11以上我们考虑的是平板电容器中的电介质这一简单而特殊的情形，对于任意形状的电介质，也有美似的结论考虑如图7-3所示的介质表面的一个局部区域，其表面的法向方向用n表示，电场E与极化强度失量P的方向一致且与n的夹角为.于是介质表面的单位面积上积聚了极化电荷，其电量为ng(AS)/cose/(A)=nqlcos0=P.n这里我们相当于计算了一个倾斜的柱体内的极化电荷的电量，该倾斜柱体的体积正是上式中的(AS)/cOSO。一般地，我们有，极化电荷的面密度可以表示为o,=P.n(7.1.15)这里n当然是指介质表面某处的法向方向，对于我们上面讨论过的电容器里的电介质，P和n的方向是相同的，所以(7.1.15)式就简化为(7.1.13)式现在我们已经知道了介质表面极化电荷面密度的一般表达式（71.15），这里要注意到极化电荷的正负由P和n的夹角来确定，很自然地，我们还希望知道介质内部有无极化电荷图7-4一个直观的想象是：如果介质是均匀极化的，即极化强度矢量在介质内部的每一点都是大小相同且方向一致，那么就不会有净的极化电荷，而在一般情形下，可以作如下设想，如图7-4所示，在介质内部设想一个闭合曲面S，其内部体积V
11 以上我们考虑的是平板电容器中的电介质这一简单而特殊的情形, 对于任意形状的电介质, 也有类似的结论. 考虑如图 7-3 所示的介 质表面的一个局部区域, 其表面的法向方向用 表示, 电场 E 与极化强度矢量 P 的方向一致且与 的夹角为 θ. 于是介质表面的单位 面积上积聚了极化电荷, 其电量为 n ˆ n ˆ ″G 's ＇ cosT 's = ″G＇ cosT = P nˆ 这里我们相当于计算了一个倾斜的柱体内的极化电荷的电量, 该倾斜柱体的体积正是上式中的 . 一般地, 我们有, 极化 电荷的面密度可以表示为 's ＇ cosT = P nˆ V p (7.1.15) 这里 当然是指介质表面某处的法向方向. 对于我们上面讨论过的电容器里的电介质, P 和 的方向是相同的, 所以(7.1.15)式就简化 为 n ˆ n ˆ (7.1.13)式. 现在我们已经知道了介质表面极化电荷面密度的一般表达式(7.1.15), 这里要注意到极化电荷的正负由 P 和 的夹角来 确定. 很自然地, 我们还希望知道介质内部有无极化电荷. n ˆ 图 7-4 一个直观的想象是: 如果介质是均匀极化的, 即极化强度矢量在介质内部的每一点都是大小相同且方向一致, 那么就 不会有净的极化电荷. 而在一般情形下, 可以作如下设想, 如图 7-4 所示, 在介质内部设想一个闭合曲面 s, 其内部体积 厂
12在没有外电场时应该时电中性的，引入外电场E后，自然会有极化强度矢量P，我们姑且假设不同点的P可能会有大小或方向的不同由电荷守恒可知，体积V内产生的极化电荷△O，与穿过曲面S进出该体积的极化电荷的总和为零，于是有AQ,+fp.nds=0s这里我们借助了（7.1.14)式来计算穿过曲面的极化电荷，如果我们把介质内部产生极化电荷的密度（注意这里的电荷密度是体密度）用P，表示，则上式可以改写为JJP,dV+fp.hids=0S应用Gauss定理后有Pp=-V.P(7.1.16)上式便是介质内部极化电荷的体密度与极化强度失量的关系显然，若介质是均匀极化的，则P的散度为零，介质内部不存在极化电荷，与我们的直观想象是一致的例一个半径为a均匀极化的介质球，其电极化强度为P，该介质球置于空气中，球心处的电场强度是多少？
12 在没有外电场时应该时电中性的, 引入外电场 E 后, 自然会有极化强度矢量 P, 我们姑且假设不同点的 P 可能会有大小或 方向的不同. 由电荷守恒可知, 体积 厂 内产生的极化电荷 与穿过曲面 s 进出该体积的极化电荷的总和为零, 于是有: '０p ' ˆ d = 0 ³³ s p ０ P n s 这里我们借助了(7.1.14)式来计算穿过曲面的极化电荷. 如果我们把介质内部产生极化电荷的密度(注意 这里的电荷密度是体密度)用U p表示, 则上式可以改写为 d ˆ d = 0 ³³³ ³³ 厂 s p U 厂 P n s 应用 Gauss 定理后有 U p = P (7.1.16) 上式便是介质内部极化电荷的体密度与极化强度矢量的关系. 显然, 若介质是均匀极化的, 则 P 的散度为 零, 介质内部不存在极化电荷, 与我们的直观想象是一致的. 例 一个半径为 Ｕ 均匀极化的介质球, 其电极化强度为 P, 该介质球置于空气中, 球心处的电场强度是多少?
