第二篇积分变换 第1章傅里叶变换 第2章接普拉斯变换 第1章傅里叶变换 1.1傅里叶积分 1.2傅里叶变换 1.3函数 1.4离散傅里叶变换和离散沃尔什变换 习题课 1.1傅里叶积分 1傅里叶积分的概念 2傅里叶积分的物理意义 3傅里叶积分定理 1傅里叶积分的概念 定义1.1称广义积分 (te-lod (1.1) 为傅里叶积分.其中积分变量t∈(-∞,+∞),ω为实值参数. 例1.1求函数
第二篇 积分变换 第1章 傅里叶变换 第2章 接普拉斯变换 第 1 章 傅里叶变换 1.1 傅里叶积分 1.2 傅里叶变换 1.3 δ 函数 1.4 离散傅里叶变换和离散沃尔什变换 习题课 1.1 傅里叶积分 1 傅里叶积分的概念 2 傅里叶积分的物理意义 3 傅里叶积分定理 1 傅里叶积分的概念 定义 1.1 称广义积分 (1.1) ∫ ∞+ ∞− − ttf t de)( iω 为傅里叶积分.其中积分变量t ∈（− ∞，+ ∞）,ω 为实值参数. 例 1.1 求函数 1
esin2x,x≥0; x<0 的傅里叶积分. 解由傅里叶积分的定义知 o f(e ondt=o f(x)eadx + (io+D)x sin 2xdx 5-02+2i 例1.2求三角脉冲函数 2E (x+), x<0 E f(x) (x-),0≤x<;这里有图1.1的(a) x 的傅里叶积分,其中E,>0,见图1.1(a) 解∵f(x)=f(-x) ∫f(x)e-dx=」of(x) cos oxdx 2E (x--) cos odx这里有图1.1的(b) 8E aT SIn f(r) Uaf()e-lozdx
⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − ,0 .0 ;0 ,2sine )( x xx xf x 的傅里叶积分. 解 由傅里叶积分的定义知： ∫ ∫ +∞ −∞ ∞+ − ∞− − = xxfttf t x de)(de)( iω iω . i25 2 d2sine 2 0 )1(i ω ω ω − + = = ∫ +∞ +− xx x 例 1.2 求三角脉冲函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤−− <<−+ = 2 ,0 || ; 2 0 ), 2 ( 2 ;0 2 ), 2 ( 2 )( τ x τ x x E x τ x E xf τ τ τ τ 这里有图 1.1 的（a) 的傅里叶积分,其中E τ > 0 , ,见图 1.1(a). 解 Q f x f −= x)()( , ∴∫ ∫ +∞ −∞ ∞+ ∞− − = xxxfxxf x dcos)(de)( i ω ω ∫ −−= 2 0 dcos) 2 ( 2 2 τ ω τ τ xxx E 这里有图 1.1 的(b) . 4 sin 8 2 2 ωτ τω E = 2
图1.1(b) 2傅里叶积分的物理意义 满足狄利克条件且以T为周期的函数 2n兀 f(t=co+22 cn, cos(m-t+argc,) 在物理上所有出现的诸振动的振幅2|cn|和相位 argc称为由 f1(1)所描写的自然现象的离散频谱 若视定义在(-∞,+)上的非周期函数f(1)的周期T=+∞,可 推得 f(t F(oe d 2兀 f(te-o dt iord 2汇 T ∑∫7(ec-drle-do 2 仿照上面将F(ω)称为由∫()所描写的自然现象的连续频谱 3傅里叶积分定理 定理1.1若函数f()在(-∞,+∞)上满足以下条件: (1)f(1)在任一有限区间上连续或只有有限个第一类间断点, (2)f(1)在任一有限区间上至多只有有限个极值点 (3)f()绝对可积(即积分」1f()dr收敛 则积分 + f(te dt 一定存在,且当t为f()的连续点时,有傅里叶积分公式
(a) 图 1.1 (b) 2 傅里叶积分的物理意义 满足狄利克条件且以T 为周期的函数 )arg 2 π cos(||2)( 1 0 n n T n ct T n += ∑ cctf + ∞ = 在物理上所有出现的诸振动的振幅 cn ||2 和相位argcn 称为由 f t)( T 所描写的自然现象的离散频谱. 若视定义在 +∞−∞ ),( 上的非周期函数 f t)( 的周期T +∞= ，可 推得 ωω ω de)( 2π 1 )( ∫ ∞+ ∞− = ti Ftf [ ] ω ω ω dede)( 2π 1 ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− − = titi ttf ∫ ∑ ∫ ∞+ ∞− ∞+ −∞= + − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ω ω ω dede)( 2π 1 2 2 ti k T k T k ti ttf 仿照上面将|F ω)( |称为由 f t)( 所描写的自然现象的连续频谱. 3 傅里叶积分定理 定理 1.1 若函数 f t)( 在 −∞ + ∞),( 上满足以下条件: (1) f t)( 在任一有限区间上连续或只有有限个第一类间断点, (2) f t)( 在任一有限区间上至多只有有限个极值点, (3) f t)( 绝对可积(即积分∫ +∞ −∞ d|)(| ttf 收敛), 则积分 ∫ ∞+ ∞− − ttf t de)( iω 一定存在,且当t 为 f t)( 的连续点时,有傅里叶积分公式 3
+∞rP+∞ f(oe dt]e d 当t为∫(1)的间断点时,上式f(t)换作[f(t+0)+∫(t-0) 证明从略. 例1.3求矩形单脉冲函数 E 0,|t卜 的傅里叶积分,傅里叶积分公式 解傅里叶积分 F(o)=mf(re-lodt Edt 2E.ON sInt 傅里叶积分公式 ∞2E.Or sin(ed aT 2E SIn COST ∞ d 由傅里叶积分定理还可得到
∫∫ ∞+ ∞− ∞+ − ∞− = ω ωω de]de)([ 2π 1 )( ii tt tf ttf . 当t 为 f t)( 的间断点时,上式 f t)( 换作 )]0()0([ 2 1 tftf −++ . 证明从略. 例 1.3 求矩形单脉冲函数 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 2 || ,0 ; 2 || , )( τ t τ tE xf 的傅里叶积分, 傅里叶积分公式. 解 傅里叶积分 ∫ ∞+ ∞− − = ttfF t de)()( iω ω ). 2 sin( 2 de 2 2 i ωτ ω τ τ ω E tE t = = ∫− − 傅里叶积分公式 ∫ ∞+ ∞− − = ω ωτ ω ω de) 2 sin( 2 2π 1 )( E i t tf ∫ ∞+ = 0 d cos 2 sin π 2 ω ω ωτ ωτ E . 由傅里叶积分定理还可得到 4
aT sln— COS OT d 2T2 0,其它
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = < ∫ = ∞+ . ,0 ; 2 || , 4 π ; 2 || , 2 π d cos 2 sin 0 其它 τ τ ω ω ωτ ωτ t t 5