16为了考察介质内部某个偶极子所感受到的局部电场，我们设想，在介质中挖去一个以该偶极子为中心的小球体（如图7-7)，于是在这个特定的偶极子的附近形成一个空腔,我们有局部电场的场强=均匀的介质小球中的偶极子在球心处产生的场强+含有空腔的介质体在空腔中心处产生的场强有些细节需要注意：在这里我们人为地构造空腔是为了排除某个特定的偶极子，该空腔的体积虽然很小但仍然具有宏观意义，也就是说，我们假设的那个被挖去的小介质球中确实包括很多其他的偶极子，这一部分偶极子在球心处产生的场强就是上述说法中的第一项；另一方面，当一个小介质球被挖去而就此形成空腔时，介质中所固有的极化强度矢量便会导致在空腔内壁上形成极化电荷，其分布在图中已有示意，将各种因素统一考虑，我们可以将上述说法写成更为明确的形式(7.1.18)Elocal =E+E,+E,+E3其中E。=外场E，=介质的外表面上的极化电荷在介质内部形成的退极化场E，=空腔内壁上面极化电荷在其中心处形成的电场E，=被挖去的小介质球中的偶极子在球心处形成的电场
16 为了考察介质内部某个偶极子所感受到的局部电场, 我们设想, 在介质中挖去一个以该偶极子为中心的小球体(如图 7-7), 于是在这个特定的偶极子的附近形成一个空腔,我们有 局部电场的场强 ＝均匀的介质小球中的偶极子在球心处产生的场强+ 含有空腔的介质体在空腔中心处产生的场强 有些细节需要注意: 在这里我们人为地构造空腔是为了排除某个特定的偶极子, 该空腔的体积虽然很小, 但仍然具有宏观意义, 也就是说, 我们假设的那个被挖去的小介质球中确实包括很多其他的偶极子, 这 一部分偶极子在球心处产生的场强就是上述说法中的第一项; 另一方面, 当一个小介质球被挖去而就此 形成空腔时, 介质中所固有的极化强度矢量便会导致在空腔内壁上形成极化电荷, 其分布在图中已有示 意. 将各种因素统一考虑, 我们可以将上述说法写成更为明确的形式: E＇OCＵ＇ = E0 E1 E2 E3 (7.1.18) 其中 E0 = 外场 E1 =介质的外表面上的极化电荷在介质内部形成的退极化场 E2 = 空腔内壁上面极化电荷在其中心处形成的电场 E3 =被挖去的小介质球中的偶极子在球心处形成的电场
17E,又被称为Lorentz空腔场，参考上面讨论过例题并注意极化电荷分布，我们容易知道E，的大小为P/3so，其方向与外场E。的方向一致，当然也就是极化强度的方向，至于E，由对称性可知，球心处的电场为零，即E，=0.于是有1F(7.1.19)Eial= Eo + Et + 30这里我们没有将退极化场E，的具体形式表示出来，这是因为在前面我们说过，退极化场与介质体的形状六P，此时Emal=0，这是最简单的情形，而在一般情形下，我有关，对于球状介质，有(7.1.17)，即E，=360们宁愿将局部电场写作LP=E(7.1.20)Ema = Eg+E,+ 35360这里E便是介质内部的电场强度有了局部电场的形式，我们就可以了解非极性电介质中的一个分子或原子在外场中的行为，显然，该种分子或原子将在局部电场的作用下变成一个偶极子，其偶极矩可以表示为(7.1.21)P=αElocal这里我们采用了更为一般的表示，即认为偶极矩正比于局部电场，比例系数为α，当然，较为简单的形式
17 E2 又被称为 Lorentz 空腔场, 参考上面讨论过例题并注意极化电荷分布, 我们容易知道 E2 的大小为 0 ［ 3H , 其方向与外场 的方向一致, 当然也就是极化强度的方向. 至于 , 由对称性可知, 球心处的电场为零, 即 . 于是有 E0 E3 0 E3 = E E E P 0 0 1 3 1 H ＇OCＵ＇ = (7.1.19) 这里我们没有将退极化场 的具体形式表示出来, 这是因为在前面我们说过, 退极化场与介质体的形状 有关, 对于球状介质, 有 E1 (7.1.17), 即 E P 0 1 3 1 H = , 此时 , 这是最简单的情形, 而在一般情形下, 我 们宁愿将局部电场写作 = 0 E＇OCＵ＇ E E E P E P 0 0 0 1 3 1 3 1 H H ＇OCＵ＇ = = (7.1.20) 这里 E 便是介质内部的电场强度. 有了局部电场的形式, 我们就可以了解非极性电介质中的一个分子或原子在外场中的行为. 显然, 该种分子或原子将 在局部电场的作用下变成一个偶极子, 其偶极矩可以表示为 E＇OCＵ＇ p = D (7.1.21) 这里我们采用了更为一般的表示, 即认为偶极矩正比于局部电场, 比例系数为D . 当然, 较为简单的形式
18是p=ql，只是1的大小不易得到我们姑且忽略热运动的影响，假设介质中每个偶极子的方向都一致，可以得到单位体积内偶极矩的总和，即极化强度量P，即E(7.1.22)P=np=nαElocal=nal360这里n是单位体积内的偶极子的个数由此得到naE.(7.1.23)na1360注意到(7.1.7）式，我们有极化率13nαna(7.1.24)Xnαo36o-na1-380再由极化率与相对介电常数的关系(7.1.14)式，有30(s, -1)nα=:(7.1.25)(6, +2)我们可以对(7.1.25)稍加计算。Vc，实际上是介质的折射率，对于水，折射率为1.33，单位体积内的分子数
