由n阶方阵A的行列式|A|中元素a的代数 余子式An(,j=1,2,…,n)构成的n阶矩阵 21 22 n2 In 称为矩阵A的伴随矩阵.记作A 根据行列式的展开定理可以证明:AA=AA=A 定义218若n阶方阵A的行列式|A≠0,则称 A为非奇异矩阵;反之,若|A|=0,则称A为奇异矩 阵
由n 阶方阵A 的行列式︱A︱中元素aij 的代数 余子式 Aij(i, j =1,2,···,n)构成的n 阶矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵.记作 . 根据行列式的展开定理可以证明： 定义2.18 若n 阶方阵A 的行列式︱A︱≠0,则称 A为非奇异矩阵；反之,若︱A︱=0,则称 A 为奇异矩 阵. n n nn n n A A A A A A A A A 1 2 12 22 2 11 21 1 AA A I . ~ A ~ A = = A ~
定理24n阶方阵A可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且有A=A 证明必要性设A可逆,则有 AA-=AA=IAA-=AA 所以,A|≠0,即A为非奇异的 充分性设4为非奇异的,则|A|≠0,于是有 A4=AA=4, 则得A(A)=(4)A= 由逆矩阵的定义知,A可逆,且41 A
定理 2.4 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A 为非奇异矩阵，并且有 . 证明 必要性 设A可逆，则有 所以,︱A︱≠0 ,即A为非奇异的. 充分性 设A为非奇异的，则︱A︱≠0, 于是有 则得 由逆矩阵的定义知，A可逆，且 A A A 1 1 ~ = − 1 1 1 1 1 = = = = = − − − − AA A A I, A A AA I AA = AA = AI, ~ ~ A)A I A A A A = = ~ 1 ~ ) ( 1 ( . ~ A A A 1 1 = −