例5.研究函数/(=)=e2的孤立奇点的类型 解:f(=)=c=在整个复平面内除去点=1外处处解析, →z=1是它的唯一的孤立奇点 将函数在04z-1k+∞内展开成洛朗级数,得到: e=1+(z-1) +-(z-1)+ 此级数含有无穷多个负幂项, 故z=1是它的本性奇点 2021/224
2021/2/24 19 • 例5． 1 1 ( ) z f z e − 研究函数 = 的孤立奇点的类型. 解： 1 1 ( ) 1 z f z e z − = = 在整个复平面内除去点 外处处解析， =z 1是它的唯一的孤立奇点. 将函数在0 | 1| − + z 内展开成洛朗级数，得到： 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2! ! z n e z z z n − − − − = + − + − + + − + 此级数含有无穷多个负幂项， 故z =1是它的本性奇点
五、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义 若函数f(x)=(x-=0)”(),其中q()在=处解析,且o(=0)≠0 m为一正整数,则称为函数f(=)的m阶零点 例如:函数f(x)=(二-1), →z=0,z=1分别是f()的一阶零点和三阶零点 定理1如果函数(在=处解析,则=为/()的m阶零点的 充要条件是f("(=0)=0,n=0,1,2…(m-1),f(m(=0)≠0 2021/224
2021/2/24 20 ➢ 五、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义 0 ( ) ( ) ( ) m 若函数f z z z z = − ， 0 0 其中 ( ) ( ) 0 z z z 在 处解析，且 ， m为一正整数， 0 则称z f z m 为函数 ( )的 阶零点. 3 例如：函数f z z z ( ) ( 1) = − ， = = z z f z 0, 1 ( ) 分别是 的一阶零点和三阶零点. 定理1 0 0 如果函数f z z z f z m ( ) ( ) 在 处解析，则 为 的 阶零点的 ( ) ( ) 0 0 ( ) 0, 0,1, 2, ( 1), ( ) 0. n m 充要条件是 f z n m f z = = −
证明:(→)设=是函数f()的m价零点,则()=(x-0)m(=) 其中∞(=)在=处解析,且(-a)≠0,从而在=邻域内泰勒展开式为: 0()=C+C(x-0)+C2(-20)+…,其中(=0)=C0≠0 →f(=)=C0(-50)"+C1(z-20)+ →f0(0)=0,n=0,1,2…,(m-1,而f(m(二0)=m!,C0≠0 (<)已知函数()泰勒级数为 f(=)=C0(-0)"+C1(z-=0)+ +C,(z-2 0 且f"(=0)=0,n=0,1,2,…(m-1,f(m(0)≠0, 令(二)=C+C(z-=0)+C2(二-=0)2+…, f()=(x-=0(),则=为函数f()的m阶零点 2021/224
2021/2/24 21 证明： ( ) 0 设z f z m 是函数 ( )的 阶零点，则 0 ( ) ( ) ( ) m f z z z z = − 0 0 其中 ( ) ( ) 0 z z z 在 处解析，且 ， 0 从而在z 邻域内泰勒展开式为： 2 0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) , z C C z z C z z = + − + − + 0 0 其中( ) 0 z C= ， 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) m m f z C z z C z z = − + − + + ( ) 0 ( ) 0, 0,1, 2, , ( 1), n = = − f z n m ( ) 0 0 ( ) ! 0. m 而f z m C = ， ( ) 已知函数f z( )的泰勒级数为： 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) m m f z C z z C z z + = − + − + 0 0 1 0 ( ) [ ( ) ] m = − + − + z z C C z z ( ) ( ) 0 0 ( ) 0, 0,1, 2, ( 1), ( ) 0 n m 且f z n m f z = = − ， 2 0 1 0 2 0 令( ) ( ) ( ) z C C z z C z z = + − + − + ， 0 ( ) ( ) ( ), m f z z z z = − 0 则z f z m 为函数 ( )的 阶零点
解:由于f()=0,且/(0)=3 例6.设函数(=)=32-1,点=1为函数的几阶零点 3≠0, 所以=1是函数f(=)的阶零点 2.函数的零点与极点的关系 定理2若=是函数()m阶极点,则就是的m阶零点,反之也成立 证明:(→)设是(m阶极点,则有 f(=) g(),其中8()在处解析,且g(=0)≠0, 2-2 →当≠z时,有 0 (二-20)"h(=) g( 其中h(二)在=处解析,且h(=0)≠0 2021/224
2021/2/24 22 • 例6． 3 设函数 ，点 为函数的几阶零点. f z z z ( ) 1 1 = − = 解： 由 于f (1) 0 = ， 3 1 (1) 3 | 3 0 z f z = 且 = = ， 所以z f z =1 ( ) 是函数 的一阶零点. 2. 函 数 的 零 点 与 极 点 的 关 系 定理 2 0 0 ( ) ( ) z f z m z m f z1 若 是函数 的 阶极点，则 就是 的 阶 零 点，反 之 也 成 立. 证明： ( ) 0 设z f z m 是 ( )的 阶极点，则 有 0 1 ( ) ( ), ( ) m f z g z z z = − 0 0 其 中g z z g z ( ) ( ) 0 在 处解析，且 ， 0 当z z 时，有 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m z z z z h z f z g z = − = − 1 0 0 其 中h z z h z ( ) ( ) 0. 在 处解析，且
当2=z时,由于lin1 0f(=) =0,只要令 0, f(=0) 由 f(=)(-20)h()可知:=是 的m阶零点 (<)如果是-的m价零点,则 (x-20)"() f(=) 单中8(=)时·百8(=)0 →当≠=时,f(=) z), 0 而以(二)、在=处解析,且p(=0)≠0, 所以点0为f(=)的m阶价极点 2021/224
2021/2/24 23 0 0 lim 0 ( ) z z z z → f z = = 1 当 时，由于 ， 0 0 f z( ) = 1 只要令 ， 0 ( ) ( ) ( ) m z z h z f z = − 1 由 可知： 0 ( ) z m f z 1 是 的 阶零点. ( ) 0 ( ) z m f z 1 如果 是 的 阶零点，则 0 ( ) ( ) ( ) m z z z f z = − 1 0 0 其中g z z g z ( ) ( ) 0, 在 处解析，且 0 0 1 ( ) ( ) ( )m z z f z z z z = − 当 时， ， 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) z z z z 1 而 = 在 处解析，且 ， 0 所以点z f z m 为 ( )的 阶极点