§9.2.2内积的性质 计算方法 命题9.3 傅孝胡 (Cauchy--Schwarz不等式)设'是内积空问，则有 第九华适数调 近 Ifgl≤Vf·(g,g,5g∈V. :重正M始地证 说2方空只的是出 调近 若在内积空间V中定义 银重世年办通面时 王变事级其 =√f,f∈V, 年才重丘与电城立 生主到 则有 s童性一到通正多 机货仕营衫装天 U+g2=f+g,f+g)=(f)+25g)+(g,g 业重正提 ≤(f0+2V0·(g,g)+(g,g)=(+lgI)2 即f+g≤L川+lgl.易验证，‖·‖构成V的一个范数，称·‖是 内积诱导的范教。 000 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.2 内积的性质 . 命题 9.3 . . (Cauchy-Schwarz 不等式) 设 V 是内积空间, 则有 |(f, g)| 6 √ (f, f) · (g, g), ∀f, g ∈ V. 若在内积空间 V 中定义 ∥f∥ = √ (f, f), ∀f ∈ V, 则有 ∥f + g∥ 2 = (f + g, f + g) = (f, f) + 2(f, g) + (g, g) 6 (f, f) + 2√ (f, f) · (g, g) + (g, g) = (∥f∥ + ∥g∥) 2 , 即 ∥f + g∥ 6 ∥f∥ + ∥g∥. 易验证, ∥ · ∥ 构成 V 的一个范数, 称 ∥ · ∥ 是 内积诱导的范数. 傅孝明 计算方法
§9.2.2内积的性质 计算方法 博季胡 第九单运数通 命题9.4 (平行四边形等式)设V是内积空间，则有 上正安进首边过 2方的空只的规世 漫近 生最字方正 f+g2+If-g2=2(M2+g2) 正通式 到6适的面回 生 水址一理正多 在内积空间中，若f与g的内积为零，即(g)=0,则称f与 期性重六装式 g是正交的.此时，f+g2=2+lg2,类似于欧式空间中 从于己自m丘首于 卫数 的勾股定理 4口，g1三，于2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.2 内积的性质 . 命题 9.4 . . (平行四边形等式) 设 V 是内积空间, 则有 ∥f + g∥ 2 + ∥f − g∥ 2 = 2(∥f∥ 2 + ∥g∥ 2 ). 在内积空间中, 若 f 与 g 的内积为零, 即 (f, g) = 0, 则称 f 与 g 是正交的. 此时, ∥f + g∥ 2 = ∥f∥ 2 + ∥g∥ 2 , 类似于欧式空间中 的勾股定理. 傅孝明 计算方法
§9.2.3最佳逼近 计算方法 傅孝胡 在内积空间中讨论最佳逼近问题 第九华适数调 定义9.8 子重正的地 设V是内积空间，MCV为有限维子空间.对于x∈'，如果 说2方空只的是出 调近 有元素m*∈M使得 王变事级其 平有面丘与电情立 Ik-mI=lk-ml≌dx,M, 主到 银童止一进通正多 则称m*为子集M逼近x的最佳邁近元，将所有M中x的最 认货仕雪多装式 佳逼近元构成的集合记作B(x),这里‖·‖是V内积诱导的 鱼重正提 范数 +口04日4是2000 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.3 最佳逼近 在内积空间中讨论最佳逼近问题. . 定义 9.8 . . 设 V 是内积空间, M ⊂ V 为有限维子空间. 对于 x ∈ V, 如果 有元素 m ∗ ∈ M 使得 ∥x − m ∗ ∥ = inf m∈M ∥x − m∥ , d(x, M), 则称 m ∗ 为子集 M 逼近 x 的最佳逼近元, 将所有 M 中 x 的最 佳逼近元构成的集合记作 BM(x), 这里 ∥ · ∥ 是 V 内积诱导的 范数. 傅孝明 计算方法
§9.2.3最佳逼近 计算方法 博孝明 第九单证数通 近 上正纪首边过 存在唯一性定理， 2方的空只的视世 漫近 生最字方正 定理9.5 正事通式 到6适的面回 对于任意的x∈V,存在唯一的最佳通近元m*∈M 生 期性重六装 4口，，1三，升2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.3 最佳逼近 存在唯一性定理. . 定理 9.5 . .对于任意的 x ∈ V, 存在唯一的最佳逼近元 m ∗ ∈ M. 傅孝明 计算方法
§9.2.4特征与表示 计算方法 刻画内积空间最佳逼近元的特征性质， 博孝明 第九华适数调 定理9.6 :重正雪地过 对任意的x∈V,则m∈M为x的最佳通近元的充分必要条 板2内肌空只的望进 调近 件是x一m*与M中的任意元素正交，即 王变事级其 平有面丘与电情立 (x-m*,m)=0,m∈M. 主到 很童止一进通正多 定理9.6的几何意义：x在M中的正交投影m*即为x的最佳 货壮雪多装天 逼近元.利用该定理，最佳逼近元的距离可表示为： 重正提 dx,02=(x,x)-(x,m*) (3) 000 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.4 特征与表示 刻画内积空间最佳逼近元的特征性质. . 定理 9.6 . . 对任意的 x ∈ V, 则 m ∗ ∈ M 为 x 的最佳逼近元的充分必要条 件是 x − m ∗ 与 M 中的任意元素正交, 即 (x − m ∗ , m) = 0, ∀m ∈ M. 定理9.6的几何意义: x 在 M 中的正交投影 m ∗ 即为 x 的最佳 逼近元. 利用该定理, 最佳逼近元的距离可表示为: d(x, M) 2 = (x, x) − (x, m ∗ ). (3) 傅孝明 计算方法