18 是 p = Gl , 只是 l 的大小不易得到. 我们姑且忽略热运动的影响, 假设介质中每个偶极子的方向都一致, 可以得到单位体积内偶极矩的总和, 即极化强度 矢量 P, 即 ¸¸¹· ¨¨©§ P = p = E = E P0 31H ″ ″D ＇OCＵ＇ ″D (7.1.22) 这里 ″ 是单位体积内的偶极子的个数由此得到 P E 0 3 1 H D D ″ ″ = (7.1.23) 注意到(7.1.7)式, 我们有极化率 H D D H H D D F ″ ″ ″ ″ = = 0 0 0 3 1 3 3 1 (7.1.24) 再由极化率与相对介电常数的关系(7.1.14)式, 有 2 3 0 1 = ｒ ｒ ″ H H H D (7.1.25) 我们可以对(7.1.25)稍加计算. ｒ H 实际上是介质的折射率, 对于水, 折射率为 1.33, 单位体积内的分子数
19为n=3.3×10m3，将相应的数值代入（7.1.25)式，有α = 1.66×10-28 m-3S7-2电介质中静电场的基本定理在上一节中我们了解了静电场中电介质的极化行为，简单地说，介质在整体上表现出来的极化现象来自于微观层次上的电偶极子，而极化电荷一一不论是在介质表面的还是在介质内部的一一与极化强度失量有密切的联系，这反映在公式(7.1.15）和(7.1.16)中.那么极化电荷对电场有怎样的影响呢？7.2.1Gauss定理图7-8我们还是对平板电容器中的电介质这一简单的例子加以分析，实际上在推导（7.1.14）的过程中已经对
19 为″ = 3.3u1016m3 , 将相应的数值代入(7.1.25)式, 有 D = 28 3 1.66 10 m u §7-2 电介质中静电场的基本定理 在上一节中我们了解了静电场中电介质的极化行为, 简单地说, 介质在整体上表现出来的极化现象来自 于微观层次上的电偶极子. 而极化电荷——不论是在介质表面的还是在介质内部的——与极化强度矢量 有密切的联系, 这反映在公式(7.1.15)和(7.1.16)中. 那么极化电荷对电场有怎样的影响呢? 7.2.1 Gauss 定理 图 7-8 我们还是对平板电容器中的电介质这一简单的例子加以分析, 实际上在推导(7.1.14)的过程中已经对
20此有所涉及平板电容器的形状是规则的，易于应用Gauss定理求解其中的电场，值得注意的是，此时我们不但要考虑极板上的自由电荷，而且还要计及电介质表面的极化电荷.取如图7-8所示的圆柱形的Gauss面，设极板上的自由电荷密度为α，介质表面的极化电荷面密度为p，我们有EA=一(o,+α,)A，其2中A为圆柱的底的面积.注意到(7.1.15)式和(7.1.7)式，有6E+P=6E+X8.E(7.2.1)=(1+x)gE=605,E=8E=0)这里6=66，就是前面说过的绝对介电常数，上式的结果告诉我们，当有介质存在时，虽然要考虑极化电荷的贡献，但是我们可以考虑介质的绝对介电常数而使最终结果只涉及极板上的自由电荷；再者，我们可以引入另一个与电场有关的矢量一一电位移矢量D，其定义如下D=6E+P(7.2.2)于是(7.2.1)式就可以简单地写成D=G这里我们考虑的是一个简单的特例，并引入了电位移量的定义，对于一般的情形，让我们考虑Gauss定理的微分形式V·E=P(7.2.3)60
20 此有所涉及. 平板电容器的形状是规则的, 易于应用 Gauss 定理求解其中的电场, 值得注意的是, 此时我 们不但要考虑极板上的自由电荷, 而且还要计及电介质表面的极化电荷. 取如图 7-8 所示的圆柱形的 Gauss 面, 设极板上的自由电荷密度为V , 介质表面的极化电荷面密度为V p , 我们有［A V f V p A H = 01 , 其 中 A 为圆柱的底的面积. 注意到(7.1.15)式和(7.1.7)式, 有 ［ ｒ［ ［ f ［ ［ ［ ［ F H H H H V H H FH = = = = = 0 0 0 0 0 1 (7.2.1) 这里 , 就是前面说过的绝对介电常数. 上式的结果告诉我们, 当有介质存在时, 虽然要考虑极化电 荷的贡献, 但是我们可以考虑介质的绝对介电常数而使最终结果只涉及极板上的自由电荷; 再者, 我们 可以引入另一个与电场有关的矢量——电位移矢量 D, 其定义如下 ｒ H H H = 0 D = H 0E P (7.2.2) 于是(7.2.1)式就可以简单地写成Ｄ = V . 这里我们考虑的是一个简单的特例, 并引入了电位移矢量的定义, 对于一般的情形, 让我们考虑 Gauss 定理的微分形 式 0 H U E = (7.2.3)