∫ ∫ +− +∞→ + − +∞→ = β ω β β ω β 2 0 )i( i 2 delimdelim 2 2 z y yR R R R z R 0e 2 lim 2 2 4 ≤ = − +∞→ R R β β ω β ω . ∴ .0delim i 2 2 ∫ = + − +∞→ β ω R β R z R z 同理 lim .0de i 2 2 ∫ = − +− − +∞→ R R z R z β ω β ∴ . π limde dei 2 i 2 i 2 i 2 2 2 β β ω β ω β β ω β ω β ∫ = ∫ = +− + − +∞→ +∞− +∞+ − R R z R z z z (1.10) 于是 8
F(O=Ee 4B f(t) F(o) 图1.3 例1.5求高斯分布函数 f(t) 2 的傅氏变换,其中σ>0,见图1.4 f(t) O 图1.4 解F(O)=F[f(1) ∫f()eodt 2 1 ot e O +gOI d(+oo i 2π
. π e)( 4 2 β ω β ω − = EF (1.11) 图 1.3 例 1.5 求高斯分布函数 2 2 2 e 2π 1 )( σ σ t tf − = 的傅氏变换,其中σ > 0,见图 1.4. 图 1.4 解 F ω)( = F[ f t)( ] ∫ ∞+ ∞− − = ttf t de)( iω ∫ ∞+ ∞− − − = t t t dee 2π 1 2 i 2 2 σ ω σ ∫ ∞+ ∞− +− − = e ⋅ + i)d(e 2π 1 2 i)( 2 1 22 2 σω σ σ ωσ σω σ t t 9
2 +O01 e2 du(u=-+ooi 应用例1.4求式(1.10)的方法得 例1.6解积分方程 1-a,0≤a≤1; Jo f(x)coand 1<a 解补充定义使f(x)=f(-x),x∈(-,+∞),则 f(x)=」。f(x) e dx'le da ∫f(x)e -Ia(x-x) d adx' o f(x)cosa(x-x)dadx' ∫"∫f(x) cos ax cos aax'+ sin basin oo)dxda T Eo J f(x')cos ao' cos aadx'da ∞ r o Cos ar f(x) cos aO'dx’]da x Jo(1-a)cos aa da 2(1-c0sx) (x>0).上面用两屏, TC x
∫ +∞+ +∞− − − ⋅= i i 2 1 2 de 2π 1 e 2 22 σω σω ωσ u u ( σω i) σ += t u . 应用例 1.4 求式（1.10）的方法得 2 22 e)( ωσ ω − F = . 例 1.6 解积分方程 ⎩ ⎨ ⎧ < − ≤ ≤ ∫ = ∞+ .1 ,0 ;10 ,1 dcos)( 0 α α α α xxxf 解 补充定义使 f ( ) x = f − ),() xx ∈ −∞,( + ∞ ，则 ∫∫ ∞+ ∞− ∞+ − ∞− = α α α de]'de)'([ 2π 1 )( x i'i x xf xxf ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + ∞ ∞ + ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞+ ∞− ∞+ ∞− −− = + = − = 0 0 )'(i d'd)'sinsin'cos)(cos'( π 1 'dd)'(cos)'( π 1 'dde)'( 2π 1 ααααα αα α α xxxxxxf xxxxf xf x xx ∫ ∫ + ∞ ∞ + = 0 0 d'dcos'cos)'( π 2 xxxxf ααα ∫ ∫ + ∞ ∞ + = 0 0 d]'d'cos)'([cos π 2 α xxxfx αα ∫ −= 1 0 dcos)1( π 2 x ααα )0( π )cos1(2 2 > − = x x x . 上面用两屏， 10