第4章级数 4.1收敛序列与收敛级数 4.2幂级数 4.3泰勒级数 4.4罗朗级数 习题课
第 4 章 级 数 4.1 收敛序列与收敛级数 4.2 幂级数 4.3 泰勒级数 4.4 罗朗级数 习题课
4.1收敛序列与收敛级数 1收敛序列 2收敛数项级数 3函数项级数
4.1 收敛序列与收敛级数 1 收敛序列 2 收敛数项级数 3 函数项级数
1收敛序列 复数序列{n}:指按一定法则有二1,二2…,En2…依次序排成 的一列数. 定义4.1若对任意给定的E>0,总存在着正整数N,当n>N 时,不等式 n <E 成立,则称复数序列{n}收敛于复数,记作 lim n→)a 否则,称{=n}是发散的 定理4.1设序列En=xn+1yn(n=1,2,…),z=x+1y, 那么 lim z=z (4.1) n→)0 的充要条件是 mxn=x和 lim yn=y n→)0 n→0 同时成立 证因为limz,=z,由定义 n→) 对VE>0,彐正整数N,当n>N时有, I(n +iyn)-(x+iyka 即 xn - k(xn-x+i( -yka, Lyn -ys(n-x)+i(n-yke
1 收敛序列 复数序列 ： 指按一定法则有 依次序排成 的一列数. }{ n z 21 zzz n , , , , LL 定义 4.1 若对任意给定的ε > 0,总存在着正整数 N ,当n > N 时,不等式 zz || <− ε n 成立,则称复数序列 zn}{ 收敛于复数 z ,记作 z z n n = ∞→ lim , 否则,称 }{ 是发散的. nz 定理 4.1 设序列 nnn = + i yxz ( n = ,2,1 L), z += i yx , 那么 z z n n = ∞→ lim (4.1) 的充要条件是 x x n n = ∞→ lim 和 yyn n = ∞→ lim (4.2) 同时成立. 证 因为 z z n n = ∞→ lim ,由定义 对∀ε > 0,∃正整数 N ,当n > N 时有, + − + yxyx |)i()i(| < ε nn , 即 − ≤ − + − yyxxxx |)i()(||| < ε n n n , − ≤ − + − yyxxyy |)i()(||| < ε n n n
故(4.2)式成立 反之由(4.2),对E>0,彐正整数N1 使得 n>N=max{N1,N2}时有 K和yn-yk 同时成立,从而 (n-x)+i(n-y)kxmn-x+lyn-yka 即,对VE>0,彐正整数N,当n>N时 z,-2E 成立.定理得证 例4.1下面各数列否收敛?若收敛求其极限. 1+ni (a)z (b)z=e I-ni 解(a)∵n +1 1+n21+n lm (b)∵二n=cOS-π-1SIn-π ∵.z,发散
故(4.2)式成立. 反 之 由 (4.2), 对 ∀ ε > 0 , ∃ 正整数 、 ，使得 时有 N1 N2 n > } ,max{ = NNN 21 2 || ε n xx <− 和 2 || ε n yy <− 同时成立,从而 −+− ≤ − + − yyxxyyxx |||||)i()(| < ε n n n n . 即, 对∀ε > 0,∃正整数 N ，当n > N 时 zz || <− ε n 成立.定理得证. 例 4.1 下面各数列否收敛? 若收敛求其极限. (a) i1 i1 n n zn − + = ; (b) i 2 π e n n z − = ; (c) n nz − += ) 3 i 1( . 解 (a) Q 2 2 2 1 2 i 1 1 n n n n zn + + + − = , ∴lim = − .1 ∞→ n n z (b) Q π, 2 π sini 2 cos nn zn −= n ∴z 发散
/3 COS--7L 2 lm 0. 2收敛数项级数 定义4.2由1,2,…,En…构成的表达式 ∴+z.+ 称为无穷级数简称为级数,记作∑二n,即 二1+2)++2,+ 称复数序列 S=∑=n=21+ N (N=1,2.…) 为级数∑二n的部分和 定义4.3如果级数∑二n的部分和序列{S}收敛于复数S,则 称级数∑二n收敛,S称为级数和,记作S=∑n否则称级∑二n 发散 定理4.2设En=xn+iyn(n=1,2,…),S=X+iY,那 么
(c) Q π, 6 sin) 2 3 π i( 6 cos) 2 3 ( n n z n n n = − ∴lim = .0 ∞→ n n z 2 收敛数项级数 定义 4.2 由 , , , , LL 构成的表达式 21 n zzz 21 ++ + zzz n +LL 称为无穷级数,简称为级数,记作 ∑ ∞ n=1 n z ,即 . (4.3) 21 1 ∑ ++++= LL ∞ = n n n zzzz 称复数序列 N N n N n ∑ +++== zzzzS = 21 L 1 (N = ,2,1 L) 为级数 ∑ 的部分和. ∞ n=1 n z 定义 4.3 如果级数 ∑ ∞ n=1 n z 的部分和序列{SN }收敛于复数 ,则 称级数 收敛, 称为级数和,记作 S ∑ ∞ n=1 n z S ∑ ∞ = = n 1 n zS .否则称级 发散. ∑ ∞ n=1 n z 定理 4.2 设 nnn = + i yxz ( n = ,2,1 L), S X += iY ,那 么