第2章拉普拉斯变换 2.1拉普拉斯变换 22拉普拉斯逆变换 23拉普拉斯变换的性质 24拉普拉斯变换的应用 2.1拉普拉斯变换 1拉普拉斯积分 2拉普拉斯变换 1拉普拉斯积分 (1)拉普拉斯积分的概念 定义2.1称含复参变量s的广义积分 f(tedt (2.1) 为拉普拉斯积分. 例2.1求单位阶跃函数 ut)= 0,t<0. 的拉普拉斯积分 解因为 u(test dt= lim e dt= lim -(1-e b→+∞ 所以,当且仅当Re(S)>0时, st u(tedt (Re(s)>0)
第 2 章 拉普拉斯变换 2.1 拉普拉斯变换 2.2 拉普拉斯逆变换 2.3 拉普拉斯变换的性质 2.4 拉普拉斯变换的应用 2.1 拉普拉斯变换 1 拉普拉斯积分 2 拉普拉斯变换 1 拉普拉斯积分 （1）拉普拉斯积分的概念 定义 2.1 称含复参变量s的广义积分 (2.1) ∫ +∞ − 0 de)( ttf st 为拉普拉斯积分. 例 2.1 求单位阶跃函数 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = .0 , 0 ;0 ,1 )( t t tu 的拉普拉斯积分. 解 因为 +∞→ +∞ − ∫ = b st ttu limde)( 0 )e1( 1 limdeb 0 sb b st s t − +∞→ − ∫ −= 所以，当且仅当 s > 0)Re( 时， )0)(Re( 1 de)( 0∫ = > ∞+ − s s ttu st . 1
例2.2求指数函数 的拉普拉斯积分(其中a为任意复常数). e s dt +9a-(s-a)t d t Re(s)> re(a) s-C 例2.3求正弦函数 f*(t)=sin kt 的拉普拉斯积分(其中k为任意复常数) 解 Jo sin kte s dt +ooikt-ikty-st e e-s dt 2 2i s-ik stik (Re(s-ik)>o.re(s+ik>o) +h2 (re(s)>l reik)p (2)拉普拉斯积分存在定理 定理2.1若函数f*()在区间[0,+∞)上满足下列条件: (1)f*()在任一有限区间上分段连续 (2)存在着常数M>0,Co>0,使得 If*(OkM 则在半平面Re()=C>Co上积分 「f*()edt 存在,由此积分所确定的函数F(S)解析 证由条件(2)可知,当Re(S)=C>co时
例 2.2 求指数函数 t tf α = e)(* 的拉普拉斯积分(其中α 为任意复常数). 解 t t stt ts dedee 0 )( 0∫ ∫ ∞+ − +∞ −− = α α ))Re()(Re( 1 α α > − = s s . 例 2.3 求正弦函数 f t = sin)(* kt 的拉普拉斯积分(其中k 为任意复常数). 解 tkt t st stktkt de)e(e i2 1 desin 0 ii 0∫ ∫ ∞+ − ∞+ −− = − ) i 1 i 1 ( i2 1 s k s + k − − = s − k > 0)i(Re( 且 s + k > )0)iRe( 22 2 s k k + = s > − k |)iRe(|)(Re( ）. （2）拉普拉斯积分存在定理 定理 2.1 若函数 f t)(* 在区间 +∞),0[ 上满足下列条件: (1) f t)(* 在任一有限区间上分段连续; (2)存在着常数 0,0 M c0 >> ,使得 , tc Mtf 0 < e|)(*| 则在半平面 )Re( >= ccs 0上,积分 ∫ ∞+ − 0 de)(* ttf st 存在,由此积分所确定的函数F s)( 解析. 证 由条件(2)可知,当 0 )Re( = > ccs 时, 2
Jo /*(e-dd5oo1f*(e-stidt Idt e l dt 所以f*()e“dt在Re()>C时收敛即该积分存在 又因为 o te(c-co)dt + 1f*(D)e-|dt≤M M (C-C 故 [F(S) f*(te dt] d s S + f*(1)e-当]dt d tf*(te dt 所以F(S)在半平面Re(s)>Co上可导解析 例24求幂函数∫*()="(常数m>-1)的拉普拉斯积分 解由于s为右半平面的任一复数,设S=rel° (-<O t,则 6。f*()e-dt="edt
