例2.求有理分式函数f() -2的极点 (二2+1)(=-1) 解:函数的孤立奇点有:z=1,z=± limf()=∞,limf(=)=∞, 2→土l →z=1,z=土都是函数f()的极点 2 2 (1)当z=时,,2 81(=) z-+1)(z 1)3(z-1)3(x2+1) 这里g1(=)在=1啪的某邻域内处处解析,且g1(1)≠O, →z=1是有理函数的3阶极点 )对于=么有日+1=-1(-0(+=D(一少8≤ 2 (3)对于-有(=2+1(=-1)=(2+)(=-0=-13(+)83 →z=±i都是有理函数的1阶极点 2021/224
2021/2/24 14 • 例2． 2 3 2 ( ) . ( 1)( 1) z f z z z − = + − 求有理分式函数 的极点 解： 函数的孤立奇点有： ， z z i = = 1 . 1 lim ( ) , z f z → = lim ( ) , z i f z → = = = z z i f z 1, ( ) . 都是函数 的极点 2 3 3 2 2 1 2 1 ( ) ( 1)( 1) ( ) ( )( 1) ( ) z z g z z z z i z i z z i − − = = + − − + − − (1)当 时， z =1 2 3 3 2 3 1 2 1 2 1 ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) z z g z z z z z z − − = = + − − + − 1 1 这里 在 的某邻域内处处解析，且 ， g z z g ( ) 1 (1) 0 = =z 1是有理函数的3阶极点. 2 3 3 3 2 1 2 1 ( ) ( 1)( 1) ( ) ( )( 1) ( ) z z g z z z z i z i z z i − − = = + − + − − + (2)对于 有 z i = , (3) , 对于 有 −i = z i都是有理函数的1阶极点
四、本性奇点 若在洛朗级数展开式中含有无穷多个z-的负幂项,那么 孤立奇点二称为函数f(=)的本性奇点 例如:f()=e,z=0是它的本性奇点,因为它的洛朗级数为: e=1+2-1+-z-2+ -2" 含有无穷多个z的负幂项 2 若z0为函数f()的本性奇点,且具有如下性质: A,彐{=n}→>,使得imf(=)=A 二=二,→二 即:若=为函数f()的本性奇点,则极限lmf(z)不存在且不是无穷大 2021/224
2021/2/24 15 ➢ 四、本性奇点 0 若在洛朗级数展开式中含有无穷多个 的负幂项，那么 z z − 0 孤立奇点 称为函数 的本性奇点. z f z( ) 1 ( ) z 例如： ， f z e = z = 0是它的本性奇点,因为它的洛朗级数为： 1 1 2 1 1 1 , 2! ! z n e z z z n − − − = + + + + + 含有无穷多个 的负幂项. z 0 若 为函数 的本性奇点，且具有如下性质： z f z( ) 0 0 { } lim ( ) n n z z z A z z f z A = → → = ， ,使得 0 0 ( ) lim ( ) z z z f z f z → 即：若 为函数 的本性奇点，则极限 不存在且不是无穷大
例3.函数(=)=e,点=0为它的本性奇点 解:(1)当沿正实轴趋向于0时,则函数()=e→+∞; (2)当沿负实轴趋向于O时,则函数f(z)=e→>0 (若对于给定复数4=1=c2m,要使e→=e2m), 可取数列{zn= n→>∞时,z→>0 n +2nt )i 当沿数列{n}趋向于零时,有:lime==i z=z.->0 由(1)、(2)、(3分析得:极限limf(=)不存在 故点=0为(二)=e的本性奇点 2021/224
2021/2/24 16 • 例3． 1 ( ) 0 z 函数 ，点 为它的本性奇点. f z e z = = 解： (1)当 沿正实轴趋向于0时， z 1 ( ) z 则函数 ； f z e = → + (2) 0 当 沿负实轴趋向于 时， z 1 ( ) 0 z 则函数 ； f z e = → ( 2 ) 2 (3) , n i A i e + = = 写成 若对于给定复数 1 ( 2 ) 2 n i z e i e + 要使 → = ， 1 ( 2 ) 2 n z n i = + 可取数列 ， 0, n n z → → 时，1 0 lim n z z z e i = → 当z z 沿数列{ }n 趋向于零时，有： = 0 lim ( ) . z z f z → 由（1）、（2）、（3）分析得：极限 不存在 1 0 ( ) z 故点 为 的本性奇点. z f z e = =
孤立奇点二为本性奇点的判别方法: 设=为函数∫(=)的孤立奇点,则下列条件是等价的 (1)=为函数f()的本性奇点; (2)函数f(z)在=点洛朗级数展开式中含有无穷多个z-=的负幂项; (3)极限lmf(=)不存在(也不是无穷大 2→>20 利用极限判断奇点的类型,当极限是型时,可以象 《高等数学》中那样用罗必达法则来求: 如果函数f(二),g()是当2→>x,以零为极限的两个 不恒等于零的解析函数,则lim f(=lim f(二) 二→ >g(=)g() 2021/224
2021/2/24 17 0 孤立奇点z 为本性奇点的判别方法： 0 设 为函数 的孤立奇点，则下列条件是等价的, z f z( ) 0 (1) ( ) z f z 为函数 的本性奇点； 0 0 (2) ( ) 函数f z z z z 在 点洛朗级数展开式中含有无穷多个 − 的负幂项； 0 (3) lim ( ) . z z f z → 极限 不存在（也不是无穷大） 0 0 利用极限判断奇点的类型，当极限是 型时，可以象 《高等数学》中那样用罗必达法则来求: 0 如果函数 是当 ，以零为极限的两个 f z g z z z ( ), ( ) → 不恒等于零的解析函数， 0 0 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) z z z z f z f z → → g z g z = 则
例4.研究函数f() 孤立奇点的类型 (二-1)(二-2 解:z=1==2是函数(=)的两个孤立奇点, 当z=时,f(=) 二-1(z-2) 在z=1的某邻域内解析,且z=1处取值不等于0, 2 →z=1是函数f()的一阶极点; =2时,f(z) (二-2) 在z=2的某邻域内解析,且z=2处取值不等于0, →z=2是函数f(z)的二阶极点 2021/224
2021/2/24 18 • 例4． 2 1 ( ) ( 1)( 2) f z z z = − − 研究函数 孤立奇点的类型. 解： z z f z = = 1, 2 ( ) 是函数 的两个孤立奇点， 当z =1 , 时 2 1 1 ( ) , 1 ( 2) f z z z = − − 2 1 1 1 ( 2) z z z = = − 在 的某邻域内解析，且 处取值不等于0, =z f z 1 ( ) 是函数 的一阶极点； 当z = 2 , 时 2 1 1 ( ) , ( 2) 1 f z z z = − − 1 2 2 1 z z z = = − 在 的某邻域内解析，且 处取值不等于0, =z f z 2 ( ) 是函数 的二阶极点