13-ade图7-5如图7-5所示，设极化强度失量P沿=方向，在介质球内部各点处P是相同的，球表面的极化电荷面电荷密度为P.n=PcOSO.由对称性可知球心处的电场沿方向，其大小为11#[dedp(a'sine)(Pcoso)(cose)E=4元a1(7.1.17)P360结果中的负号表明球心处的电场方向与极化强度失量的方向相反，这里我们计算的是球心处的场强，实际上在整个介质球内部由极化电荷产生的场强是均匀的，其大小正是P/36：这一结果将在下面有所应用
13 图 7-5 如图 7-5 所示, 设极化强度矢量 P 沿 ｚ 方向, 在介质球内部各点处 P 是相同的, 球表面的极化电荷面电荷密度为 . 由 对称性可知球心处的电场沿ˉｚ 方向, 其大小为 P nˆ = ［cosT ［ Ｕ ［ Ｕ ［ 0 2 0 2 0 2 0 3 1 d d sin cos cos 1 4 1 H T M T T T SH S S = = ³ ³ (7.1.17) 结果中的负号表明球心处的电场方向与极化强度矢量的方向相反. 这里我们计算的是球心处的场强, 实际上在整个介质球内部由极化 电荷产生的场强是均匀的, 其大小正是 0 ［ 3H . 这一结果将在下面有所应用.
147.1.3非极性电介质的进一步讨论现在让我们对非极性电介质的极化现象作进一步的讨论图7-6首先我们引入退极化场的概念，在如图7-6所示的情形中，外电场为E。，在介质表面将产生极化面电荷，而这一极化面电荷要在介质内部产生电场，设该电场为E，显然E。的方向与E，是相反的，那么介质内部的总的电场应该比E。小，于是我们把由极化面电荷E，产生的电场称为退极化场在这里我们不加证明地指出，在均匀极化的介质内部，退极化场与介-一P，这与上面的例题里的结论是一致的.质的具体形状有关，例如，对于均匀的球形介质，其内部的退极化场为E，=360再来考虑非极性分子的极化，我们已经知道，该类分子之所以在外电场中表现出极化现象，其原因在于每个分子的正负电荷中心由于外电场的作用而发生分离，从而形成一个个电偶极子，然而通过对退极化场的讨论我们又知道，介质内部
14 7.1.3 非极性电介质的进一步讨论 现在让我们对非极性电介质的极化现象作进一步的讨论. 图 7-6 首先我们引入退极化场的概念. 在如图 7-6 所示的情形中, 外电场为 , 在介质表面将产生极化面电荷, 而这一极化 面电荷要在介质内部产生电场, 设该电场为 , 显然 的方向与 是相反的, 那么介质内部的总的电场应该比 小, 于 是我们把由极化面电荷 产生的电场称为退极化场. 在这里我们不加证明地指出, 在均匀极化的介质内部, 退极化场与介 质的具体形状有关, 例如, 对于均匀的球形介质, 其内部的退极化场为 E0 E1 E0 E1 E0 E1 E P 0 1 1 3H = , 这与上面的例题里的结论是一致的. 再来考虑非极性分子的极化. 我们已经知道, 该类分子之所以在外电场中表现出极化现象, 其原因在于每个分子的正 负电荷中心由于外电场的作用而发生分离, 从而形成一个个电偶极子, 然而通过对退极化场的讨论我们又知道, 介质内部
15的电场并不等于外电场，那么，若要进行更为深入的讨论，我们应当关注介质内部的每一个分子所感受到的电场，我们姑且称之为局部电场一个值得注意的事实是局部电场+介质内部的电场=E。（外电场）+E（退极化场只是因为，根据上面对局部电场的定义，当讨论某个特定的分子（在外电场中相当于偶极子）附近的局部电场时，我们当然不能把该偶极子产生的电场计算在内，换言之，这时我们应当把这一偶极子当作一种检验类型的东西来看待；另一方面，所谓介质内部的电场是外场与所有偶极子的产生的电场的矢量叠加，而后者实际上是极化面电荷产生的电场(对于均匀极化的介质，其内部的极化电荷为零，即(7.1.16)式）E+-E未白啡形空酒来自会质E农工+外装间主的化化电荐E来自球肉的电费机租图7-7
15 的电场并不等于外电场, 那么, 若要进行更为深入的讨论, 我们应当关注介质内部的每一个分子所感受到的电场, 我们姑 且称之为局部电场. 一个值得注意的事实是 局部电场z 介质内部的电场{ E0 外电场 E1 退极化场 只是因为, 根据上面对局部电场的定义, 当讨论某个特定的分子(在外电场中相当于偶极子)附近的局部电 场时, 我们当然不能把该偶极子产生的电场计算在内, 换言之, 这时我们应当把这一偶极子当作一种检 验类型的东西来看待; 另一方面, 所谓介质内部的电场是外场与所有偶极子的产生的电场的矢量叠加, 而后者实际上是极化面电荷产生的电场(对于均匀极化的介质, 其内部的极化电荷为零, 即(7.1.16)式). 图 7-7