∫ ∫ ∞+ − ∞+ − ≤ 0 0 d|e)(*|de)(* ttfttf st st . d|e| d|e| 0 0 )( 0 )( 0 0 cc M M t M t tcc tcs − = = < ∫ ∫ ∞+ −− +∞ −− 所以 在 时收敛,即该积分存在. ∫ ∞+ − 0 de)(* ttf st 0 )Re( > cs 又因为 ∫ ∫ ∞+ − +∞ −− ≤ 0 )( 0 d|e)(*| de 0 ttMtttf st tcc 2 0 cc )( M − = . 故 ∫ ∞+ − = 0 ]de)(*[ d d )]([ d d ttf s sF s st .de)(* d]e)(*[ d d 0 0 ∫ ∫ ∞+ − ∞+ − −= = tttf ttf s st st 所以 F s)( 在半平面 上可导,解析. 0 )Re( > cs 例 2.4 求幂函数 (常数 m )(* = ttf m > −1)的拉普拉斯积分. 解 由于 为右半平面的任一复数，设 s iθ = rs e ) 2 π 2 π ( θ <<− ， z = st ，则 ∫ ∫ ∞+ − +∞ − = 0 0 dede)(* ttttf st stm 3
m+1J0 上式右边的积分路线为从原点出发, 沿直线BA至无穷远点(见图2.1) 由于z"eˉ在除原点外的复平面上解析, 故 由柯西定理知 ∫+∫+∫+∫z"eˉdz AB C. rR C 图2 即 R B ∫++∫)="ed (22) 因为 ∫="ed=|s』="eldz ∫z" le)ds R Rose d s R +1-rcose e 6→>0(R 同理可得 ∫= e-dzks 0→>0(r→>01) 在式(22)两边同时令R→+∞,r→0得 + d z x"e dx=r(m+ 故
∫ ∞+ − + = 1 0 de 1 zz s zm m 上式右边的积分路线为从原点出发， 沿直线 BA至无穷远点（见图 2.1） 由于 zm z − e 在除原点外的复平面上解析， 故 由柯西定理知 ( +++ = 0de) − ∫∫∫∫ zz zm r CrRCAB R ， 图 2.1 即 zz zz . （2.2） zm C R r C A B zm r R de)(de− − ∫ ++= ∫∫∫ 因为 zzzz R CR zm C zm d|e||de| ∫∫ − − ≤ z s CR RRm e||| d| )sinicos( ∫ − + = θ θ R s CR Rm de cos ∫ − = θ e 0 = R + −Rm cos1 θ θ → R +∞→ )( ， 同理可得 e|de| 0 ∫ − ≤ + −rm cos1 θ θ → C zm rzz r )0( → + r 在式（2.2）两边同时令 R +∞→ ， → + r 0 得 xxzz zm xm de de 0 0∫∫∞ − +∞ − = = Γ m + )1( 故 4
tes dz= (m+1) m+1 (Re(s)>0) 特别地,当m为非负整数时,由于 o x"edx=mJ o xm-e dx=… 得 t'a es z (Re(s)>0) 当m 时,由于 中 xmedx=[2e"dn( 得 d t 2拉普拉斯变换 定义2.2设f(1)为定义在(0,+)上的实值(或复值)函数,其 收敛的拉普拉斯积分 F(S)=f()edt(s为复参量) 建立的从f()到F(S)的对应称作拉普拉斯变换简称拉氏变换).用 字母L表达,即 F(s)=Lf()] 称f()为L变换的像原函数,F(S)为L变换的像函数 例2.5求函数f(t)=chk的拉普拉斯变换(其中k为任意复常 数)
0 1 )1( de + ∞+ − + ∫ = m stm s Γ m zt s > )0)(Re( . 特别地，当m为非负整数时，由于 ∫ = ∫ =L ∞+ − +∞ −− xxmxx xm xm de de 0 1 0 = m!. 得 0 1 ! de + ∞+ − ∫ = m stm s m zt s > )0)(Re( . 当 2 1 m −= 时，由于 xx u xm u de2de 0 0 2 ∫ ∫ ∞+ − +∞ − = = xu )( = π ， 得 s tt u π de 0 2 1 ∫ = ∞+ − − . 2 拉普拉斯变换 定义 2.2 设 f t)( 为定义在 + ∞) ,0( 上的实值(或复值)函数,其 收敛的拉普拉斯积分 ( 为复参量) (2.3) ∫ ∞+ − = 0 de)()( ttfsF st s 建立的从 f t)( 到 F s)( 的对应称作拉普拉斯变换(简称拉氏变换).用 字母 L 表达,即 F s)( =L f t)]([ . (2.4) 称 f t)( 为 L 变换的像原函数, F s)( 为 L 变换的像函数. 例 2.5 求函数 f t = ch)( kt 的拉普拉斯变换(其中k 为任意复常 数). 5